Уравнения Рабиновича – Фабриканта. - Rabinovich–Fabrikant equations

В Уравнения Рабиновича – Фабриканта. представляют собой набор из трех связанных обыкновенные дифференциальные уравнения экспонирование хаотичный поведение при определенных значениях параметры. Они названы в честь Михаил Рабинович и Анатолий Фабрикант, который описал их в 1979 году.

Описание системы

Уравнения следующие:^[1]

${\displaystyle {\dot {x}}=y(z-1+x^{2})+\gamma x\,}$

${\displaystyle {\dot {y}}=x(3z+1-x^{2})+\gamma y\,}$

${\displaystyle {\dot {z}}=-2z(\alpha +xy),\,}$

куда α, γ - константы, управляющие эволюцией системы. Для некоторых значений α и γ, система хаотична, но для других стремится к устойчивой периодической орбите.

Данка и Чен^[2] обратите внимание, что систему Рабиновича – Фабриканта трудно анализировать (из-за наличия квадратичных и кубических членов) и что разные аттракторы могут быть получены для одних и тех же параметров, используя разные размеры шага при интегрировании. Также недавно скрытый аттрактор был открыт в системе Рабиновича – Фабриканта ^[3].

Точки равновесия

График регионов, для которых точки равновесия ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{1,2,3,4}}$ существовать.

Система Рабиновича – Фабриканта имеет пять гиперболических точки равновесия, один в начале координат и четыре в зависимости от параметров системы α и γ:^[2]

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{0}=(0,0,0)}$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{1,2}=\left(\pm q_{-},-{\frac {\alpha }{q_{-}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{-}^{2}\right)}$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{3,4}=\left(\pm q_{+},-{\frac {\alpha }{q_{+}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{+}^{2}\right)}$

куда

${\displaystyle q_{\pm }={\sqrt {\frac {1\pm {\sqrt {1-\gamma \alpha \left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}{2\left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}}$

Эти точки равновесия существуют только для определенных значений α и γ > 0.

γ = 0,87, α = 1,1

Получен пример хаотического поведения для γ = 0,87 и α = 1.1 с начальными условиями (−1, 0, 0.5).^[4] В измерение корреляции оказался равным 2,19 ± 0,01.^[5] Показатели Ляпунова, λ приблизительно равны 0,1981, 0, -0,6581 и Измерение Каплана – Йорка, D_KY ≈ 2.3010^[4]

γ = 0,1

Данка и Ромера^[6] показал, что для γ = 0,1, система хаотична при α = 0,98, но прогрессирует стабильно предельный цикл за α = 0.14.

Трехмерный параметрический график решения уравнений Рабиновича-Фабриканта для α= 0,14 и γ= 0,1 (предельный цикл показан красной кривой)

Смотрите также

• Список хаотических карт

Рекомендации

1. Рабинович, Михаил И .; Фабрикант, А. Л. (1979). «Стохастическая самомодуляция волн в неравновесных средах». Сов. Phys. ЖЭТФ. 50: 311. Bibcode:1979JETP ... 50..311R.
2. Данка, Мариус-Ф .; Чен, Гуаньжун (2004). «Бирфуркация и хаос в сложной модели диссипативной среды». Международный журнал бифуркаций и хаоса. Всемирная научная издательская компания. 14 (10): 3409–3447. Bibcode:2004 IJBC ... 14.3409D. Дои:10.1142 / S0218127404011430.
3. Danca M.-F .; Кузнецов Н .; Чен Г. (2017). «Необычная динамика и скрытые аттракторы системы Рабиновича-Фабриканта». Нелинейная динамика. 88 (1): 791–805. arXiv:1511.07765. Дои:10.1007 / s11071-016-3276-1.
4. Спротт, Жюльен С. (2003). Хаос и анализ временных рядов. Oxford University Press. п. 433. ISBN  0-19-850840-9.
5. Grassberger, P .; Прокачча, И. (1983). «Измерение странностей странных аттракторов». Physica D. 9 (1–2): 189–208. Bibcode:1983PhyD .... 9..189G. Дои:10.1016/0167-2789(83)90298-1.
6. Данка, Мариус-Ф .; Ромера, Мигель (2008). «Алгоритм управления и антиуправления хаосом в динамических системах с непрерывным временем». Динамика непрерывных, дискретных и импульсных систем. Серия B: Приложения и алгоритмы. Watam Press. 15: 155–164. HDL:10261/8868. ISSN  1492-8760.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Рабиновича – Фабриканта». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
• Хаотика Моделирует более подходящий подход к хаотическому графу системы. «Уравнение Рабиновича – Фабриканта»