Гиперболический сектор - Hyperbolic sector

А гиперболический сектор это регион Декартова плоскость {(Икс,у)} ограниченный лучами из начала координат в две точки (а, 1/а) и (б, 1/б) и прямоугольная гипербола ху = 1 (или соответствующая область, когда эта гипербола масштабируется и ее ориентация изменен вращение оставляя центр в начале координат, как с гипербола единиц ).

Гиперболический сектор в стандартном положении имеет а = 1 и б > 1 .

Гиперболические секторы являются основой для гиперболические функции.

Площадь

Площадь гиперболического сектора сохраняется сжатие, показано сжатие прямоугольников и вращение гиперболического сектора

В площадь гиперболического сектора в стандартном положении натуральный логарифм из б .

Доказательство: интегрировать под 1 /Икс от 1 до б, добавьте треугольник {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} и вычтите треугольник {(0, 0), (б, 0), (б, 1/б)}.^[1]

В стандартном положении гиперболический сектор соответствует положительному положению. гиперболический угол в начале координат, причем мера последней определяется как площадь первой.

Гиперболический треугольник

Гиперболический треугольник (желтый) и гиперболический сектор (красный), соответствующий гиперболический угол ты, в прямоугольная гипербола (уравнение у = 1/Икс). Ноги треугольника √2 раз функции гиперболического косинуса и синуса.

В стандартном положении гиперболический сектор определяет гиперболический треугольник, то прямоугольный треугольник с одним вершина в начале координат, опираясь на диагональный луч у = Икс, а третья вершина на гипербола

{ displaystyle xy = 1, ,}

гипотенуза - отрезок от начала координат до точки (х, у) на гиперболе. Длина основания этого треугольника равна

{ displaystyle { sqrt {2}} ch u, ,}

и высота является

{ Displaystyle { sqrt {2}} зп и, ,}

куда ты подходящий гиперболический угол.

Аналогия между круговыми и гиперболическими функциями была описана Огастес Де Морган в его Тригонометрия и двойная алгебра (1849).^[2] Уильям Бернсайд использовали такие треугольники, выступающие из точки на гиперболе ху = 1 на главную диагональ в его статье «Замечание о теореме сложения для гиперболических функций».^[3]

Гиперболический логарифм

Площадь единицы, когда б = е как эксплуатировал Эйлер.

Студенты интегральное исчисление знаю, что f (Икс) = Икс^п имеет алгебраический первообразный кроме случая п = –1, что соответствует квадратура гиперболы. Остальные случаи представлены Квадратурная формула Кавальери. Тогда как квадратура параболы была достигнута Архимед в третьем веке до нашей эры (в Квадратура параболы ), гиперболическая квадратура потребовала изобретения в 1647 году новой функции: Грегуар де Сент-Винсент обратился к проблеме вычисления площадей, ограниченных гиперболой. Его открытия привели к функции натурального логарифма, которую когда-то называли гиперболический логарифм так как он получается путем интегрирования или нахождения площади под гиперболой.^[4]

До 1748 г. и издание Введение в анализ бесконечного, натуральный логарифм был известен в единицах площади гиперболического сектора. Леонард Эйлер изменил это, когда он представил трансцендентные функции например 10^Икс. Эйлер идентифицировал е как ценность б создание единицы площади (под гиперболой или в гиперболическом секторе в стандартном положении). Тогда натуральный логарифм можно было бы распознать как обратная функция к трансцендентной функции e^Икс.

Гиперболическая геометрия

Когда Феликс Кляйн написал свою книгу о неевклидова геометрия в 1928 г. он обосновал эту тему, сославшись на проективная геометрия. Чтобы установить гиперболическую меру на линии, он отметил, что область гиперболического сектора обеспечивает визуальную иллюстрацию концепции.^[5]

Гиперболические сектора также можно провести к гиперболе. ${ displaystyle y = { sqrt {1 + x ^ {2}}}}$ . Площадь таких гиперболических секторов использовалась для определения гиперболического расстояния в учебнике геометрии.^[6]

Смотрите также

Сжать карту