Пластиковый номер - Plastic number

Эта статья про иррациональное число. Для номеров, выбитых на пластмассы для идентификации утилизации см. Идентификационный код смолы.

Список номеров Иррациональные числа ζ(3) √2 √3 √5 φ е π
Двоичный	1.01010011001000001011…
Десятичный	1.32471795724474602596…
Шестнадцатеричный	1.5320B74ECA44ADAC1788…
Непрерывная дробь[1]	[1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80 ...] Обратите внимание, что эта цепная дробь не является ни конечный ни периодический. (Показано в линейная запись )
Алгебраическая форма	${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {9+{\sqrt {69}}}{18}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {9-{\sqrt {69}}}{18}}}}$

Треугольники со сторонами в соотношении ${\displaystyle \rho }$ сформировать замкнутую спираль

Квадраты со сторонами в соотношении ${\displaystyle \rho }$ сформировать замкнутую спираль

В математика, то пластиковый номер ρ (также известный как пластическая постоянная, то коэффициент пластичности, то минимальное число Пизо, то платиновый номер,^[2] Сигель номер или, по-французски, Le Nombre Radiant) это математическая константа что является единственным реальным решением кубическое уравнение

${\displaystyle x^{3}=x+1.}$

Имеет точное значение^[3]

${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{\frac {9+{\sqrt {69}}}{18}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {9-{\sqrt {69}}}{18}}}.}$

Его десятичное разложение начинается с 1.324717957244746025960908854….^[4]

Характеристики

Рецидивы

Силы пластикового числа А(п) = ρ^п удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению третьего порядка А(п) = А(п − 2) + А(п − 3) за п > 2. Следовательно, это предельное отношение следующих друг за другом членов любой (ненулевой) целочисленной последовательности, удовлетворяющей этому повторению, такой как Числа кордонье (более известная как последовательность Падована), Числа Перрина и Числа Ван дер Лаана, и имеет отношения к этим последовательностям, аналогичные отношениям Золотое сечение ко второму порядку Фибоначчи и Лукас числа, сродни отношениям между соотношение серебра и Числа Пелла.^[5]

Пластиковый номер удовлетворяет вложенный радикал повторение^[6]

${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}.}$

Теория чисел

Поскольку на пластиковом номере минимальный многочлен Икс³ − Икс − 1 = 0, это также решение полиномиального уравнения п(Икс) = 0 для каждого полинома п это кратно Икс³ − Икс − 1, но не для любых других многочленов с целыми коэффициентами. Поскольку дискриминант минимального многочлена −23, поле расщепления над рациональностью ℚ (√−23, ρ). Это поле также является Поле классов Гильберта из ℚ (√−23).

Пластиковый номер самый маленький Число Писот – Виджаярагаван. Его алгебраические сопряжения находятся

${\displaystyle \left(-{\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\mp {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx -0.662359\pm 0.56228i,}$

из абсолютная величина ≈ 0,868837 (последовательность A191909 в OEIS ). Это значение также 1/√ρ потому что произведение трех корней минимального многочлена равно 1.

Тригонометрия

Пластиковый номер можно записать с помощью гиперболический косинус (шиш) и его обратное:

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{c}}\cosh \left({\tfrac {1}{3}}\cosh ^{-1}(3c)\right),\qquad c=\cos \left({\tfrac {2\pi }{12}}\right)=\sin \left({\tfrac {2\pi }{6}}\right)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\,.}$

(Видеть Кубическая функция # Тригонометрический (и гиперболический) метод.)

Геометрия

Три разбиения квадрата на одинаковые прямоугольники

Есть ровно три способа разбить квадрат на три одинаковых прямоугольника:^[7][8]

1. Тривиальное решение, представленное тремя равными прямоугольниками с соотношением сторон 3: 1.
2. Решение, в котором два из трех прямоугольников конгруэнтны, а третий имеет длину стороны вдвое больше, чем два других, где прямоугольники имеют соотношение сторон 3: 2.
3. Решение, в котором три прямоугольника несовместимы друг с другом (все разных размеров) и имеют соотношение сторон ρ². Соотношения линейных размеров трех прямоугольников следующие: ρ (большой: средний); ρ² (средний: маленький); и ρ³ (большой маленький). Внутренний длинный край самого большого прямоугольника (линия разлома квадрата) делит два из четырех ребер квадрата на два сегмента, каждый из которых расположен друг к другу в соотношении р. Внутренний совпадающий короткий край среднего прямоугольника и длинный край маленького прямоугольника делит один из двух других квадратов, два края на два сегмента, которые расположены друг к другу в соотношении ρ⁴.

Дело в том, что прямоугольник соотношения сторон ρ² может использоваться для разбиения квадрата на подобные прямоугольники, эквивалентно алгебраическому свойству числа ρ² связанный с Теорема Рауса – Гурвица: все его конъюгаты имеют положительную действительную часть.^[9][10]

История

1967 год Аббатство Святого Бенедиктусберга церковь Ханс ван дер Лаан имеет пластмассовые пропорции.

Дальнейшая информация: Математика и искусство

Имя

Голландский архитектор и Бенедиктинский монах Дом Ханс ван дер Лаан дал имя пластиковый номер (нидерландский язык: het plastische getal) к этому номеру в 1928 году. В 1924 году, за четыре года до того, как ван дер Лаан окрестил номер, французский инженер Жерар Кордонье [fr ] уже обнаружил номер и назвал его сияющее число (Французский: Le Nombre Radiant). В отличие от названий Золотое сечение и соотношение серебра Слово «пластик» не предназначалось ван дер Лааном для обозначения определенного вещества, а скорее в его прилагательном смысле, означающем нечто, чему можно придать трехмерную форму.^[11] Это, по мнению Ричард Падован, потому что характерные отношения числа, 3/4 и 1/7, относятся к пределам человеческого восприятия в отношении одного физического размера к другому. Ван дер Лаан разработал модель 1967 года. Аббатство Святого Бенедиктусберга церковь к этим пластическим пропорциям числа.^[12]

Пластиковый номер также иногда называют серебряный номер, имя, данное ему Мидхат Дж. Газале^[13] и впоследствии использовался Мартин Гарднер,^[14] но это имя чаще используется для соотношение серебра 1 + √2, одно из соотношений семейства металлические средства впервые описан Вера В. де Спинадел в 1998 г.^[15]

Мартин Гарднер предложил обратиться к ${\displaystyle \rho ^{2}}$ как "высокий фи", и Дональд Кнут создали специальный типографский знак для этого имени, вариант греческой буквы фи ("ф") с приподнятым центральным кругом, напоминающим грузинскую букву пари («Ⴔ»).^[16]

Смотрите также

• Курносый икосододекадодекаэдр
• Сверхзолотое соотношение

Примечания

1. Последовательность OEIS: A072117 в OEIS
2. Шуле, Ричард (январь – февраль 2010 г.). "Alors argent ou pas? Эх… je serais Assez platine" (PDF). Налить Chercher et approfondir. Le Bulletin Vert. Ассоциация специалистов по математике общественного мнения (APMEP) Париж (486): 89–96. ISSN  0240-5709. OCLC  477016293. Архивировано из оригинал (PDF) на 2017-11-14. Получено 2017-11-14.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Пластическая константа». MathWorld.
4. Последовательность OEIS: A060006 в OEIS.
5. ;Шеннон, Андерсон и Хорадам (2006).
6. Пьезас, Тито III; ван Ламоен, Флор и Вайсштейн, Эрик В. «Пластическая константа». MathWorld.
7. Ян Стюарт, Руководство по компьютерным знакомствам (обратная связь), Scientific American, Vol. 275, № 5, ноябрь 1996 г., стр. 118
8. де Спинадел, Вера В.; Антония, Редондо Буитраго (2009), «К пластиковому номеру ван дер Лаана в самолете» (PDF), Журнал геометрии и графики, 13 (2): 163–175.
9. Freiling, C .; Ринне, Д. (1994), "Разбивка квадрата подобными прямоугольниками", Письма о математических исследованиях, 1 (5): 547–558, Дои:10.4310 / MRL.1994.v1.n5.a3, МИСТЕР  1295549
10. Лацкович, М .; Секереш, Г. (1995), "Замощение квадрата подобными прямоугольниками", Дискретная и вычислительная геометрия, 13 (3–4): 569–572, Дои:10.1007 / BF02574063, МИСТЕР  1318796
11. Падован (2002); Шеннон, Андерсон и Хорадам (2006).
12. Падован (2002).
13. Газале, Мидхат Дж. (19 апреля 1999 г.). «Глава VII: Серебряное число». Гномон: от фараонов до фракталов. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. 135–150. ISBN  9780691005140. OCLC  40298400.
14. Мартин Гарднер, Тренировка Гарднера (2001), глава 16, стр. 121–128.
15. де Спинадел, Вера В. (1998). Уильямс, Ким (ред.). «Металлические средства и дизайн». Nexus II: архитектура и математика. Fucecchio (Флоренция): Edizioni dell'Erba: 141–157.
16. «Шесть сложных задач по вскрытию» (PDF). Квантовая. 4 (5): 26–27. Май – июнь 1994 г.

Рекомендации

• Aarts, J .; Fokkink, R .; Крюйцер, Г. (2001), «Морфические числа» (PDF), Nieuw Arch. Wiskd., 5, 2 (1): 56–58.
• Газале, Мидхат Дж. (1999), Гномон, Princeton University Press.
• Падован, Ричард (2002), «Дом Ганс Ван дер Лаан и пластиковое число», Nexus IV: архитектура и математика, Ким Уильямс Букс, стр. 181–193..
• Шеннон, А.Г .; Андерсон, П.Г .; Хорадам, А. Ф. (2006), "Свойства чисел Кордонье, Перрина и Ван дер Лаана", Международный журнал математического образования в науке и технологиях, 37 (7): 825–831, Дои:10.1080/00207390600712554.

внешняя ссылка

• Сказки о забытом числе к Ян Стюарт
• Пластиковый прямоугольник и последовательность падована в Тартапелаге Джорджо Пьетрокола
• Харрис, Эдмунд. «Коэффициент пластичности» (видео). YouTube. Брэди Харан. Получено 15 марта 2019.