Постоянная Гаусса - Gausss constant - Wikipedia

Не путать с Гауссова гравитационная постоянная.

В математика, Постоянная Гаусса, обозначаемый грамм, определяется как взаимный из среднее арифметико-геометрическое из 1 и квадратный корень из 2:

${\displaystyle G={\frac {1}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {2}}\right)}}=0.8346268\dots .}$

В постоянный назван в честь Карл Фридрих Гаусс, который в 1799 г.^[1] обнаружил, что

${\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$

так что

${\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)}$

где Β обозначает бета-функция.

Связь с другими константами

Постоянную Гаусса можно использовать для выражения гамма-функция в аргумент1/4:

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}$

В качестве альтернативы,

${\displaystyle G={\frac {\left[\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}$

и с тех пор π и Γ (1/4) находятся алгебраически независимый, Постоянная Гаусса равна трансцендентный.

Константы лемнискаты

Константу Гаусса можно использовать в определении констант лемнискаты, первая из которых:

${\displaystyle L_{1}=\pi G}$

и вторая константа:

${\displaystyle L_{2}={\frac {1}{2G}}}$

которые возникают при нахождении длина дуги из лемниската. Обе константы оказались трансцендентными.^[2]

Другие формулы

Формула для грамм с точки зрения Тета-функции Якоби дан кем-то

${\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}\left(e^{-\pi }\right)}$

а также быстро сходящийся ряд

${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}$

Константа также задается бесконечный продукт

${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}$

Он появляется при оценке интегралов

${\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x)}}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)}}\,dx}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}}$

Постоянная Гаусса как непрерывная дробь равно [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. (последовательность A053002 в OEIS )

Смотрите также

• Лемнискатическая эллиптическая функция

Рекомендации

1. Нильсен, Миккель Слот. (Июль 2016 г.). Студенческая выпуклость: проблемы и решения. п. 162. ISBN  9789813146211. OCLC  951172848.
2. Тодд, Джон (1975). «Константы лемнискаты». ACM DL.

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Гаусса». MathWorld.
• Последовательности A014549 и A053002 в OEIS