Гипербола - Hyperbola

Эта статья о геометрической кривой. О термине, используемом в риторике, см. Гипербола.

Гипербола - это открытая кривая с двумя ветвями, пересечение самолет с обеими половинами двойного конуса. Плоскость не обязательно должна быть параллельна оси конуса; гипербола в любом случае будет симметричной.

Гипербола (красная): особенности

В математика, а гипербола (Слушать) (форма прилагательного гиперболический, Слушать) (множественное число гиперболы, или же гиперболы (Слушать)) является разновидностью гладкий кривая, лежащая в плоскости, определяемый его геометрическими свойствами или уравнениями, для которых он является множеством решений. Гипербола состоит из двух частей, называемых связанные компоненты или ветви, которые являются зеркальным отображением друг друга и напоминают два бесконечных Луки. Гипербола - один из трех видов коническая секция, образованный пересечением самолет и двойной конус. (Остальные конические секции - это парабола и эллипс. А круг является частным случаем эллипса.) Если плоскость пересекает обе половины двойного конуса, но не проходит через вершины конусов, то коника является гиперболой.

Гиперболы возникают по-разному:

• как кривая, представляющая функцию ${\displaystyle y(x)=1/x}$ в Декартова плоскость,^[1]
• как путь, по которому следует тень кончика солнечные часы,
• как форма открытая орбита (в отличие от замкнутой эллиптической орбиты), например, орбита космический корабль во время с помощью гравитации пролет планеты или, в более общем смысле, любого космического корабля, превышающий скорость убегания ближайшей планеты,
• как путь одинокого явления комета (тот, кто путешествует слишком быстро, чтобы вернуться в солнечную систему),
• как траектория рассеяния из субатомная частица (под действием сил отталкивания, а не притяжения, но принцип тот же),
• в радионавигация, когда можно определить разницу между расстояниями до двух точек, но не сами расстояния,

и так далее.

Каждый ответвляться гиперболы имеет два плеча, которые становятся более прямыми (более низкая кривизна) дальше от центра гиперболы. Противоположные по диагонали ответвления, по одному от каждой ветви, стремятся в пределе к общей линии, называемой асимптота этих двух рук. Итак, есть две асимптоты, пересечение которых находится в центре симметрия гиперболы, которую можно рассматривать как точку зеркала, относительно которой каждая ветвь отражается, образуя другую ветвь. В случае кривой ${\displaystyle y(x)=1/x}$ асимптоты - это две оси координат.^[2]

Гиперболы обладают многими аналитическими свойствами эллипсов, такими как эксцентриситет, фокус, и директриса. Обычно переписка может быть произведена только путем смены знака в каком-то термине. Много других математические объекты берут начало в гиперболе, например гиперболические параболоиды (седловые поверхности), гиперболоиды («корзины для мусора»), гиперболическая геометрия (Лобачевский знаменитый неевклидова геометрия ), гиперболические функции (sinh, cosh, tanh и т. д.), и гировекторные пространства (геометрия, предложенная для использования как в относительность и квантовая механика который не Евклидово ).

Этимология и история

Слово «гипербола» происходит от Греческий ὑπερβολή, что означает «переброшенный» или «чрезмерный», от которого английский термин гипербола тоже происходит. Гиперболы были открыты Менахм в своих исследованиях проблемы удвоение куба, но тогда назывались отрезками тупых конусов.^[3] Считается, что термин гипербола был придуман Аполлоний Пергский (ок. 262 – ок. 190 до н. э.) в его окончательной работе о конические секции, то Коники.^[4] Названия двух других общих конических сечений, эллипс и парабола, происходят от соответствующих греческих слов «несовершенный» и «применяемый»; все три названия заимствованы из более ранней пифагорейской терминологии, которая относилась к сравнению стороны прямоугольников фиксированной площади с заданным отрезком линии. Прямоугольник может быть «применен» к сегменту (то есть иметь равную длину), быть короче сегмента или превышать сегмент.^[5]

Определение гиперболы как геометрического места точек

Гипербола: определение расстоянием между точками до двух фиксированных точек (фокусов)

Гипербола: определение с круговой директрисой

Гиперболу можно определить геометрически как набор точек (место точек ) в евклидовой плоскости:

А гипербола - это набор точек, такой, что для любой точки ${\displaystyle P}$ комплекта, абсолютная разница расстояний ${\displaystyle |PF_{1}|,\ |PF_{2}|}$ к двум фиксированным точкам ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ (в фокусы), постоянна, обычно обозначается ${\displaystyle 2a,\ a>0\ :}$^[6]

${\displaystyle H=\{P\mid ||PF_{2}|-|PF_{1}||=2a\}\ .}$

Середина ${\displaystyle M}$ отрезка, соединяющего фокусы, называется центр гиперболы.^[7] Линия, проходящая через фокусы, называется большая ось. Он содержит вершины ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$, которые имеют расстояние ${\displaystyle a}$ в центр. Расстояние ${\displaystyle c}$ фокусов к центру называется фокусное расстояние или же линейный эксцентриситет. Частное ${\displaystyle {\tfrac {c}{a}}}$ это эксцентриситет ${\displaystyle e}$.

Уравнение ${\displaystyle ||PF_{2}|-|PF_{1}||=2a}$ можно посмотреть по-другому (см. диаграмму):
Если ${\displaystyle c_{2}}$ это круг с серединой ${\displaystyle F_{2}}$ и радиус ${\displaystyle 2a}$, то расстояние до точки ${\displaystyle P}$ правой ветви к окружности ${\displaystyle c_{2}}$ равно расстоянию до фокуса ${\displaystyle F_{1}}$:

${\displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}$

${\displaystyle c_{2}}$ называется круговая директриса (связано с фокусом ${\displaystyle F_{2}}$) гиперболы.^[8][9] Чтобы получить левую ветвь гиперболы, нужно использовать круговую директрису, связанную с ${\displaystyle F_{1}}$. Это свойство не следует путать с определением гиперболы с помощью директрисы (линии) ниже.

Гипербола в декартовых координатах

Уравнение

Если ввести декартовы координаты так, чтобы начало координат было центром гиперболы и Икс- ось - большая ось, тогда гипербола называется восток-запад-открытие и

то фокусы это точки ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\ F_{2}=(-c,0)}$,^[10]

то вершины находятся ${\displaystyle V_{1}=(a,0),\ V_{2}=(-a,0)}$.^[11]

Для произвольной точки ${\displaystyle (x,y)}$ расстояние до фокуса ${\displaystyle (c,0)}$ является ${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ и ко второму фокусу ${\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$. Следовательно, точка ${\displaystyle (x,y)}$ находится на гиперболе, если выполняется условие

${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a\ .}$

Удалите квадратные корни подходящими квадратами и используйте соотношение ${\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}}$ чтобы получить уравнение гиперболы:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$

Это уравнение называется каноническая форма гиперболы, потому что любая гипербола, независимо от ее ориентации относительно декартовых осей и независимо от местоположения ее центра, может быть преобразована в эту форму заменой переменных, давая гиперболу, которая конгруэнтный к оригиналу (см. ниже ).

Оси симметрия или же главные оси являются поперечная ось (содержащий отрезок длины 2а с концами в вершинах) и сопряженная ось (содержащий отрезок длины 2б перпендикулярно поперечной оси и со средней точкой в ​​центре гиперболы).^[12] В отличие от эллипса, гипербола имеет только две вершины: ${\displaystyle (a,0),\;(-a,0)}$. Две точки ${\displaystyle (0,b),\;(0,-b)}$ на сопряженных осях нет на гиперболе.

Из уравнения следует, что гипербола симметричный относительно обеих координатных осей и, следовательно, симметрична относительно начала координат.

Эксцентриситет

Для гиперболы в приведенной выше канонической форме эксцентриситет дан кем-то

${\textstyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$

Две гиперболы геометрически подобный друг к другу - это означает, что они имеют одинаковую форму, так что одно может быть преобразовано в другое путем жесткие движения влево и вправо, вращение, сделать зеркальное отображение, а масштабирование (увеличение) - тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый эксцентриситет.

Асимптоты

Гипербола: полуоси а,б, линейный эксцентриситет c, semi latus rectum п

Гипербола: 3 объекта

Решая уравнение (см. Выше) гиперболы для ${\displaystyle y}$ дает

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}.}$

Из этого следует, что гипербола приближается к двум прямым

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x}$

для больших значений ${\displaystyle |x|}$. Эти две прямые пересекаются в центре (начале координат) и называются асимптоты гиперболы ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$^[13]

С помощью второго рисунка видно, что

${\displaystyle {\color {blue}{(1)}}}$ В перпендикулярное расстояние от фокуса до любой асимптоты является ${\displaystyle b}$ (малая полуось).

От Нормальная форма Гессена ${\displaystyle {\tfrac {bx\pm ay}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0}$ асимптот и уравнение гиперболы получаем:^[14]

${\displaystyle {\color {magenta}{(2)}}}$ В произведение расстояний от точки на гиперболе до обеих асимптот постоянная ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$ который также можно записать через эксцентриситет е в качестве ${\displaystyle \left({\tfrac {b}{e}}\right)^{2}.}$

Из уравнения ${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$ гиперболы (см. выше) можно вывести:

${\displaystyle {\color {green}{(3)}}}$ В произведение наклонов прямых от точки P к двум вершинам постоянная ${\displaystyle b^{2}/a^{2}\ .}$

Кроме того, из (2) выше можно показать, что^[14]

${\displaystyle {\color {red}{(4)}}}$ Произведение расстояний от точки на гиперболе до асимптот вдоль прямых, параллельных асимптотам постоянная ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}+b^{2}}{4}}.}$

Полу-латусная прямая кишка

Длина хорды, проходящей через один из фокусов, перпендикулярная большой оси гиперболы, называется прямая кишка. Одна половина - это полу-латусная прямая кишка ${\displaystyle p}$. Расчет показывает

${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}.}$

Полу-латусная прямая кишка ${\displaystyle p}$ также можно рассматривать как радиус кривизны в вершинах.

Касательная

Самый простой способ определить уравнение касательной в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ должен неявно дифференцировать уравнение ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ гиперболы. Обозначение dy / dx в качестве y ′, это производит

${\displaystyle {\frac {2x}{a^{2}}}-{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0\ \Rightarrow \ y'={\frac {x}{y}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\ \Rightarrow \ y={\frac {x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x-x_{0})+y_{0}.}$

Что касается ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1}$, уравнение касательной в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ является

${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}x-{\frac {y_{0}}{b^{2}}}y=1.}$

Особая касательная линия отличает гиперболу от других конических секций.^[15] Позволять ж расстояние от вершины V (как на гиперболе, так и на ее оси, проходящей через два фокуса) в ближайший фокус. Тогда расстояние по линии, перпендикулярной этой оси, от этого фокуса до точки P на гиперболе будет больше 2.ж. Касательная к гиперболе в точке P пересекает эту ось в точке Q под углом ∠PQV более 45 °.

Прямоугольная гипербола

В случае ${\displaystyle a=b}$ гипербола называется прямоугольный (или же равносторонний), поскольку его асимптоты пересекаются прямоугольно (т. е. перпендикулярны). В этом случае линейный эксцентриситет равен ${\displaystyle c={\sqrt {2}}a}$, эксцентриситет ${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$ и полу-латусная прямая кишка ${\displaystyle p=a}$.

Параметрическое представление с гиперболическим синусом / косинусом

С использованием функции гиперболического синуса и косинуса ${\displaystyle \cosh ,\sinh }$, параметрическое представление гиперболы ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ может быть получено, что похоже на параметрическое представление эллипса:

${\displaystyle (\pm a\cosh t,b\sinh t),\,t\in \mathbb {R} \ ,}$

которое удовлетворяет декартово уравнение, поскольку ${\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1.}$

Дальнейшие параметрические представления приведены в разделе Параметрические уравнения ниже.

Здесь а = б = 1 давая гипербола единиц синим цветом и сопряженная с ним гипербола зеленым, разделяя одни и те же красные асимптоты.

Сопряженная гипербола

Обмен ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ чтобы получить уравнение сопряженная гипербола (см. диаграмму):

${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1\ ,}$ также написано как

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{b^{2}}}-{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=-1\ .}$

Гиперболические функции

Основная статья: Гиперболические функции

Луч сквозь гипербола единиц ${\displaystyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}$ в момент ${\displaystyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}$, куда ${\displaystyle a}$ вдвое больше площади между лучом, гиперболой и ${\displaystyle x}$-ось. Для точек на гиперболе ниже ${\displaystyle x}$-оси площадь считается отрицательной.

Так же, как тригонометрические функции определены в терминах единичный круг, так что также гиперболические функции определены в терминах гипербола единиц, как показано на этой диаграмме. В единичном круге угол (в радианах) равен удвоенной площади круговой сектор который этот угол поджимает. Аналогичный гиперболический угол аналогично определяется как удвоенная площадь гиперболический сектор.

Позволять ${\displaystyle a}$ быть вдвое больше площади между ${\displaystyle x}$ ось и луч через начало координат, пересекающий единичную гиперболу, и определяют ${\textstyle (x,y)=(\cosh a,\sinh a)=(x,{\sqrt {x^{2}-1}})}$ как координаты точки пересечения. Тогда площадь гиперболического сектора - это площадь треугольника за вычетом изогнутой области за вершиной в ${\displaystyle (1,0)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{2}}&={\frac {xy}{2}}-\displaystyle \int _{1}^{x}{\sqrt {t^{2}-1}}\,dt\\&={\frac {x{\sqrt {x^{2}-1}}}{2}}-{\frac {x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}{2}},\end{aligned}}}$

что упрощает гиперболический косинус площади

${\displaystyle a=\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}$

Решение для ${\displaystyle x}$ дает экспоненциальную форму гиперболического косинуса:

${\displaystyle x=\cosh a={\frac {e^{a}+e^{-a}}{2}}.}$

Из ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ один получает

${\displaystyle y=\sinh a={\sqrt {\cosh ^{2}a-1}}={\frac {e^{a}-e^{-a}}{2}},}$

и его обратное площадь гиперболического синуса:

${\displaystyle a=\operatorname {arsinh} y=\ln \left(y+{\sqrt {y^{2}+1}}\right).}$

Другие гиперболические функции определяются в соответствии с гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом, например,

${\displaystyle \operatorname {tanh} a={\frac {\sinh a}{\cosh a}}={\frac {e^{2a}-1}{e^{2a}+1}}.}$

Гипербола с уравнением у = А/Икс

Вращение системы координат для описания прямоугольной гиперболы как графика функции

Три прямоугольные гиперболы ${\displaystyle y=A/x}$ с осями координат в виде асимптот
красный: А = 1; пурпурный: А = 4; синий: А = 9

Если ху-система координат повернутый о начале координат под углом ${\displaystyle -45^{\circ }}$ и новые координаты ${\displaystyle \xi ,\eta }$ присваиваются, то ${\displaystyle x={\tfrac {\xi +\eta }{\sqrt {2}}},\;y={\tfrac {-\xi +\eta }{\sqrt {2}}}}$.
Прямоугольная гипербола ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-y^{2}}{a^{2}}}=1}$ (полуоси которого равны) имеет новое уравнение ${\displaystyle {\tfrac {2\xi \eta }{a^{2}}}=1}$.Решение для ${\displaystyle \eta }$ дает ${\displaystyle \eta ={\tfrac {a^{2}/2}{\xi }}\ .}$

Таким образом, в ху-система координат график функции ${\displaystyle f:x\mapsto {\tfrac {A}{x}},\;A>0\;,}$ с уравнением

${\displaystyle y={\frac {A}{x}}\;,A>0\;,}$ это прямоугольная гипербола полностью в первом и третьем квадранты с

• оси координат как асимптоты,
• линия ${\displaystyle y=x}$ в качестве большая ось ,
• то центр ${\displaystyle (0,0)}$ и полуось ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• то вершины ${\displaystyle \left({\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left(-{\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;,}$
• то полу-латусная прямая кишка и радиус кривизны в вершинах ${\displaystyle p=a={\sqrt {2A}}\;,}$
• то линейный эксцентриситет ${\displaystyle c=2{\sqrt {A}}}$ и эксцентричность ${\displaystyle e={\sqrt {2}}\;,}$
• то касательная ${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{x_{0}^{2}}}x+2{\tfrac {A}{x_{0}}}}$ в точке ${\displaystyle (x_{0},A/x_{0})\;.}$

Поворот исходной гиперболы на ${\displaystyle +45^{\circ }}$ приводит к прямоугольной гиперболе полностью во втором и четвертом квадрантах, с такими же асимптотами, центром, полу-широтой прямой кишки, радиусом кривизны в вершинах, линейным эксцентриситетом и эксцентриситетом, как в случае ${\displaystyle -45^{\circ }}$ вращение, с уравнением

${\displaystyle y={\frac {-A}{x}}\;,A>0\;,}$

• то полуоси ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• линия ${\displaystyle y=-x}$ как большая ось,
• то вершины ${\displaystyle \left(-{\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left({\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;.}$

Сдвиг гиперболы уравнением ${\displaystyle y={\frac {A}{x}},\ A\neq 0\ ,}$ так что новый центр ${\displaystyle (c_{0},d_{0})}$, дает новое уравнение

${\displaystyle y={\frac {A}{x-c_{0}}}+d_{0}\;,}$

и новые асимптоты ${\displaystyle x=c_{0}}$ и ${\displaystyle y=d_{0}}$.
Параметры формы ${\displaystyle a,b,p,c,e}$ оставаться без изменений.

Определение гиперболы по свойству директрисы

Гипербола: свойство директрисы

Гипербола: определение со свойством директрисы

Две линии на расстоянии ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$ и параллельные малой оси называются директрисы гиперболы (см. диаграмму).

Для произвольной точки ${\displaystyle P}$ гиперболы отношение расстояния до одного фокуса и соответствующей директрисы (см. диаграмму) равно эксцентриситету:

${\displaystyle {\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}\ .}$

Доказательство для пары ${\displaystyle F_{1},l_{1}}$ следует из того, что ${\displaystyle |PF_{1}|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$ и ${\displaystyle y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}$ удовлетворяют уравнению

${\displaystyle |PF_{1}|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0\ .}$

Второй случай доказывается аналогично.

Карандаш из конусов с общей вершиной и общей полуширокой прямой кишкой

В обратное утверждение также верно и может использоваться для определения гиперболы (аналогично определению параболы):

Для любой точки ${\displaystyle F}$ (фокус), любая линия ${\displaystyle l}$ (директриса) не через ${\displaystyle F}$ и любое реальное число ${\displaystyle e}$ с ${\displaystyle e>1}$ множество точек (геометрическое место точек), для которых отношение расстояний до точки и до прямой равно ${\displaystyle e}$

${\displaystyle H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}}$

это гипербола.

(Выбор ${\displaystyle e=1}$ дает парабола и если ${\displaystyle e<1}$ ан эллипс.)

Доказательство

Позволять ${\displaystyle F=(f,0),\ e>0}$ и предполагать ${\displaystyle (0,0)}$ точка на кривой. Директриса ${\displaystyle l}$ имеет уравнение ${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$. С ${\displaystyle P=(x,y)}$, Соотношение ${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$ производит уравнения

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\tfrac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$ и ${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

Замена ${\displaystyle p=f(1+e)}$ дает

${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2px-y^{2}=0.}$

Это уравнение эллипс (${\displaystyle e<1}$) или парабола (${\displaystyle e=1}$) или гипербола (${\displaystyle e>1}$). Все эти невырожденные коники имеют общее начало координат как вершину (см. Диаграмму).

Если ${\displaystyle e>1}$, ввести новые параметры ${\displaystyle a,b}$ так что${\displaystyle e^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$, а затем приведенное выше уравнение становится

${\displaystyle {\tfrac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,}$

что является уравнением гиперболы с центром ${\displaystyle (-a,0)}$, то Икс- ось как большая ось и большая / малая полуось ${\displaystyle a,b}$.

Гипербола как плоское сечение конуса

Гипербола (красная): два вида конуса и двух сфер Данделина. d₁, d₂

Пересечение прямого двойного конуса плоскостью, не проходящей через вершину, с наклоном больше, чем наклон прямых на конусе, является гиперболой (см. Диаграмму: красная кривая). Для доказательства определяющего свойства гиперболы (см. Выше) используются два Данделин сферы ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$, представляющие собой сферы, которые касаются конуса по окружностям ${\displaystyle c_{1}}$ , ${\displaystyle c_{2}}$ и пересекающаяся (гипербола) плоскость в точках ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$. Получается: ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ являются фокусы гиперболы.

1. Позволять ${\displaystyle P}$ - произвольная точка кривой пересечения.
2. В образующая конуса, содержащего ${\displaystyle P}$ пересекает круг ${\displaystyle c_{1}}$ в точке ${\displaystyle A}$ и круг ${\displaystyle c_{2}}$ в какой-то момент ${\displaystyle B}$.
3. Сегменты линии ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$ и ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ касаются сферы ${\displaystyle d_{1}}$ и, следовательно, имеют одинаковую длину.
4. Сегменты линии ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ и ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ касаются сферы ${\displaystyle d_{2}}$ и, следовательно, имеют одинаковую длину.
5. Результат: ${\displaystyle |PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|}$ не зависит от точки гиперболы ${\displaystyle P}$, потому что независимо от того, где точка ${\displaystyle P}$ является, ${\displaystyle A,B}$ должен быть в кругах ${\displaystyle c_{1}}$ , ${\displaystyle c_{2}}$, и линейный сегмент ${\displaystyle AB}$ должен пересечь вершину. Следовательно, как точка ${\displaystyle P}$ движется по красной кривой (гиперболе), отрезок ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ просто вращается вокруг вершины, не изменяя своей длины.

Конструкция штифта и струны

Гипербола: конструкция штифта и струны

Определение гиперболы по ее фокусам и круговым направляющим (см. Выше) может быть использовано для рисования ее дуги с помощью булавок, веревки и линейки:^[16]

(0) Выберите фокусы ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$, вершины ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ и один из круговые директрисы , Например ${\displaystyle c_{2}}$ (круг с радиусом ${\displaystyle 2a}$)
(1) А линейка фиксируется в точке ${\displaystyle F_{2}}$ свободно вращаться ${\displaystyle F_{2}}$. Точка ${\displaystyle B}$ отмечен на расстоянии ${\displaystyle 2a}$.
(2) А нить с длиной ${\displaystyle |AB|}$ приготовлено.
(3) Один конец струны закреплен в точке ${\displaystyle A}$ на линейке другой конец прикреплен к острию ${\displaystyle F_{1}}$.
(4) Возьмите ручка и крепко прижмите шнур к краю линейки.
(5) Вращающийся правитель вокруг ${\displaystyle F_{2}}$ предлагает ручке нарисовать дугу правой ветви гиперболы, так как ${\displaystyle |PF_{1}|=|PB|}$ (см. определение гиперболы круговые директрисы).

Касательная делит пополам угол между прямыми к фокусам

Гипербола: касательная делит пополам линии, проходящие через фокусы

Касательная в точке ${\displaystyle P}$ делит угол между линиями пополам ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}}$.

Доказательство

Позволять ${\displaystyle L}$ быть точкой на линии ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ с расстояния ${\displaystyle 2a}$ в фокус ${\displaystyle F_{2}}$ (см. диаграмму, ${\displaystyle a}$ - большая полуось гиперболы). Линия ${\displaystyle w}$ это биссектриса угла между прямыми ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}}$. Чтобы доказать, что ${\displaystyle w}$ касательная линия в точке ${\displaystyle P}$, проверяется, что любая точка ${\displaystyle Q}$ онлайн ${\displaystyle w}$ который отличается от ${\displaystyle P}$ не может быть на гиперболе. Следовательно ${\displaystyle w}$ имеет только точку ${\displaystyle P}$ вместе с гиперболой и, следовательно, является касательной в точке ${\displaystyle P}$.
Из диаграммы и неравенство треугольника можно признать, что ${\displaystyle |QF_{2}|<|LF_{2}|+|QL|=2a+|QF_{1}|}$ имеет место, что означает: ${\displaystyle |QF_{2}|-|QF_{1}|<2a}$. Но если ${\displaystyle Q}$ точка гиперболы, разница должна быть ${\displaystyle 2a}$.

Середины параллельных хорд

Гипербола: середины параллельных хорд лежат на одной прямой.

Гипербола: середина хорды - это середина соответствующей хорды асимптот.

Середины параллельных хорд гиперболы лежат на прямой, проходящей через центр (см. Диаграмму).

Точки любой хорды могут лежать на разных ветвях гиперболы.

Доказательство свойства на мидпойнтах лучше всего проводить для гиперболы ${\displaystyle y=1/x}$. Поскольку любая гипербола - это аффинный образ гиперболы ${\displaystyle y=1/x}$ (см. раздел ниже), а аффинное преобразование сохраняет параллельность и середины отрезков прямых, это свойство верно для всех гипербол:
По двум очкам ${\displaystyle P=\left(x_{1},{\tfrac {1}{x_{1}}}\right),\ Q=\left(x_{2},{\tfrac {1}{x_{2}}}\right)}$ гиперболы ${\displaystyle y=1/x}$

середина аккорда ${\displaystyle M=\left({\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},\cdots \right)=\cdots ={\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}}\;\left(1,{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\right)\ ;}$

наклон хорды ${\displaystyle {\frac {{\tfrac {1}{x_{2}}}-{\tfrac {1}{x_{1}}}}{x_{2}-x_{1}}}=\cdots =-{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\ .}$

Для параллельных хорд наклон постоянный, а середины параллельных хорд лежат на прямой ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\;x\ .}$

Следствие: для любой пары точек ${\displaystyle P,Q}$ хорды существует перекос с осью (набором неподвижных точек), проходящей через центр гиперболы, которая меняет местами точки ${\displaystyle P,Q}$ и оставляет гиперболу (в целом) фиксированной. Косое отражение - это обобщение обычного отражения поперек линии. ${\displaystyle m}$, где все пары точка-изображение находятся на линии, перпендикулярной ${\displaystyle m}$.

Поскольку косое отражение оставляет гиперболу неподвижной, пара асимптот также остается фиксированной. Отсюда середина ${\displaystyle M}$ аккорда ${\displaystyle PQ}$ делит связанный сегмент линии ${\displaystyle {\overline {P}}\,{\overline {Q}}}$ между асимптотами тоже пополам. Это означает, что ${\displaystyle |P{\overline {P}}|=|Q{\overline {Q}}|}$. Это свойство можно использовать для построения дальнейших точек. ${\displaystyle Q}$ гиперболы, если точка ${\displaystyle P}$ и даны асимптоты.

Если хорда вырождается в касательная, то точка касания делит отрезок между асимптотами на две половины.

Штейнеровское поколение гиперболы

Гипербола: поколение Штейнера

Гипербола у = 1/Икс: Поколение Штайнера

Следующий метод построения одиночных точек гиперболы основан на Штейнеровская генерация невырожденного конического сечения:

Учитывая два карандаши ${\displaystyle B(U),B(V)}$ линий в двух точках ${\displaystyle U,V}$ (все строки, содержащие ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$соответственно) и проективное, но не перспективное отображение ${\displaystyle \pi }$ из ${\displaystyle B(U)}$ на ${\displaystyle B(V)}$, то точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение.

Для создания точек гиперболы ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ карандаши используются в вершинах ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$. Позволять ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ быть точкой гиперболы и ${\displaystyle A=(a,y_{0}),B=(x_{0},0)}$. Сегмент линии ${\displaystyle {\overline {BP}}}$ делится на n равноотстоящих сегментов, и это деление проецируется параллельно диагонали ${\displaystyle AB}$ как направление на отрезок линии ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ (см. диаграмму). Параллельная проекция является частью проективного отображения между пучками в точке ${\displaystyle V_{1}}$ и ${\displaystyle V_{2}}$ нужный. Точки пересечения любых двух связанных линий ${\displaystyle S_{1}A_{i}}$ и ${\displaystyle S_{2}B_{i}}$ - точки однозначно определенной гиперболы.

Замечание: Подразделение могло быть расширено за пределы точек ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ чтобы получить больше точек, но определение точек пересечения станет более неточным. Лучше всего расширить уже построенные точки с помощью симметрии (см. Анимацию).

Замечание:

1. Поколение Штейнера существует также для эллипсов и парабол.
2. Поколение Штайнера иногда называют метод параллелограмма потому что вместо вершин можно использовать другие точки, что начинается с параллелограмма вместо прямоугольника.

Вписанные углы для гипербол у = а/(Икс − б) + c и трехточечная форма

Гипербола: теорема о вписанном угле

Гипербола с уравнением ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c,\ a\neq 0}$ однозначно определяется тремя точками ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})}$ с разными Икс- и у-координаты. Простой способ определения параметров формы ${\displaystyle a,b,c}$ использует теорема о вписанном угле для гипербол:

Чтобы измерить угол между двумя строками с уравнениями ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}\ ,m_{1},m_{2}\neq 0}$ в этом контексте используется частное

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\ .}$

Аналогично вписанный угол Теорема для кругов получается

Теорема о вписанном угле для гипербол:,:^[17][18]

По четырем точкам ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,4,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k}$ (см. диаграмму) верно следующее утверждение:

Четыре точки находятся на гиперболе с уравнением ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c}$ тогда и только тогда, когда углы при ${\displaystyle P_{3}}$ и ${\displaystyle P_{4}}$ равны в смысле вышеуказанного измерения. Это означает, что если

${\displaystyle {\frac {(y_{4}-y_{1})}{(x_{4}-x_{1})}}{\frac {(x_{4}-x_{2})}{(y_{4}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}}$

(Доказательство: прямое вычисление. Если точки находятся на гиперболе, можно предположить, что уравнение гиперболы имеет вид ${\displaystyle y=a/x}$.)

Следствием теоремы о вписанном угле для гипербол является

Трехточечная форма уравнения гиперболы:

Уравнение гиперболы, определяемое 3 точками ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k}$ является решением уравнения

${\displaystyle {\frac {({\color {red}y}-y_{1})}{({\color {green}x}-x_{1})}}{\frac {({\color {green}x}-x_{2})}{({\color {red}y}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}}$

за ${\displaystyle {\color {red}y}}$.

Ортогональные касательные - ортоптические

Гипербола с ее ортоптическим (пурпурным)

Основная статья: Ортоптический (геометрия)

Для гиперболы ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\,a>b}$ точки пересечения ортогональный касательные лежат на окружности ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}$.
Этот круг называется ортоптический данной гиперболы.

Касательные могут принадлежать точкам на разных ветвях гиперболы.

В случае ${\displaystyle a\leq b}$ нет пар ортогональных касательных.

Полярно-полярное соотношение для гиперболы

Гипербола: полярно-полярное отношение

Любую гиперболу можно описать в подходящей системе координат уравнением ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$. Уравнение касательной в точке ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ гиперболы ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}y}{b^{2}}}=1.}$ Если разрешить точку ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ быть произвольной точкой, отличной от начала координат, то

точка ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)}$ отображается на линию ${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$, а не через центр гиперболы.

Это отношение между точками и линиями есть биекция.

В обратная функция карты

линия ${\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}$ на точку ${\displaystyle \left(-{\frac {ma^{2}}{d}},-{\frac {b^{2}}{d}}\right)}$ и

линия ${\displaystyle x=c,\ c\neq 0}$ на точку ${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{c}},0\right)\ .}$

Такое отношение между точками и прямыми, порожденными коникой, называется полярно-полярное отношение или просто полярность. Полюс - это точка, полярная линия. Видеть Полярный и полярный.

Расчетным путем проверяются следующие свойства полярно-полярной связи гиперболы:

• Для точки (полюса) на гипербола поляра является касательной в этой точке (см. диаграмму: ${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$).
• Для шеста ${\displaystyle P}$ за пределами гипербола точки пересечения ее поляры с гиперболой являются точками касания двух касательных, проходящих через ${\displaystyle P}$ (см. диаграмму: ${\displaystyle P_{2},\ p_{2},\ P_{3},\ p_{3}}$).
• Для точки в гипербола не имеет ничего общего с гиперболой. (см. диаграмму: ${\displaystyle P_{4},\ p_{4}}$).

Примечания:

1. Точка пересечения двух поляр (например: ${\displaystyle p_{2},p_{3}}$) - это полюс линии, проходящей через их полюса (здесь: ${\displaystyle P_{2},P_{3}}$).
2. Фокусы ${\displaystyle (c,0),}$ и ${\displaystyle (-c,0)}$ соответственно и директрис ${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}$ и ${\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}$ соответственно относятся к парам полюса и полюса.

Полюс-полярные отношения существуют также для эллипсов и парабол.

Гипербола как аффинный образ единичной гиперболы Икс² − у² = 1

Гипербола как аффинный образ единичной гиперболы

Другое определение гиперболы использует аффинные преобразования:

Любой гипербола - аффинный образ единичной гиперболы с уравнением ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$.

параметрическое представление

Аффинное преобразование евклидовой плоскости имеет вид ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$, куда ${\displaystyle A}$ регулярный матрица (это детерминант не 0) и ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ - произвольный вектор. Если ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ являются векторами-столбцами матрицы ${\displaystyle A}$, гипербола единицы ${\displaystyle (\pm \cosh(t),\sinh(t)),t\in \mathbb {R} ,}$ отображается на гиперболу

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\ .}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ это центр, ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}}$ точка гиперболы и ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$ касательный вектор в этой точке.

вершины

В общем случае векторы ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ не перпендикулярны. Это значит, в общем ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}}$ находятся нет вершины гиперболы. Но ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}\pm {\vec {f}}_{2}}$ указывают в направлениях асимптот. Касательный вектор в точке ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ является

${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\ .}$

Поскольку в вершине касательная перпендикулярна большой оси гиперболы, получаем параметр ${\displaystyle t_{0}}$ вершины из уравнения

${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\right)=0}$

и, следовательно, из

${\displaystyle \coth(2t_{0})=-{\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}+{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\ ,}$

что дает

${\displaystyle t_{0}={\tfrac {1}{4}}\ln {\tfrac {\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}{\left({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}}.}$

(Формулы ${\displaystyle \cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x,\ 2\sinh x\cosh x=\sinh 2x,\ \operatorname {arcoth} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\tfrac {x+1}{x-1}}}$ were used.)

Два вершины of the hyperbola are ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm \left({\vec {f}}_{1}\cosh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\sinh t_{0}\right).}$

implicit representation

Solving the parametric representation for ${\displaystyle \;\cosh t,\sinh t\;}$ к Правило Крамера и используя ${\displaystyle \;\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t-1=0\;}$, one gets the implicit representation

${\displaystyle \det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})^{2}=0}$.

hyperbola in space

The definition of a hyperbola in this section gives a parametric representation of an arbitrary hyperbola, even in space, if one allows ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$ to be vectors in space.

Hyperbola as an affine image of the hyperbola у = 1/Икс

Hyperbola as affine image of у = 1/Икс

Because the unit hyperbola ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ is affinely equivalent to the hyperbola ${\displaystyle y=1/x}$, an arbitrary hyperbola can be considered as the affine image (see previous section) of the hyperbola ${\displaystyle y=1/x\ :}$

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\quad t\neq 0\ .}$

${\displaystyle M:{\vec {f}}_{0}}$ is the center of the hyperbola, the vectors ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ have the directions of the asymptotes and ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}}$ is a point of the hyperbola. The tangent vector is

${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}.}$

At a vertex the tangent is perpendicular to the major axis. Следовательно

${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0}$

and the parameter of a vertex is

${\displaystyle t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\tfrac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}.}$

${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}|=|{\vec {f}}_{2}|}$ эквивалентно ${\displaystyle t_{0}=\pm 1}$ и ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$ are the vertices of the hyperbola.

The following properties of a hyperbola are easily proven using the representation of a hyperbola introduced in this section.

Tangent construction

Tangent construction: asymptotes and п given → tangent

The tangent vector can be rewritten by factorization:

${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}\left({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)\ .}$

Это означает, что

the diagonal ${\displaystyle AB}$ of the parallelogram ${\displaystyle M:\ {\vec {f}}_{0},\ A={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t,\ B:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\ P:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$ is parallel to the tangent at the hyperbola point ${\displaystyle P}$ (см. диаграмму).

This property provides a way to construct the tangent at a point on the hyperbola.

This property of a hyperbola is an affine version of the 3-point-degeneration of Теорема Паскаля.^[19]

Area of the grey parallelogram

The area of the grey parallelogram ${\displaystyle MAPB}$ in the above diagram is

${\displaystyle {\text{Area}}={\Big |}\det \left(t{\vec {f}}_{1},{\tfrac {1}{t}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}={\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=\cdots ={\frac {a^{2}+b^{2}}{4}}}$

and hence independent of point ${\displaystyle P}$. The last equation follows from a calculation for the case, where ${\displaystyle P}$ is a vertex and the hyperbola in its canonical form ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$

Point construction

Point construction: asymptotes and п₁ are given → п₂

For a hyperbola with parametric representation ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$ (for simplicity the center is the origin) the following is true:

For any two points ${\displaystyle P_{1}:\ {\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ P_{2}:\ {\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}}$ точки

${\displaystyle A:\ {\vec {a}}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}},\ B:\ {\vec {b}}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}}}$

are collinear with the center of the hyperbola (see diagram).

The simple proof is a consequence of the equation ${\displaystyle {\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {b}}}$.

This property provides a possibility to construct points of a hyperbola if the asymptotes and one point are given.

This property of a hyperbola is an affine version of the 4-point-degeneration of Теорема Паскаля.^[20]

Tangent-asymptotes-triangle

Hyperbola: tangent-asymptotes-triangle

For simplicity the center of the hyperbola may be the origin and the vectors ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ have equal length. If the last assumption is not fulfilled one can first apply a parameter transformation (see above) in order to make the assumption true. Следовательно ${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$ are the vertices, ${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})}$ span the minor axis and one gets ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a}$ и ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b}$.

For the intersection points of the tangent at point ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}}$ with the asymptotes one gets the points

${\displaystyle C=2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D={\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}.}$

В площадь of the triangle ${\displaystyle M,C,D}$ can be calculated by a 2x2-determinant:

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\Big |}\det \left(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=2{\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}}$

(see rules for детерминанты ).${\displaystyle |\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})|}$ is the area of the rhombus generated by ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$. The area of a rhombus is equal to one half of the product of its diagonals. The diagonals are the semi-axes ${\displaystyle a,b}$ гиперболы. Hence:

В площадь of the triangle ${\displaystyle MCD}$ is independent of the point of the hyperbola: ${\displaystyle A=ab.}$

Полярные координаты

Hyperbola: Polar coordinates with pole = focus

Hyperbola: Polar coordinates with pole = center

For pole = focus:

The polar coordinates used most commonly for the hyperbola are defined relative to the Cartesian coordinate system that has its origin in a focus and its x-axis pointing towards the origin of the "canonical coordinate system" as illustrated in the first diagram.
In this case the angle ${\displaystyle \varphi }$ называется истинная аномалия.

Relative to this coordinate system one has that

${\displaystyle r={\frac {p}{1\mp e\cos \varphi }},\quad p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$

и

${\displaystyle -\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right).}$

for pole = center:

With polar coordinates relative to the "canonical coordinate system" (see second diagram)one has that

${\displaystyle r={\frac {b}{\sqrt {e^{2}\cos ^{2}\varphi -1}}}.\,}$

For the right branch of the hyperbola the range of ${\displaystyle \varphi }$ является

${\displaystyle -\arccos \left({\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left({\frac {1}{e}}\right).}$

Параметрические уравнения

A hyperbola with equation ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ can be described by several parametric equations:

1. ${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a\cosh t,\\y=b\sinh t,\end{cases}}\qquad t\in \mathbb {R} .}$
2. ${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a{\tfrac {t^{2}+1}{2t}},\\y=b{\tfrac {t^{2}-1}{2t}},\end{cases}}\qquad t>0}$ (рациональный представление).
3. ${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {a}{\cos t}}=a\sec t,\\y=\pm b\tan t,\end{cases}}\qquad 0\leq t<2\pi ,\ t\neq {\frac {\pi }{2}},\ t\neq {\frac {3}{2}}\pi .}$
4. Tangent slope as parameter:

   A parametric representation, which uses the slope ${\displaystyle m}$ of the tangent at a point of the hyperbola can be obtained analogously to the ellipse case: Replace in the ellipse case ${\displaystyle b^{2}}$ к ${\displaystyle -b^{2}}$ and use formulae for the гиперболические функции. Один получает

   ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}},{\frac {-b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}}\right),\quad |m|>b/a.}$

   ${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$ is the upper, and ${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$ the lower half of the hyperbola. The points with vertical tangents (vertices ${\displaystyle (\pm a,0)}$) are not covered by the representation.

   The equation of the tangent at point ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ является

   ${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}.}$

   This description of the tangents of a hyperbola is an essential tool for the determination of the orthoptic of a hyperbola.

Other mathematical definitions

Reciprocation of a circle

В reciprocation из круг B in a circle C always yields a conic section such as a hyperbola. The process of "reciprocation in a circle C" consists of replacing every line and point in a geometrical figure with their corresponding pole and polar, соответственно. В столб of a line is the инверсия of its closest point to the circle C, whereas the polar of a point is the converse, namely, a line whose closest point to C is the inversion of the point.

The eccentricity of the conic section obtained by reciprocation is the ratio of the distances between the two circles' centers to the radius р of reciprocation circle C. Если B и C represent the points at the centers of the corresponding circles, then

${\displaystyle e={\frac {\overline {BC}}{r}}.}$

Since the eccentricity of a hyperbola is always greater than one, the center B must lie outside of the reciprocating circle C.

This definition implies that the hyperbola is both the локус of the poles of the tangent lines to the circle B, так же хорошо как конверт of the polar lines of the points on B. Conversely, the circle B is the envelope of polars of points on the hyperbola, and the locus of poles of tangent lines to the hyperbola. Two tangent lines to B have no (finite) poles because they pass through the center C of the reciprocation circle C; the polars of the corresponding tangent points on B are the asymptotes of the hyperbola. The two branches of the hyperbola correspond to the two parts of the circle B that are separated by these tangent points.

Квадратное уровненеие

A hyperbola can also be defined as a second-degree equation in the Cartesian coordinates (Икс, у) в самолет,

${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0,}$

provided that the constants А_хх, А_ху, А_гг, B_Икс, B_у, и C satisfy the determinant condition

${\displaystyle D:={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0.\,}$

This determinant is conventionally called the дискриминант of the conic section.^[21]

A special case of a hyperbola—the degenerate hyperbola consisting of two intersecting lines—occurs when another determinant is zero:

${\displaystyle \Delta :={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{vmatrix}}=0.}$

This determinant Δ is sometimes called the discriminant of the conic section.^[22]

Given the above general parametrization of the hyperbola in Cartesian coordinates, the eccentricity can be found using the formula in Conic section#Eccentricity in terms of parameters of the quadratic form.

The center (Икс_c, у_c) of the hyperbola may be determined from the formulae

${\displaystyle x_{c}=-{\frac {1}{D}}{\begin{vmatrix}B_{x}&A_{xy}\\B_{y}&A_{yy}\end{vmatrix}};}$

${\displaystyle y_{c}=-{\frac {1}{D}}{\begin{vmatrix}A_{xx}&B_{x}\\A_{xy}&B_{y}\end{vmatrix}}.}$

In terms of new coordinates, ξ = Икс − Икс_c и η = у − у_c, определяющее уравнение гиперболы можно записать

${\displaystyle A_{xx}\xi ^{2}+2A_{xy}\xi \eta +A_{yy}\eta ^{2}+{\frac {\Delta }{D}}=0.}$

Главные оси гиперболы составляют угол φ с положительным Икс-ось, заданная

${\displaystyle \tan 2\varphi ={\frac {2A_{xy}}{A_{xx}-A_{yy}}}.}$

Поворачивая оси координат так, чтобы Икс-ось совмещена с поперечной осью, что приводит к уравнению каноническая форма

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Большая и малая полуоси а и б определяются уравнениями

${\displaystyle a^{2}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}},}$

${\displaystyle b^{2}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{2}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}},}$

где λ₁ и λ₂ являются корни из квадратное уровненеие

${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(A_{xx}+A_{yy}\right)\lambda +D=0.}$

Для сравнения соответствующее уравнение для вырожденной гиперболы (состоящей из двух пересекающихся прямых) имеет вид

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$

Касательная к заданной точке (Икс₀, у₀) на гиперболе определяется уравнением

${\displaystyle Ex+Fy+G=0}$

куда E, F и грамм определены

${\displaystyle E=A_{xx}x_{0}+A_{xy}y_{0}+B_{x},}$

${\displaystyle F=A_{xy}x_{0}+A_{yy}y_{0}+B_{y},}$

${\displaystyle G=B_{x}x_{0}+B_{y}y_{0}+C.}$

В нормальная линия к гиперболе в той же точке задается уравнением

${\displaystyle F(x-x_{0})-E(y-y_{0})=0.}$

Нормаль перпендикулярна касательной, и обе проходят через одну и ту же точку (Икс₀, у₀).

Из уравнения

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\qquad 0<b\leq a,}$

левый фокус ${\displaystyle (-ae,0)}$ и правильный фокус ${\displaystyle (ae,0),}$ куда е это эксцентриситет. Обозначим расстояния от точки (х, у) в левый и правый фокусы как ${\displaystyle r_{1}\,\!}$ и ${\displaystyle r_{2}.\,\!}$ Для точки на правой ветви

${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a,\,\!}$

а для точки на левой ветви

${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.\,\!}$

Это можно доказать следующим образом:

Если (Икс,у) - точка на гиперболе, расстояние до левой фокальной точки равно

${\displaystyle r_{1}^{2}=(x+ae)^{2}+y^{2}=x^{2}+2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex+a)^{2}.}$

Расстояние до правой фокальной точки составляет

${\displaystyle r_{2}^{2}=(x-ae)^{2}+y^{2}=x^{2}-2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex-a)^{2}.}$

Если (х, у) - точка на правой ветви гиперболы, то ${\displaystyle ex>a\,\!}$ и

${\displaystyle r_{1}=ex+a,\,\!}$

${\displaystyle r_{2}=ex-a.\,\!}$

Вычитая эти уравнения, получаем

${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a.\,\!}$

Если (х, у) - точка на левой ветви гиперболы, то ${\displaystyle ex<-a\,\!}$ и

${\displaystyle r_{1}=-ex-a,\,\!}$

${\displaystyle r_{2}=-ex+a.\,\!}$

Вычитая эти уравнения, получаем

${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.\,\!}$

Анализ конического сечения гиперболического вида окружностей

Центральная проекция кругов на сфере: Центр О проекции находится внутри сферы, плоскость изображения красная.
В качестве изображений кругов получается круг (пурпурный), эллипсы, гиперболы и линии. Частный случай параболы в этом примере не появляется.
(Если в центре О мы на сфера, все изображения кругов будут кругами или линиями; видеть стереографическая проекция ).

Помимо обеспечения единообразного описания кругов, эллипсов, парабол и гипербол, конические сечения также можно понимать как естественную модель геометрии перспективы в случае, когда просматриваемая сцена состоит из кругов или, в более общем смысле, эллипса. Зрителем обычно является камера или человеческий глаз, а изображение сцены - центральная проекция на плоскость изображения, то есть все лучи проекции проходят фиксированную точку О, центр. В плоскость линзы плоскость, параллельная плоскости изображения на линзе О.

Образ круга c есть

а) а круг, если кружок c находится в особом положении, например параллельно плоскости изображения и др. (см. стереографическую проекцию),

б) эллипс, если c имеет нет общая точка с плоскостью линзы,

в) а парабола, если c имеет один точка с плоскостью линзы в общем и

г) а гипербола, если c имеет два точки вместе с плоскостью линзы.

(Особые положения, когда плоскость окружности содержит точку О опущены.)

Эти результаты можно понять, если учесть, что процесс проецирования можно увидеть в два этапа: 1) круг c и точка О создать конус, который 2) разрезан плоскостью изображения, чтобы создать изображение.

Гиперболу можно увидеть всякий раз, когда видишь часть круга, пересеченного плоскостью линзы. Неспособность видеть очень большую часть ветвей видимой ветви в сочетании с полным отсутствием второй ветви делает практически невозможным для зрительной системы человека распознать связь с гиперболами.

Длина дуги

Длина дуги гиперболы не имеет выражение в закрытой форме. Верхняя половина гиперболы может быть параметризована как

${\displaystyle y=b{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}.}$

Тогда интеграл, дающий длину дуги ${\displaystyle s}$ из ${\displaystyle x_{1}}$ к ${\displaystyle x_{2}}$ можно вычислить численно:

${\displaystyle s=b\int _{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {1+\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\sinh ^{2}v}}\,\mathrm {d} v.}$

После использования замены ${\displaystyle z=iv}$, это также можно представить с помощью эллиптический интеграл второго рода с параметром ${\displaystyle m=k^{2}}$:

${\displaystyle s=-ib{\Biggr [}E\left(iz\,{\Biggr |}\,1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right){\Biggr ]}_{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}.}$

Производные кривые

Синусоидальные спирали: равносторонний гипербола (п = −2), линия (п = −1), парабола (п = −1/2), кардиоидный (п = 1/2), круг (п = 1) и лемниската Бернулли (п = 2), куда р^п = −1^п потому что nθ в полярные координаты и их эквиваленты в прямоугольные координаты.

Несколько других кривых могут быть получены из гиперболы следующим образом: инверсия, так называемой обратные кривые гиперболы. Если центр инверсии выбран как собственный центр гиперболы, обратная кривая будет лемниската Бернулли; лемниската - это также оболочка из кругов с центром на прямоугольной гиперболе, проходящая через начало координат. Если центр инверсии выбран в фокусе или вершине гиперболы, полученные обратные кривые будут Limaçon или строфоид, соответственно.

Эллиптические координаты

Семейство конфокальных гипербол составляет основу системы эллиптические координаты в двух измерениях. Эти гиперболы описываются уравнением

${\displaystyle \left({\frac {x}{c\cos \theta }}\right)^{2}-\left({\frac {y}{c\sin \theta }}\right)^{2}=1}$

где очаги расположены на расстоянии c от происхождения на Икс-оси, где θ - угол асимптоты с Икс-ось. Каждая гипербола в этом семействе ортогональна любому эллипсу с одним и тем же фокусом. Эту ортогональность можно показать с помощью конформная карта декартовой системы координат ш = z + 1/z, куда z= Икс + иу - исходные декартовы координаты, а ш=ты + iv те, кто после трансформации.

Другие ортогональные двумерные системы координат, включающие гиперболы, могут быть получены с помощью других конформных отображений. Например, отображение ш = z² преобразует декартову систему координат в два семейства ортогональных гипербол.

Другие свойства гипербол

• Следующие одновременный: (1) круг, проходящий через фокусы гиперболы с центром в центре гиперболы; (2) любая из прямых, касающихся гиперболы в вершинах; и (3) любая из асимптот гиперболы.^[23][24]
• Следующие элементы также совпадают: (1) круг с центром в центре гиперболы и проходящий через вершины гиперболы; (2) либо директриса; и (3) любая из асимптот.^[24]

Приложения

Гиперболы как линии склонения на солнечных часах

Солнечные часы

Гиперболы можно увидеть во многих солнечные часы. В любой день солнце вращается по кругу на небесная сфера, а его лучи, попадая в острие солнечных часов, образуют конус света. Пересечение этого конуса с горизонтальной плоскостью земли образует коническое сечение. На большинстве населенных широт и в большую часть времени года это коническое сечение представляет собой гиперболу. На практике тень от наконечника шеста очерчивает гиперболу на земле в течение дня (этот путь называется линия склонения). Форма этой гиперболы меняется в зависимости от географической широты и времени года, поскольку эти факторы влияют на конус солнечных лучей относительно горизонта. Сбор таких гипербол за год в заданном месте назывался пелекинон греками, так как он напоминает двуручный топор.

Мультилатерация

Гипербола - основа для решения мультилатерация задач, задача определения местоположения точки по разнице ее расстояний до заданных точек - или, что то же самое, по разнице во времени прибытия синхронизированных сигналов между точкой и заданными точками. Такие проблемы важны в судоходстве, особенно на воде; корабль может определить свое местоположение по разнице во времени прибытия сигналов от ЛОРАН или же GPS передатчики. И наоборот, самонаводящийся радиомаяк или любой передатчик можно определить путем сравнения времени прихода его сигналов на две отдельные принимающие станции; такие методы могут использоваться для отслеживания объектов и людей. В частности, набор возможных положений точки, имеющей разность расстояний 2а из двух заданных точек есть гипербола разделения вершин 2а чьи фокусы - это две данные точки.

Путь, по которому идет частица

Путь, по которому проходит любая частица в классическом Проблема Кеплера это коническая секция. В частности, если полная энергия E частицы больше нуля (то есть, если частица не связана), путь такой частицы представляет собой гиперболу. Это свойство полезно при изучении атомных и субатомных сил путем рассеяния частиц высокой энергии; например, Резерфорд эксперимент продемонстрировал существование атомное ядро исследуя рассеяние альфа-частицы из золото атомы. Если пренебречь короткодействующими ядерными взаимодействиями, атомное ядро ​​и альфа-частица взаимодействуют только за счет отталкивания. Кулоновская сила, что удовлетворяет закон обратных квадратов требование для задачи Кеплера.

Уравнение Кортевега – де Фриза

Гиперболическая триггерная функция ${\displaystyle \operatorname {sech} \,x}$ появляется как одно из решений Уравнение Кортевега – де Фриза описывающее движение солитонной волны в канале.

Трисекция угла

Трисекция угла (AOB) с использованием гиперболы с эксцентриситетом 2 (желтая кривая)

Как показано сначала Аполлоний Пергский, гипербола может использоваться для разрезать любой угол, хорошо изученная проблема геометрии. Учитывая угол, сначала нарисуйте круг с центром в его вершине. О, который пересекает стороны угла в точках А и B. Затем нарисуйте отрезок линии с конечными точками А и B и его серединный перпендикуляр ${\displaystyle \ell }$. Построить гиперболу эксцентриситет е= 2 с ${\displaystyle \ell }$ в качестве директриса и B как фокус. Позволять п - пересечение (верхнее) гиперболы с окружностью. Угол POB угол трисекции AOB.

Чтобы доказать это, отразите отрезок линии OP о линии ${\displaystyle \ell }$ получение точки П' как образ п. Сегмент AP ' имеет ту же длину, что и сегмент BP из-за отражения, а сегмент PP ' имеет ту же длину, что и сегмент BP из-за эксцентриситета гиперболы. В качестве OA, OP ', OP и OB все радиусы одного круга (и, следовательно, имеют одинаковую длину), треугольники OAP ', OPP ' и OPB все конгруэнтны. Следовательно, угол был разделен на три части, поскольку 3 ×POB = AOB.^[25]

Граница эффективного портфеля

В теория портфеля, место средняя дисперсия эффективна портфели (называемые эффективной границей) - это верхняя половина открывающейся на восток ветви гиперболы, построенной со стандартным отклонением доходности портфеля, нанесенным по горизонтали, и его ожидаемым значением, нанесенным по вертикали; Согласно этой теории, все рациональные инвесторы выбрали бы портфель, характеризуемый некоторой точкой в ​​этом локусе.

Биохимия

В биохимия и фармакология, то Уравнение Хилла и Уравнение Хилла-Ленгмюра соответственно описывают биологические ответы и формирование комплексы белок-лиганд в зависимости от концентрации лиганда. Оба они представляют собой прямоугольные гиперболы.

Гиперболы как плоские сечения квадрик

Гиперболы выглядят как плоские секции следующих квадрики:

• Эллиптический конус
• Гиперболический цилиндр
• Гиперболический параболоид
• Гиперболоид одного листа
• Гиперболоид двух листов

• 

  Эллиптический конус

• 

  Гиперболический цилиндр

• 

  Гиперболический параболоид

• 

  Гиперболоид одного листа

• 

  Гиперболоид двух листов

Смотрите также

Другие конические секции

• Круг
• Эллипс
• Парабола
• Вырожденная коническая

Другие связанные темы

• Эллиптические координаты, ортогональная система координат на основе семейств эллипсы и гиперболы.
• Гиперболический рост
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Гиперболический сектор
• Гиперболическая структура
• Гиперболическая траектория
• Гиперболоид
• Мультилатерация
• Вращение осей
• Перевод осей
• Гипербола единиц

Примечания

1. Окли (1944 г., п. 17)
2. Окли (1944 г., п. 17)
3. Хит, сэр Томас Литтл (1896), "Глава I. Открытие конических сечений. Менахм", Аполлоний Пергский: Трактат о конических сечениях с введениями, включая очерк более ранней истории по этому вопросу, Cambridge University Press, стр. Xvii – xxx.
4. Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К. (2011), История математики, Wiley, стр. 73, ISBN  9780470630563, Именно Аполлоний (возможно, следуя предложению Архимеда) ввел названия «эллипс» и «гипербола» в связи с этими кривыми.
5. Евс, Ховард (1963), Обзор геометрии (Том первый), Аллин и Бэкон, стр. 30–31.
6. Проттер и Морри (1970, стр. 308–310).
7. Проттер и Морри (1970, п. 310)
8. Апостол, Том М .; Мнацаканян, Мамикон А. (2012), Новые горизонты в геометрии, The Dolciani Mathematical Expositions # 47, The Mathematical Association of America, p. 251, ISBN  978-0-88385-354-2
9. Немецкий термин для этого круга: Leitkreis что можно перевести как «Директорский круг», но этот термин имеет другое значение в английской литературе (см. Директорский кружок ).
10. Проттер и Морри (1970, п. 310)
11. Проттер и Морри (1970, п. 310)
12. Проттер и Морри (1970, п. 310)
13. Проттер и Морри (1970, с. АПП-29 – АПП-30)
14. Митчелл, Дуглас В., "Свойство гипербол и их асимптот", Математический вестник 96, июль 2012 г., стр. 299–301.
15. Дж. У. Даунс, Практические конические сечения, Dover Publ., 2003 (ориг. 1993): с. 26.
16. Франс ван Скутен: Mathematische Oeffeningen, Лейден, 1659, стр. 327
17. Э. Хартманн: конспект лекции »Геометрия плоского круга ', Введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского, стр. 93
18. В. Бенц: Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer (1973)
19. Лекция Плоские окружности геометрии, Введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского, С. 33, (PDF; 757 kB)
20. Лекция Плоские окружности геометрии, Введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского, С. 32, (PDF; 757 kB)
21. Фанчи, Джон Р. (2006), Курс по математике для ученых и инженеров, John Wiley and Sons, стр. 44–45, ISBN  0-471-75715-2, Раздел 3.2, с. 45
22. Корн, Гранино А. и Корн, Тереза ​​М. Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора, Dover Publ., Второе издание, 2000: с. 40.
23. «Гипербола». Mathafou.free.fr. Получено 26 августа 2018.
24. «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2017-02-02. Получено 2011-06-22.
25. Эта конструкция связана с Папп Александрийский (около 300 г. н.э.), и доказательство исходит от Казаринов (1970 г., стр. 62) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFKazarinoff1970 (помощь).

Рекомендации

• Казаринов, Николас Д. (2003), Правитель и Круг, Минеола, Нью-Йорк: Дувр, ISBN  0-486-42515-0
• Окли, К. О., доктор философии. (1944), Схема исчисления, Нью-Йорк: Barnes & Noble
• Protter, Murray H .; Морри, Чарльз Б., младший (1970), Вычисление колледжа с аналитической геометрией (2-е изд.), Литература: Эддисон-Уэсли, LCCN  76087042

внешняя ссылка

• «Гипербола», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вывод Аполлония гиперболы в Конвергенция
• Франс ван Скутен: Mathematische Oeffeningen, 1659
• «Единичная гипербола». PlanetMath.
• «Коническое сечение». PlanetMath.
• «Сопряженная гипербола». PlanetMath.
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипербола». MathWorld.