Чирнхаузена кубическая - Tschirnhausen cubic

Кубика Чирнгаузена, корпус а = 1

В геометрия, то Чирнхаузена кубическая, или Кубическая форма Чирнхауза это плоская кривая определяется в открывающейся слева форме полярное уравнение

${displaystyle r=asec ^{3}( heta /3)}$

где сек это секущая функция).

История

Кривая была изучена фон Чирнхаус, de L'Hôpital, и Каталонский. Ему было дано название кубика Чирнхаузена в статье Арчибальда 1900 года, хотя иногда его называют кубической де Л'Опиталь или трисектрисой каталонского.

Другие уравнения

Положил ${displaystyle t= an( heta /3)}$. Затем применяя формулы тройного угла дает

${displaystyle x=acos heta sec ^{3}{frac { heta }{3}}=a(cos ^{3}{frac { heta }{3}}-3cos {frac { heta }{3}}sin ^{2}{frac { heta }{3}})sec ^{3}{frac { heta }{3}}=aleft(1-3 an ^{2}{frac { heta }{3}}ight)}$

${displaystyle =a(1-3t^{2})}$

${displaystyle y=asin heta sec ^{3}{frac { heta }{3}}=aleft(3cos ^{2}{frac { heta }{3}}sin {frac { heta }{3}}-sin ^{3}{frac { heta }{3}}ight)sec ^{3}{frac { heta }{3}}=aleft(3 an {frac { heta }{3}}- an ^{3}{frac { heta }{3}}ight)}$

${displaystyle =at(3-t^{2})}$

давая параметрический форма для кривой. Параметр т можно легко устранить, давая Декартово уравнение

${displaystyle 27ay^{2}=(a-x)(8a+x)^{2}}$.

Если кривая сдвинута по горизонтали на 8а и знаки переменных меняются, уравнения получающейся правой открывающейся кривой имеют вид

${displaystyle x=3a(3-t^{2})}$

${displaystyle y=at(3-t^{2})}$

и в декартовых координатах

${displaystyle x^{3}=9aleft(x^{2}-3y^{2}ight)}$.

Это дает альтернативную полярную форму

${displaystyle r=9aleft(sec heta -3sec heta an ^{2} heta ight)}$.

использованная литература

• Дж. Д. Лоуренс, Каталог специальных плоских кривых. Нью-Йорк: Довер, 1972, стр. 87-90.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Кубик Чирнхаузена". MathWorld.
• "Кубика Чирнхауза" в архиве истории математики MacTutor
• Чирнхаузена кубическая на mathcurve.com