Синусоидальная спираль - Sinusoidal spiral

Синусоидальные спирали: равносторонний гипербола (п = −2), линия (п = −1), парабола (п = −1/2), кардиоидный (п = 1/2), круг (п = 1) и лемниската Бернулли (п = 2), куда рп = −1п потому что в полярные координаты и их эквиваленты в прямоугольные координаты.

В геометрия, то синусоидальные спирали представляют собой семейство кривых, определяемых уравнением в полярные координаты

куда а - ненулевая постоянная и п - рациональное число, отличное от 0. При вращении вокруг начала координат это также можно записать

Термин «спираль» употребляется неправильно, потому что на самом деле они не спирали, и часто имеют форму цветка. Многие хорошо известные кривые представляют собой синусоидальные спирали, в том числе:

Кривые впервые были изучены Колин Маклорен.

Уравнения

Дифференцировать

и устранение а дает дифференциальное уравнение для р и θ:

.

потом

откуда следует, что полярная тангенциальный угол является

и поэтому тангенциальный угол равен

.

(Знак здесь положительный, если р и потому пθ имеют тот же знак и отрицательны в противном случае.)

Единичный касательный вектор,

,

имеет длину один, поэтому сравнение величины векторов с каждой стороны приведенного выше уравнения дает

.

В частности, длина одной петли при является:

В кривизна дан кем-то

.

Характеристики

В обратный синусоидальной спирали относительно окружности с центром в начале координат является другой синусоидальной спиралью, значение которой п отрицательное значение исходной кривой п. Например, обратная лемнискате Бернулли - прямоугольная гипербола.

В изоптический, педаль и отрицательная педаль синусоидальной спирали - это разные синусоидальные спирали.

Один путь частицы, движущейся согласно центральная сила пропорционально мощности р представляет собой синусоидальную спираль.

Когда п целое число, а п точки расположены равномерно по кругу радиуса а, то набор точек так, чтобы среднее геометрическое расстояние от точки до п точек представляет собой синусоидальную спираль. В этом случае синусоидальная спираль представляет собой полиномиальная лемниската.

Рекомендации

  • Йетс, Р.К .: Справочник по кривым и их свойствам, Дж. У. Эдвардс (1952), "Спираль" стр. 213–214
  • "Синусоидальная спираль" на www.2dcurves.com
  • "Синусоидальные спирали" в The MacTutor History of Mathematics
  • Вайсштейн, Эрик В. «Синусоидальная спираль». MathWorld.