Инверсивная геометрия - Inversive geometry

Для использования в других целях см. Точечное отражение.

В геометрия, инверсивная геометрия это изучение инверсия, преобразование Евклидова плоскость что отображает круги или же линии к другим кругам или линиям, и это сохраняет углы между пересекающимися кривыми. Когда применяется инверсия, многие сложные геометрические задачи становятся более решаемыми.

Концепция инверсии может быть обобщены на многомерные пространства.

Инверсия по кругу

Дальнейшая информация: Инверсия в сфере

Обратная точка

п' инверсия п относительно круга.

Инвертировать число в арифметике обычно означает взять его взаимный. Тесно связанная с этим идея в геометрии - это «переворачивание» точки. в самолет, то обратный точки п по отношению к контрольный круг (Ø) с центром О и радиус р это точка п', лежащий на луче от О через п такой, что

${\displaystyle OP\cdot OP^{\prime }=r^{2}.}$

Это называется инверсия круга или же инверсия плоскости. Инверсия с любой точкой п (Кроме как О) к своему образу п' также принимает п' вернуться к п, поэтому результатом двукратного применения одной и той же инверсии будет тождественное преобразование во всех точках плоскости, кроме О (самообращение ).^[1][2] Чтобы сделать инверсию инволюция необходимо ввести точка в бесконечности, единственная точка, размещенная на всех линиях, и расширяет инверсию, по определению, чтобы поменять местами центр О и эта точка в бесконечности.

Из определения следует, что инверсия любой точки внутри контрольной окружности должна лежать вне ее, и наоборот, с центром и точка в бесконечности меняет положение, при этом никакая точка круга не изменяется ( инвариантный при инверсии). Таким образом, чем ближе точка к центру, тем дальше происходит ее преобразование, и наоборот.

Конструкция компаса и линейки

Точка за пределами круга

Чтобы построить обратный п' точки п вне круга Ø: Позволять р быть радиусом Ø. Правые треугольники OPN и НА СТР' похожи. OP должен р в качестве р должен OP'.

К строить обратное п' точки п вне круга Ø:

• Нарисуйте отрезок из О (центр круга Ø) к п.
• Позволять M быть серединой OP.
• Нарисуйте круг c с центром M переживает п.
• Позволять N и N' быть точками, где Ø и c пересекаются.
• Нарисовать сегмент NN'.
• п' это здесь OP и NN' пересекаются.

Точка внутри круга

Чтобы построить обратный п точки п' внутри круга Ø:

• Нарисовать луч р из О (центр круга Ø) через п'.
• Нарисуйте линию s через п' перпендикулярно р.
• Позволять N быть одной из точек, где Ø и s пересекаются.
• Нарисуйте сегмент НА.
• Нарисуйте линию т через N перпендикулярно НА.
• п где луч р и линия т пересекаются.

Строительство Датты

Существует конструкция обратной точки к А относительно круга п то есть независимый о том, есть ли А внутри или снаружи п.^[3]

Рассмотрим круг п с центром О и точка А которые могут лежать внутри или вне круга п.

• Взять точку пересечения C луча OA с кругом п.
• Подключите точку C с произвольной точкой B по кругу п (отличается от C)
• Отразить луч BA в соответствии до н.э и разреши час быть отражением, которое рассекает луч OC в точке А’. А’- обратная точка А относительно круга п.^{[3]:§ 3.2}

Характеристики

• 

  Обратный по отношению к красному кругу круг, проходящий через О (синий) линия не проходит О (зеленый), и наоборот.

• 

  Обратный по отношению к красному кругу круг нет переживает О (синий) круг не проходит О (зеленый), и наоборот.

• 

  Инверсия относительно круга не отображает центр круга в центр его изображения

Инверсия множества точек на плоскости относительно окружности - это множество инверсий этих точек. Следующие свойства делают инверсию окружности полезной.

• Круг, проходящий через центр О контрольной окружности инвертируется в линию, не проходящую через О, но параллельно касательной к исходной окружности в точке О, наоборот; тогда как линия, проходящая через О инвертируется в себя (но не поточечно инвариантно).^[4]
• Круг не проходит О переворачивается в круг, не проходящий через О. Если круг встречает контрольную окружность, эти инвариантные точки пересечения также находятся на обратной окружности. Круг (или линия) не изменяется при инверсии тогда и только тогда, когда он ортогональный к контрольной окружности в точках пересечения.^[5]

Дополнительные свойства включают:

• Если круг q проходит через две различные точки A и A ', обратные по отношению к окружности k, то круги k и q ортогональны.
• Если круги k и q ортогональны, то прямая, проходящая через центр O k и пересекающиеся q, делает это в точках, обратных по отношению к k.
• Дан треугольник OAB, в котором O - центр круга k, а точки A 'и B' противоположны A и B относительно k, тогда

${\displaystyle \angle OAB=\angle OB'A'\ {\text{ and }}\ \angle OBA=\angle OA'B'.}$

• Точки пересечения двух окружностей п и q ортогонален окружности k, являются обратными относительно k.
• Если M и M 'являются обратными точками относительно окружности k на двух кривых m и m ', также обратных относительно k, то касательные к m и m 'в точках M и M' либо перпендикулярны прямой MM ', либо образуют с этой линией равнобедренный треугольник с основанием MM'.
• Инверсия оставляет неизменной величину углов, но меняет ориентацию ориентированных углов.^[6]

Примеры в двух измерениях

Примеры инверсии окружностей от A к J относительно красного круга в точке O. Круги от A до F, которые проходят через точку O, переходят в прямые. Круги от G до J, которые не отображаются в другие круги. Контрольный круг и линия L сопоставляются сами с собой. Круги пересекают свои обратные точки, если таковые имеются, на контрольной окружности. В файл SVG, щелкните или наведите указатель мыши на круг, чтобы выделить его.

• Инверсия прямой - это окружность, содержащая центр инверсии; или это сама линия, если она содержит центр
• Инверсия круга - это другой круг; или это линия, если исходный круг содержит центр
• Обращение параболы - это кардиоидный
• Обращение гиперболы - это лемниската Бернулли

Заявление

Для круга, не проходящего через центр инверсии, центр инвертируемого круга и центр его изображения при инверсии равны коллинеарен с центром контрольного круга. Этот факт можно использовать для доказательства того, что Линия Эйлера из сенсорный треугольник треугольника совпадает с его прямой OI. Доказательство примерно выглядит следующим образом:

Инвертировать относительно окружать треугольника ABC. В средний треугольник треугольника intouch инвертируется в треугольник ABC, что означает центр описанной окружности среднего треугольника, то есть центр из девяти точек внутреннего треугольника, центр окружности и центр описанной окружности треугольника ABC находятся коллинеарен.

Любые две непересекающиеся окружности можно превратить в концентрический круги. Тогда обратное расстояние (обычно обозначаемый δ) определяется как натуральный логарифм отношения радиусов двух концентрических окружностей.

Кроме того, любые две непересекающиеся окружности можно инвертировать в конгруэнтный кругов, используя круг инверсии с центром в точке на круг антиподобия.

В Связь Peaucellier-Lipkin механическое воплощение инверсии по кругу. Он обеспечивает точное решение важной проблемы преобразования между линейным и круговым движением.

Полярный и полярный

Основная статья: полюс и полярный

Полярная линия q в точку Q относительно окружности радиуса р сосредоточен на точке О. Смысл п это точка инверсии из Q; полярная линия, проходящая через п которая перпендикулярна линии, содержащей О, п и Q.

Если точка р является обратной точкой п затем строки перпендикуляр к линии PR через одну из точек проходит полярный другой точки ( столб ).

Поляки и поляры обладают несколькими полезными свойствами:

• Если точка п лежит на линии л, то полюс L линии л лежит на полярном п точки п.
• Если точка п движется по линии л, его полярный п вращается вокруг полюса L линии л.
• Если от полюса к окружности можно провести две касательные линии, то его полярная линия проходит через обе точки касания.
• Если точка лежит на окружности, ее полярная точка - касательная, проходящая через эту точку.
• Если точка п лежит на своей полярной линии, тогда п находится на круге.
• Каждая линия имеет ровно один полюс.

В трех измерениях

Инверсия сферы на красной сфере

Инверсия сфероида (на красной сфере)

Инверсия гиперболоида одного листа

Инверсия круга обобщается на инверсия сферы в трех измерениях. Инверсия точки п в 3D относительно эталонной сферы с центром в точке О с радиусом р это точка п 'такой, что ${\displaystyle OP\times OP^{\prime }=R^{2}}$ и точки п и п 'находятся на одном луче, начиная с О. Как и в 2D-версии, сфера превращается в сферу, за исключением того, что если сфера проходит через центр О эталонной сферы, затем он инвертируется в плоскость. Любой самолет, не проходящий через О, инвертируется в сферу, касающуюся О. Круг, то есть пересечение сферы с секущей плоскостью, превращается в круг, за исключением того, что если круг проходит через О он превращается в линию. Это сводится к двумерному случаю, когда секущая плоскость проходит через О, но это настоящее трехмерное явление, если секущая плоскость не проходит через О.

Примеры в трех измерениях

Сфера

Самая простая поверхность (помимо плоскости) - это сфера. На первом рисунке показана нетривиальная инверсия (центр сферы не является центром инверсии) сферы вместе с двумя ортогональными пересекающимися пучками окружностей.

Цилиндр, конус, тор

Инверсия цилиндра, конуса или тора приводит к Циклид Дюпена.

Сфероид

Сфероид - это поверхность вращения, содержащая пучок кругов, который отображается на пучок кругов (см. Рисунок). Прообраз сфероида - поверхность четвертой степени.

Гиперболоид одного листа

Гиперболоид из одного листа, представляющий собой поверхность вращения, содержит пучок окружностей, который отображается на пучок окружностей. Гиперболоид на одном листе содержит еще два пучка прямых, которые отображаются на пучки окружностей. На картинке изображена одна такая линия (синяя) и ее инверсия.

Стереографическая проекция как инверсия сферы

Стереографическая проекция как инверсия сферы

А стереографическая проекция обычно проецирует сферу из точки ${\displaystyle N}$ (северный полюс) сферы на касательную плоскость в противоположной точке ${\displaystyle S}$ (Южный полюс). Это отображение может быть выполнено путем инверсии сферы на ее касательную плоскость. Если сфера (проектируемая) имеет уравнение ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=-z}$ (поочередно написано ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z+{\tfrac {1}{2}})^{2}={\tfrac {1}{4}}}$; центр ${\displaystyle (0,0,-0.5)}$, радиус ${\displaystyle 0.5}$, зеленый на рисунке), то он будет отображен инверсией на единичной сфере (красный) на касательную плоскость в точке ${\displaystyle S=(0,0,-1)}$. Линии, проходящие через центр инверсии (точка ${\displaystyle N}$) отображаются на самих себя. Это проекционные линии стереографической проекции.

6-сферные координаты

В 6-сферные координаты представляют собой систему координат для трехмерного пространства, полученную путем обращения Декартовы координаты.

Аксиоматика и обобщение

Одним из первых, кто рассмотрел основы инверсивной геометрии, был Марио Пиери в 1911 и 1912 гг.^[7] Эдвард Каснер написал диссертацию на тему "Теория инвариантов инверсионной группы".^[8]

Совсем недавно математическая структура инверсивной геометрии интерпретируется как структура заболеваемости где обобщенные круги называются «блоками»: В геометрия падения, любой аффинная плоскость вместе с синглом точка в бесконечности образует Самолет Мебиуса, также известный как инверсионный самолет. Ко всем линиям добавляется бесконечно удаленная точка. Эти плоскости Мебиуса могут быть описаны аксиоматически и существуют как в конечной, так и в бесконечной версиях.

А модель для плоскости Мебиуса, которая исходит из евклидовой плоскости, является Сфера Римана.

Инвариантный

В перекрестное соотношение от 4 баллов ${\displaystyle x,y,z,w}$ инвариантен относительно инверсии. В частности, если O - центр инверсии и ${\displaystyle r_{1}}$ и ${\displaystyle r_{2}}$ - расстояния до концов линии L, тогда длина линии ${\displaystyle d}$ станет ${\displaystyle d/(r_{1}r_{2})}$ при инверсии с центром O. Инвариант:

${\displaystyle I={\frac {|x-y||w-z|}{|x-w||y-z|}}}$

Отношение к программе Эрланген

По словам Кокстера,^[9] преобразование инверсией по кругу было изобретено Л. И. Магнус в 1831 году. С тех пор это отображение стало путем к высшей математике. Пройдя несколько этапов применения карты инверсии круга, студент геометрия трансформации скоро осознает значение Феликс Кляйн С Программа Эрланген, возникновение определенных моделей гиперболическая геометрия

Расширение

Комбинация двух инверсий в концентрических окружностях дает сходство, гомотетическая трансформация, или дилатация, характеризуемая соотношением радиусов окружностей.

${\displaystyle x\mapsto R^{2}{\frac {x}{|x|^{2}}}=y\mapsto T^{2}{\frac {y}{|y|^{2}}}=\left({\frac {T}{R}}\right)^{2}x.}$

Взаимность

Когда точка на плоскости интерпретируется как комплексное число ${\displaystyle z=x+iy,}$ с комплексно сопряженный ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy,}$ затем взаимный из z является

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.}$

Следовательно, алгебраическая форма обращения в единичной окружности дается формулой ${\displaystyle z\mapsto w}$ куда:

${\displaystyle w={\frac {1}{\bar {z}}}={\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}}$.

Взаимодействие является ключевым в теории трансформации как генератор из Группа Мебиуса. Другие генераторы - это перенос и вращение, оба знакомые по физическим манипуляциям в окружающем 3-м пространстве. Введение возвратно-поступательного движения (зависящего от инверсии круга) - вот что создает особую природу геометрии Мёбиуса, которую иногда отождествляют с инверсивной геометрией (евклидовой плоскости). Тем не менее, инверсивная геометрия представляет собой более обширное исследование, поскольку оно включает в себя грубую инверсию круга (еще не сделанную с сопряжением в возвратно-поступательное движение). Инверсивная геометрия также включает спряжение отображение. Ни сопряжение, ни инверсия в круге не входят в группу Мёбиуса, поскольку они неконформны (см. Ниже). Элементами группы Мебиуса являются аналитические функции всего самолета и поэтому обязательно конформный.

Преобразование кругов в круги

Рассмотрим в комплексной плоскости окружность радиуса ${\displaystyle r}$ вокруг точки ${\displaystyle a}$

${\displaystyle (z-a)(z-a)^{*}=r^{2}}$

где без потери общности, ${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$ Используя определение инверсии

${\displaystyle w={\frac {1}{z^{*}}}}$

легко показать, что ${\displaystyle w}$ подчиняется уравнению

${\displaystyle ww^{*}-{\frac {a}{(a^{2}-r^{2})}}(w+w^{*})+{\frac {a^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}}$

и, следовательно, что ${\displaystyle w}$ описывает круг центра ${\textstyle {\frac {a}{a^{2}-r^{2}}}}$ и радиус ${\textstyle {\frac {r}{|a^{2}-r^{2}|}}.}$

Когда ${\displaystyle a\to r,}$ круг превращается в линию, параллельную мнимой оси ${\displaystyle w+w^{*}={\tfrac {1}{a}}.}$

За ${\displaystyle a\not \in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle aa^{*}\neq r^{2}}$ результат для ${\displaystyle w}$ является

${\displaystyle {\begin{aligned}&ww^{*}-{\frac {aw+a^{*}w^{*}}{(a^{*}a-r^{2})}}+{\frac {aa^{*}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\left(w-{\frac {a^{*}}{aa^{*}-r^{2}}}\right)\left(w^{*}-{\frac {a}{a^{*}a-r^{2}}}\right)=\left({\frac {r}{\left|aa^{*}-r^{2}\right|}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

показывая, что ${\displaystyle w}$ описывает круг центра ${\textstyle {\frac {a^{*}}{(aa^{*}-r^{2})}}}$ и радиус ${\textstyle {\frac {r}{\left|a^{*}a-r^{2}\right|}}}$.

Когда ${\displaystyle a^{*}a\to r^{2},}$ уравнение для ${\displaystyle w}$ становится

${\displaystyle {\begin{aligned}&aw+a^{*}w^{*}=1\Longleftrightarrow 2\operatorname {Re} \{aw\}=1\Longleftrightarrow \operatorname {Re} \{a\}\operatorname {Re} \{w\}-\operatorname {Im} \{a\}\operatorname {Im} \{w\}={\frac {1}{2}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\operatorname {Im} \{w\}={\frac {\operatorname {Re} \{a\}}{\operatorname {Im} \{a\}}}\cdot \operatorname {Re} \{w\}-{\frac {1}{2\cdot \operatorname {Im} \{a\}}}.\end{aligned}}}$

Высшая геометрия

Как упоминалось выше, ноль, начало координат, требует особого рассмотрения в отображении инверсии окружности. Подход состоит в том, чтобы присоединиться к бесконечно удаленной точке, обозначенной как ∞ или 1/0. В подходе комплексных чисел, где взаимное действие является очевидной операцией, эта процедура приводит к сложная проективная линия, часто называемый Сфера Римана. Именно подпространства и подгруппы этого пространства и группы отображений были применены для создания ранних моделей гиперболической геометрии. Бельтрами, Кэли, и Кляйн. Таким образом, инверсивная геометрия включает идеи, исходящие от Лобачевский и Бойяи в их плоской геометрии. Более того, Феликс Кляйн был настолько охвачен этой способностью отображать геометрические явления, что выступил с манифестом, Программа Эрланген, в 1872 году. С тех пор многие математики оставляют за собой термин геометрия для Космос вместе с группа отображений этого пространства. Существенными свойствами фигур в геометрии являются те, которые инвариантны по отношению к этой группе.

Например, Смогоржевский^[10] развивает несколько теорем инверсивной геометрии до начала геометрии Лобачевского.

В высших измерениях

В п-мерное пространство, в котором есть сфера радиуса р, инверсия в сфере дан кем-то

${\displaystyle x_{i}\mapsto {\frac {r^{2}x_{i}}{\sum _{j}x_{j}^{2}}}}$

Преобразование инверсией в гиперплоскости или же гиперсферы в E^п может использоваться для создания расширений, переводов или вращений. Действительно, две концентрические гиперсферы, используемые для последовательной инверсии, приводят к расширение или же сокращение по центру гиперсфер. Такое отображение называется сходство.

Когда две параллельные гиперплоскости используются для создания последовательных отражений, результатом является перевод. Когда две гиперплоскости пересекаются в (п–2)-плоский, последовательные отражения производят вращение где каждая точка (п–2) -плоскость - это фиксированная точка каждого отражения и, следовательно, композиции.

Все это конформные карты, и фактически, если пространство имеет три или более измерений, отображения, порожденные инверсией, являются единственными конформными отображениями. Теорема Лиувилля классическая теорема конформная геометрия.

Добавление точка в бесконечности в пространство устраняет различие между гиперплоскостью и гиперсферой; инверсивная геометрия более высокого измерения часто изучается в предполагаемом контексте п-сфера как базовое пространство. Преобразования инверсивной геометрии часто называют Преобразования Мебиуса. Инверсивная геометрия применялась к изучению раскраски или разбиения п-сфера.^[11]

Свойство антиконформного отображения

Карта инверсии круга является антиконформной, что означает, что в каждой точке она сохраняет углы и меняет ориентацию (карта называется конформный если он сохраняет ориентированный углы). Алгебраически карта антиконформна, если в каждой точке Якобиан скаляр, умноженный на ортогональная матрица с отрицательным определителем: в двух измерениях якобиан должен быть скаляром, умноженным на отражение в каждой точке. Это означает, что если J - якобиан, то ${\displaystyle J\cdot J^{T}=kI}$ и ${\displaystyle \det(J)=-{\sqrt {k}}.}$ Вычисление якобиана в случае z_я = Икс_я/||Икс||², куда ||Икс||² = Икс₁² + ... + Икс_п² дает JJ^Т = kI, с k = 1/||Икс||⁴, и дополнительно det (J) отрицательно; следовательно, обратное отображение антиконформно.

В комплексной плоскости наиболее очевидным отображением инверсии окружности (т. Е. С использованием единичной окружности с центром в начале координат) является комплексное сопряжение комплексного обратного отображения, принимающее z к 1 /z. Комплексно-аналитическое обратное отображение конформно, а сопряженное с ним - инверсия окружности - антиконформно. омография конформно, а антигомография антиконформно.

Инверсивная геометрия и гиперболическая геометрия

В (п - 1) -сфера с уравнением

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+c=0}$

будет иметь положительный радиус, если а₁² + ... + а_п² больше, чем c, а при инверсии дает сферу

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2{\frac {a_{1}}{c}}x_{1}+\cdots +2{\frac {a_{n}}{c}}x_{n}+{\frac {1}{c}}=0.}$

Следовательно, он будет инвариантным относительно обращения тогда и только тогда, когда c = 1. Но это условие ортогональности единичной сфере. Следовательно, мы приходим к рассмотрению (п - 1) -сферы с уравнением

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+1=0,}$

которые инвариантны относительно инверсии, ортогональны единичной сфере и имеют центры вне сферы. Вместе с гиперплоскостями подпространства, разделяющими полусферы, они являются гиперповерхностями Модель диска Пуанкаре гиперболической геометрии.

Поскольку инверсия в единичной сфере оставляет сферы, ортогональные ей, инвариантными, инверсия отображает точки внутри единичной сферы наружу и наоборот. Следовательно, это верно в целом для ортогональных сфер, и, в частности, инверсия в одной из сфер, ортогональных единичной сфере, отображает единичную сферу в себя. Он также отображает внутреннюю часть единичной сферы на себя, с точками вне ортогональной сферы, отображающей внутри, и наоборот; это определяет отражения модели диска Пуанкаре, если мы также включим в него отражения через диаметры, разделяющие полусферы единичной сферы. Эти отражения создают группу изометрий модели, которая говорит нам, что изометрии конформны. Следовательно, угол между двумя кривыми в модели такой же, как угол между двумя кривыми в гиперболическом пространстве.

Смотрите также

• Круг антиподобия
• Двойственность (проективная геометрия)
• Обратная кривая
• Предельная точка (геометрия)
• Преобразование Мёбиуса
• Проективная геометрия
• Гекслет Содди
• Инверсия кривых и поверхностей (немецкий)

Примечания

1. Альтшиллер-Суд (1952 г., п. 230)
2. Кей (1969, п. 264)
3. Датта, Сураджит (2014) Простое свойство равнобедренных треугольников с приложениями, Форум Geometricorum 14: 237–240
4. Кей (1969, п. 265)
5. Кей (1969, п. 265)
6. Кей (1969, п. 269)
7. М. Пиери (1911,12) "Новые принципы геометрии делла инверсия", Giornal di Matematiche di Battaglini 49:49–96 & 50:106–140
8. Каснер, Э. (1900). «Инвариантная теория группы инверсии: геометрия на квадратичной поверхности». Труды Американского математического общества. 1 (4): 430–498. Дои:10.1090 / S0002-9947-1900-1500550-1. HDL:2027 / miun.abv0510.0001.001. JSTOR  1986367.
9. Кокстер 1969, стр. 77–95
10. В КАЧЕСТВЕ. Смогоржевский (1982) Геометрия Лобачевского, Издательство Мир, Москва
11. Джоэл С. Гиббонс и Юшен Луо (2013) Раскраски п-сфера и инверсивная геометрия

Рекомендации

• Альтшиллер-Корт, Натан (1952), Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble, LCCN  52-13504
• Блэр, Дэвид Э. (2000), Теория инверсии и конформное отображение, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-2636-0
• Браннан, Дэвид А .; Эсплен, Мэтью Ф .; Грей, Джереми Дж. (1998), «Глава 5: Инверсивная геометрия», Геометрия, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 199–260, ISBN  0-521-59787-0
• Кокстер, H.S.M. (1969) [1961], Введение в геометрию (2-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN  0-471-18283-4
• Хартсхорн, Робин (2000), "Глава 7: Неевклидова геометрия, Раздел 37: Круговая инверсия", Геометрия: Евклид и не только, Спрингер, ISBN  0-387-98650-2
• Кей, Дэвид К. (1969), Колледж Геометрия, Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон, LCCN  69-12075

внешняя ссылка

• Инверсия: отражение в круге в завязать узел
• Страница инверсивной геометрии Уилсона Стотера
• Сборник учебных материалов ИМО практические задачи о том, как использовать инверсию для математических олимпиад
• Вайсштейн, Эрик В. «Инверсия». MathWorld.
• Визуальный словарь специальных плоских кривых Кса Ли