Лемниската Бернулли - Lemniscate of Bernoulli

Лемниската Бернулли и два ее очага F₁ и F₂

Лемниската Бернулли - это кривая педали прямоугольного гипербола

Синусоидальные спирали: равносторонний гипербола (

п = -2

), линия (

п = -1

), парабола (

п = - 1 / 2

), кардиоидный (

п = 1 / 2

), круг (

п = 1

) и лемниската Бернулли (

п = 2

), куда

р п = -1 п потому что nθ

в полярные координаты и их эквиваленты в прямоугольные координаты.

В геометрия, то лемниската Бернулли это плоская кривая определяется из двух заданных точек F₁ и F₂, известный как фокусы, на расстоянии 2c друг от друга как место точек п так что ПФ₁·ПФ₂ = c². Кривая имеет форму, аналогичную цифре 8 и значению ∞ символ. Его имя от лемнискат, который латинский для "украшенных висячими лентами". Это частный случай Кассини овал и является рациональным алгебраическая кривая степени 4.

Этот лемниската был впервые описан в 1694 г. Якоб Бернулли как модификация эллипс, какой локус баллов, для которых сумма расстояния каждому из двух фиксированных точки фокуса это постоянный. А Кассини овал, напротив, это геометрическое место точек, для которых товар из этих расстояний постоянно. В случае, когда кривая проходит через точку посередине между фокусами, овал является лемнискатой Бернулли.

Эта кривая может быть получена как обратное преобразование из гипербола, с инверсией круг с центром в центре гиперболы (биссектриса двух ее фокусов). Он также может быть нарисован механическая связь в виде Связь Ватта, с длиной трех стержней рычажного механизма и расстоянием между его конечными точками, выбранными для формирования скрещенный параллелограмм.^[1]

Уравнения

Уравнения можно сформулировать в терминах фокусного расстояния c или полуширина а лемнискаты. Эти параметры связаны соотношением ${ Displaystyle а = с { sqrt {2}}}$

Его Декартово уравнение есть (с точностью до сдвига и поворота):
${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = a ^ {2} (x ^ {2} -y ^ {2}) ,}$
${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = 2c ^ {2} (x ^ {2} -y ^ {2}) ,}$
Как параметрическое уравнение:
${ Displaystyle х = { гидроразрыва {а соз (т)} {1+ грех ^ {2} (т)}}; qquad у = { гидроразрыва {а грех (т) соз (т) } {1+ sin ^ {2} (t)}}}$
В полярные координаты:
${ Displaystyle г ^ {2} = а ^ {2} соз 2 тета ,}$
Его уравнение в комплексная плоскость^[2] является:
${ Displaystyle | г-а || г-а | = а ^ {2} ,}$
В двухцентровые биполярные координаты:
${ displaystyle rr '= а ^ {2} ,}$
В рациональные полярные координаты:
${ Displaystyle Q = 2s-1 ,}$

Длина дуги и эллиптические функции

Определение длина дуги дуг лемнискаты приводит к эллиптические интегралы, как было обнаружено в восемнадцатом веке. Около 1800 г. эллиптические функции обращение этих интегралов изучалось К. Ф. Гаусс (в то время практически не публиковалось, но в примечаниях к его Disquisitiones Arithmeticae ). В решетки периодов имеют особую форму, пропорциональную Гауссовские целые числа. По этой причине случай эллиптических функций с комплексное умножение к √−1 называется лемнискатический случай в некоторых источниках.

Используя эллиптический интеграл

{ Displaystyle F (x) { stackrel { text {def}} {{} = {}}} int _ {0} ^ {x} { frac {dt} { sqrt {1-t ^ { 4}}}}}

формула длины дуги ${ displaystyle L}$ можно представить как

{ displaystyle L = 2 { sqrt {2}} c int _ {- 1} ^ {1} { frac {dt} { sqrt {1-t ^ {4}}}} = 4 { sqrt {2}} cF (1) = { frac { Gamma (1/4) ^ {2}} { sqrt { pi}}} c приблизительно 7 {.} 416 cdot c}

.

Углы

соотношение углов у лемнискаты Бернулли

Следующая теорема об углах, встречающихся в лемнискате, принадлежит немецкому математику. Герхард Кристоф Герман Фехтманн, который описал его в 1843 г. в своей диссертации о лемнискатах.^[3]

F₁ и F₂ очаги лемнискаты, О это середина отрезка F₁F₂ и п есть ли какая-либо точка на лемнискате вне линии, соединяющей F₁ и F₂. Нормальный п лемнискаты в п пересекает линию, соединяющую F₁ и F₂ в р. Теперь внутренний угол треугольника OPR в точке O составляет одну треть внешнего угла треугольника в точке р. Кроме того, внутренний угол на п вдвое больше внутреннего угла при О.

Другие свойства

Инверсия гиперболы дает лемнискату

Лемниската симметрична линии, соединяющей ее очаги. F₁ и F₂ а также к серединному перпендикуляру отрезка прямой F₁F₂.
Лемниската расположена симметрично относительно середины отрезка прямой. F₁F₂.
Площадь, ограниченная лемнискатой, составляет 2а².
Лемниската - это инверсия круга из гипербола наоборот.
Две касательные в средней точке O ортогональны, и каждая из них образует угол ${ displaystyle { tfrac { pi} {4}}}$ с линией, соединяющей F₁ и F₂.
Плоское поперечное сечение стандартного тора, касающееся его внутреннего экватора, является лемнискатой.

Приложения

Динамика на этой кривой и ее более обобщенных вариантах изучается в квазиодномерных моделях.

Смотрите также

Примечания

^ Брайант, Джон; Сангвин, Кристофер Дж. (2008), Насколько круглый ваш круг? Где встречаются инженерия и математика, Издательство Принстонского университета, стр. 58–59, ISBN 978-0-691-13118-4.
^ https://proofwiki.org/wiki/Lemniscate_of_Bernoulli_as_Locus_in_Complex_Plane
^ Александр Остерманн, Герхард Ваннер: Геометрия по ее истории. Springer, 2012, стр. 207-208

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Лемниската». MathWorld.
"Лемниската Бернулли" в архиве истории математики MacTutor
"Лемниската Бернулли" в MathCurve.
Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli (На французском)

[1] Брайант, Джон; Сангвин, Кристофер Дж. (2008), Насколько круглый ваш круг? Где встречаются инженерия и математика, Издательство Принстонского университета, стр. 58–59, ISBN 978-0-691-13118-4.

[2] ttps://proofwiki.org/wiki/Lemniscate_of_Bernoulli_as_Locus_in_Complex_Plane

[3] Александр Остерманн, Герхард Ваннер: Геометрия по ее истории. Springer, 2012, стр. 207-208

[1]

[2]

[3]