Инвариантная мера - Invariant measure

В математика, инвариантная мера это мера что сохраняется некоторыми функция. Эргодическая теория это изучение инвариантных мер в динамические системы. В Теорема Крылова – Боголюбова. доказывает существование инвариантных мер при определенных условиях на рассматриваемую функцию и пространство.

Определение

Позволять (Икс, Σ) быть измеримое пространство и разреши ж быть измеримая функция от Икс себе. Мера μ на (Икс, Σ) называется инвариантен относительно ж если для каждого измеримого множества А в Σ,

${displaystyle mu left(f^{-1}(A)ight)=mu (A).}$

Что касается продвигать, это гласит, что ж_∗(μ) = μ.

Сборник мер (обычно вероятностные меры ) на Икс которые инвариантны относительно ж иногда обозначается M_ж(Икс). Коллекция эргодические меры, E_ж(Икс), является подмножеством M_ж(Икс). Более того, любые выпуклое сочетание двух инвариантных мер также инвариантна, поэтому M_ж(Икс) это выпуклый набор; E_ж(Икс) состоит как раз из крайних точек M_ж(Икс).

В случае динамическая система (Икс, Т, φ), где (Икс, Σ) по-прежнему измеримое пространство, Т это моноид и φ : Т × Икс → Икс карта потока, мера μ на (Икс, Σ) называется инвариантная мера если это инвариантная мера для каждой карты φ_т : Икс → Икс. Ясно, μ инвариантен если и только если

${displaystyle mu left(varphi _{t}^{-1}(A)ight)=mu (A)qquad forall tin T,Ain Sigma .}$

Перефразируй, μ инвариантная мера для последовательности случайные переменные (Z_т)_т≥0 (возможно, Цепь Маркова или решение стохастическое дифференциальное уравнение ), если всякий раз, когда начальное условие Z₀ распределяется согласно μ, так это Z_т на более позднее время т.

Когда динамическую систему можно описать оператор передачи, то инвариантная мера является собственным вектором оператора, соответствующим собственному значению 1, которое является наибольшим собственным значением, заданным Теорема Фробениуса-Перрона.

Примеры

Сжать карту уходит гиперболический угол инвариантен при движении гиперболический сектор (фиолетовый) в одну из тех же областей. Синий и зеленый прямоугольники также сохраняют одинаковую площадь.

• Рассмотрим реальная линия р со своим обычным Борелевская σ-алгебра; исправить а ∈ р и рассмотрим карту перевода Т_а : р → р предоставлено:

${displaystyle T_{a}(x)=x+a.}$

Тогда одномерный Мера Лебега λ инвариантная мера для Т_а.

• В общем, на п-размерный Евклидово пространство р^п со своей обычной борелевской σ-алгеброй, п-мерная мера Лебега λ^п инвариантная мера для любого изометрия евклидова пространства, т.е. Т : р^п → р^п это можно записать как

${displaystyle T(x)=Ax+b}$

для некоторых п × п ортогональная матрица А ∈ O (п) и вектор б ∈ р^п.

• Инвариантная мера в первом примере единственна с точностью до тривиальной перенормировки с постоянным множителем. Это не обязательно так: рассмотрим набор, состоящий всего из двух точек. ${displaystyle {oldsymbol {m {S}}}={A,B}}$ и карта идентичности ${displaystyle T={m {Id}}}$ что оставляет каждую точку фиксированной. Тогда любая вероятностная мера ${displaystyle mu :{oldsymbol {m {S}}}ightarrow {oldsymbol {m {R}}}}$ инвариантен. Обратите внимание, что S тривиально разлагается на Т-инвариантные компоненты {A} и {B}.
• Мера круговые углы в градусы или радианы инвариантен относительно вращение. Аналогично, мера гиперболический угол инвариантен относительно сжатие.
• Площадь мера на евклидовой плоскости инвариантна относительно 2 × 2 вещественные матрицы с определителем 1, также известный как специальная линейная группа SL (2, R).
• Каждые локально компактная группа имеет Мера Хаара инвариантный относительно действия группы.

Смотрите также

• Квазиинвариантная мера

использованная литература

• Инвариантные меры, Джон фон Нейман, книжный магазин AMS, 1999, ISBN  978-0-8218-0912-9