Число Пелла - Pell number

Не путать с Номер звонка.

Стороны квадратов, использованных для построения серебряной спирали, - это числа Пелла.

В математика, то Числа Пелла бесконечные последовательность из целые числа, известные с древних времен, составляющие знаменатели из ближайшие рациональные приближения к квадратный корень из 2. Эта последовательность приближений начинается 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, и 41/29, поэтому последовательность чисел Пелла начинается с 1, 2, 5, 12 и 29. Числители одной и той же последовательности приближений составляют половину сопутствующие числа Пелла или же Числа Пелла – Лукаса; эти числа образуют вторую бесконечную последовательность, которая начинается с цифр 2, 6, 14, 34 и 82.

И числа Пелла, и сопутствующие числа Пелла могут быть вычислены с помощью отношение повторения аналогично тому, что для Числа Фибоначчи, и обе последовательности чисел расти экспоненциально, пропорционально полномочиям соотношение серебра 1 + √2. Числа Пелла не только используются для вычисления квадратного корня из двух, но и для нахождения квадратные треугольные числа, для построения целочисленных приближений к прямоугольный равнобедренный треугольник, и решить некоторые комбинаторное перечисление проблемы.^[1]

Как и с Уравнение Пелла, название чисел Пелла происходит от Леонарда Эйлера ошибочное отнесение уравнения и полученных из него чисел к Джон Пелл. Числа Пелла – Лукаса также названы в честь Эдуард Лукас, изучавшие последовательности, определяемые повторениями этого типа; числа Пелла и сопутствующие ему числа Пелла равны Последовательности Лукаса.

Числа Пелла

Числа Пелла определяются отношение повторения:

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Проще говоря, последовательность чисел Пелла начинается с 0 и 1, а затем каждое число Пелл является суммой удвоенного предыдущего числа Пелла и числа Пелл перед этим. Первые несколько членов последовательности:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860,… (последовательность A000129 в OEIS ).

Числа Пелля также можно выразить формулой закрытого вида

${\displaystyle P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}$

Для больших значений п, то (1 + √2)^п член доминирует в этом выражении, поэтому числа Пелля приблизительно пропорциональны степеням соотношение серебра 1 + √2, аналогично скорости роста чисел Фибоначчи как степеней Золотое сечение.

Возможно третье определение из матрица формула

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}$

Из этих определений можно вывести или подтвердить многие идентичности; например идентичность, аналогичная Личность Кассини для чисел Фибоначчи,

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}$

является непосредственным следствием матричной формулы (найденной с учетом детерминанты матриц в левой и правой частях матричной формулы).^[2]

Приближение к квадратному корню из двух

Рациональные приближения к регулярным восьмиугольники, с координатами, полученными из чисел Пелла.

Числа Пелла возникают исторически, и прежде всего в рациональное приближение к √2. Если два больших целых числа Икс и у сформировать решение Уравнение Пелла

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

тогда их соотношение Икс/у обеспечивает близкое приближение к √2. Последовательность приближений такого вида есть

${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

где знаменатель каждой дроби - это число Пелла, а числитель - это сумма числа Пелла и его предшественника в последовательности. То есть решения имеют вид

${\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}.}$

Приближение

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$

этот тип был известен индийским математикам в третьем или четвертом веке до нашей эры.^[3] Греческие математики V века до нашей эры. также знал об этой последовательности приближений:^[4] Платон называет числители рациональные диаметры.^[5] Во 2 веке н.э. Теон Смирнский использовал термин номера сторон и диаметров для описания знаменателей и числителей этой последовательности.^[6]

Эти приближения могут быть получены из непрерывная дробь расширение ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$:

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}$

Усечение этого расширения до любого числа членов дает одно из приближений на основе числа Пелла в этой последовательности; например,

${\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.}$

Как описывает Кнут (1994), тот факт, что числа Пелла приблизительно равны √2 позволяет использовать их для точных рациональных приближений к регулярным восьмиугольник с координатами вершины (±п_я, ±п_я+1) и (±п_я+1, ±п_я). Все вершины одинаково удалены от начала координат и образуют почти одинаковые углы вокруг начала координат. Как вариант, точки ${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$, ${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$, и ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$ образуют приблизительные восьмиугольники, в которых вершины почти одинаково удалены от начала координат и образуют равномерные углы.

Простые числа и квадраты

А Пелл Прайм это число Пелла, которое основной. Первые несколько простых чисел Пелла:

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, ... (последовательность A086383 в OEIS ).

Индексы этих простых чисел в последовательности всех чисел Пелла равны

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, .. . (последовательность A096650 в OEIS )

Все эти индексы являются простыми. Как и в случае с числами Фибоначчи, число Пелла п_п может быть простым, только если п сам по себе простой, потому что если d является делителем п тогда п_d является делителем п_п.

Единственные числа Пелла, которые представляют собой квадраты, кубы или любую более высокую степень целого числа, - это 0, 1 и 169 = 13.².^[7]

Однако, несмотря на то, что у них так мало квадратов или других степеней, числа Пелла тесно связаны с квадратные треугольные числа.^[8] В частности, эти числа возникают из следующей идентичности чисел Пелла:

${\displaystyle {\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

Левая часть этого тождества описывает квадратный номер, а правая часть описывает треугольное число, поэтому в результате получится квадратное треугольное число.

Сантана и Диас-Барреро (2006) доказали другое тождество, связав числа Пелла с квадратами и показав, что сумма чисел Пелла до п_4п+1 всегда квадрат:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}.}$

Например, сумма чисел Пелла до п₅, 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49, это квадрат п₂ + п₃ = 2 + 5 = 7. Цифры п_2п + п_2п+1 образуя квадратные корни из этих сумм,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321,… (последовательность A002315 в OEIS ),

известны как Числа Ньюмана – Шанкса – Уильямса (Новый Южный Уэльс).

Пифагорейские тройки

Целочисленные прямоугольные треугольники с почти равными сторонами, полученные из чисел Пелла.

Если прямоугольный треугольник имеет целую длину стороны а, б, c (обязательно удовлетворяющий теорема Пифагора а² + б² = c²), тогда (а,б,c) известен как Пифагорейская тройка. Как описывает Мартин (1875), числа Пелла можно использовать для образования пифагоровых троек, в которых а и б находятся на расстоянии одной единицы, что соответствует прямоугольным треугольникам, которые почти равнобедренные. Каждая такая тройка имеет вид

${\displaystyle \left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right).}$

Последовательность образованных таким образом пифагоровых троек имеет вид

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985),…

Числа Пелла – Лукаса

В сопутствующие числа Пелла или же Числа Пелла – Лукаса определены отношение повторения

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Проще говоря: первые два числа в последовательности равны 2, и каждое последующее число формируется путем добавления дважды предыдущего числа Пелла – Лукаса к предшествующему числу Пелла – Лукаса или, что эквивалентно, путем добавления следующего числа Пелла к предыдущему. Число Пелла: таким образом, 82 соответствует 29, а 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. Первые несколько членов последовательности (последовательность A002203 в OEIS ): 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478,…

Как отношения между Числа Фибоначчи и Числа Лукаса,

${\displaystyle Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}}$

для всех натуральных чисел п.

Сопутствующие числа Пелла могут быть выражены формулой закрытого вида

${\displaystyle Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}.}$

Все эти числа четные; каждое такое число вдвое больше числителя в одном из рациональных приближений к ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ обсуждалось выше.

Подобно последовательности Лукаса, если число Пелла – Лукаса 1/2Q_п простое число, необходимо, чтобы n было простым числом или степенью двойки. Простые числа Пелля – Лукаса равны

3, 7, 17, 41, 239, 577,… (последовательность A086395 в OEIS ).

Для этих п находятся

2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421,… (последовательность A099088 в OEIS ).

Расчеты и связи

В следующей таблице приведены первые несколько степеней соотношение серебра δ = δ_S = 1 + √2 и его сопряженный δ = 1 − √2.

п	(1 + √2)п	(1 − √2)п
0	1 + 0√2 = 1	1 − 0√2 = 1
1	1 + 1√2 = 2.41421…	1 − 1√2 = −0.41421…
2	3 + 2√2 = 5.82842…	3 − 2√2 = 0.17157…
3	7 + 5√2 = 14.07106…	7 − 5√2 = −0.07106…
4	17 + 12√2 = 33.97056…	17 − 12√2 = 0.02943…
5	41 + 29√2 = 82.01219…	41 − 29√2 = −0.01219…
6	99 + 70√2 = 197.9949…	99 − 70√2 = 0.0050…
7	239 + 169√2 = 478.00209…	239 − 169√2 = −0.00209…
8	577 + 408√2 = 1153.99913…	577 − 408√2 = 0.00086…
9	1393 + 985√2 = 2786.00035…	1393 − 985√2 = −0.00035…
10	3363 + 2378√2 = 6725.99985…	3363 − 2378√2 = 0.00014…
11	8119 + 5741√2 = 16238.00006…	8119 − 5741√2 = −0.00006…
12	19601 + 13860√2 = 39201.99997…	19601 − 13860√2 = 0.00002…

Коэффициенты - это полусопутствующие числа Пелла. ЧАС_п и числа Пелла п_п которые являются (неотрицательными) решениями ЧАС² − 2п² = ±1.A квадратное треугольное число это число

${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2},}$

что является одновременно тth треугольное число и s-й квадратный номер. А почти равнобедренная тройка Пифагора является целочисленным решением а² + б² = c² куда а + 1 = б.

В следующей таблице показано, что разделение нечетного числа ЧАС_п на почти равные половины дает квадратно-треугольное число, когда п является четной и почти равнобедренной пифагоровой тройкой, когда n нечетно. Все решения возникают таким образом.

п	ЧАСп	пп	т	т + 1	s	а	б	c
0	1	0	0	1	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41	29				20	21	29
6	99	70	49	50	35
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Определения

Полусопутствующие числа Пелла ЧАС_п и числа Пелла п_п можно получить несколькими легко эквивалентными способами.

Повышение к власти

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}$

Из этого следует, что есть закрытые формы:

${\displaystyle H_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

и

${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

Парные рецидивы

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Составы матриц

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Так

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}$

Приближения

Разница между ЧАС_п и п_п√2 является

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}\approx (-0.41421)^{n},}$

который быстро стремится к нулю. Так

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}\,}$

очень близко к 2ЧАС_п.

Из этого последнего наблюдения следует, что целочисленные отношения ЧАС_п/п_п быстро приближаться √2; и ЧАС_п/ЧАС_п−1 и п_п/п_п−1 быстро приближаться 1 +√2.

ЧАС² − 2п² = ±1

С √2 иррационально, мы не можем ЧАС/п = √2, т.е.

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}.}$

Лучшее, что мы можем достичь, это либо

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}.}$

(Неотрицательные) решения ЧАС² − 2п² = 1 это именно пары (ЧАС_п, п_п) с п даже, и решения ЧАС² − 2п² = −1 это именно пары (ЧАС_п, п_п) с п странный. Чтобы увидеть это, сначала обратите внимание, что

${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right),}$

так что эти различия, начиная с ЧАС²
₀ − 2п²
₀ = 1, равны поочередно 1 и -1. Затем обратите внимание, что каждое положительное решение получается таким образом из решения с меньшими целыми числами, поскольку

${\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\left(H^{2}-2P^{2}\right).}$

Меньшее решение также имеет положительные целые числа, за одним исключением: ЧАС = п = 1 который исходит из ЧАС₀ = 1 и п₀ = 0.

Квадратные треугольные числа

Основная статья: Квадратное треугольное число

Требуемое уравнение

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}\,}$

эквивалентно:${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1,}$который становится ЧАС² = 2п² + 1 с заменами ЧАС = 2т + 1 и п = 2s. Следовательно п-ое решение

${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}\quad {\mbox{and}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}$

Заметьте, что т и т + 1 взаимно просты, так что т(т + 1)/2 = s² происходит именно тогда, когда они являются соседними целыми числами, один квадрат ЧАС² а другой дважды квадрат 2п². Поскольку мы знаем все решения этого уравнения, мы также имеем

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd.}}\end{cases}}}$

и ${\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}.}$

Это альтернативное выражение показано в следующей таблице.

п	ЧАСп	пп	т	т + 1	s	а	б	c
0	1	0
1	1	1	1	2	1	3	4	5
2	3	2	8	9	6	20	21	29
3	7	5	49	50	35	119	120	169
4	17	12	288	289	204	696	697	985
5	41	29	1681	1682	1189	4059	4060	5741
6	99	70	9800	9801	6930	23660	23661	33461

Пифагорейские тройки

Равенство c² = а² + (а + 1)² = 2а² + 2а + 1 происходит именно тогда, когда 2c² = 4а² + 4а + 2 который становится 2п² = ЧАС² + 1 с заменами ЧАС = 2а + 1 и п = c. Следовательно п-ое решение а_п = ЧАС_2п+1 − 1/2 и c_п = п_2п+1.

Таблица выше показывает, что в том или ином порядке а_п и б_п = а_п + 1 находятся ЧАС_пЧАС_п+1 и 2п_пп_п+1 пока c_п = ЧАС_п+1п_п + п_п+1ЧАС_п.

Примечания

1. Например, Sellers (2002) доказывает, что количество идеальное соответствие в Декартово произведение из граф путей и график K₄ − е может быть рассчитан как произведение числа Пелла на соответствующее число Фибоначчи.
2. О матричной формуле и ее следствиях см. Ercolano (1979) и Kilic and Tasci (2005). Дополнительные тождества для чисел Пелла перечислены Хорадамом (1971) и Бикнеллом (1975).
3. Как записано в Шульба Сутры; см. например Дутка (1986), который цитирует Тибо (1875) для этой информации.
4. См. Knorr (1976) для даты пятого века, которая соответствует Прокл 'утверждают, что номера сторон и диаметров были обнаружены Пифагорейцы. Для более детального изучения более поздних греческих знаний об этих числах см. Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) и Filep (1999).
5. Например, как отмечается в нескольких ссылках из предыдущего примечания, в Республика Платона есть ссылка на "рациональный диаметр 5", по которому Платон означает 7, числитель приближения 7/5 из которых 5 - знаменатель.
6. Хит, сэр Томас Литтл (1921), История греческой математики: от Фалеса до Евклида, Courier Dover Publications, стр. 112, ISBN  9780486240732.
7. Пете (1992); Кон (1996). Хотя Числа Фибоначчи определяются повторением, очень похожим на числа Пелла, Кон пишет, что аналогичный результат для чисел Фибоначчи доказать гораздо труднее. (Однако это было доказано в 2006 году Бюжо и др.)
8. Сесскин (1962). Увидеть квадратное треугольное число статья для более подробного вывода.

Рекомендации

• Бикнелл, Марджори (1975). «Праймер для последовательности Pell и родственных последовательностей». Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 13 (4): 345–349. МИСТЕР  0387173.
• Кон, Дж. Х. Э. (1996). "Совершенные силы Пелла". Математический журнал Глазго. 38 (1): 19–20. Дои:10.1017 / S0017089500031207. МИСТЕР  1373953.
• Дутка, Жак (1986). «О квадратных корнях и их представлениях». Архив истории точных наук. 36 (1): 21–39. Дои:10.1007 / BF00357439. МИСТЕР  0863340.
• Эрколано, Джозеф (1979). «Матричные генераторы последовательностей Пелла». Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 17 (1): 71–77. МИСТЕР  0525602.
• Филеп, Ласло (1999). «Пифагорейские боковые и диагональные числа» (PDF). Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis. 15: 1–7.
• Хорадам, А. Ф. (1971). "Пелл идентичности". Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 9 (3): 245–252, 263. МИСТЕР  0308029.
• Килич, Эмра; Таши, Дурсун (2005). «Линейная алгебра матрицы Пелля». Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, Tercera Serie. 11 (2): 163–174. МИСТЕР  2207722.
• Кнорр, Уилбур (1976). «Архимед и измерение круга: новая интерпретация». Архив истории точных наук. 15 (2): 115–140. Дои:10.1007 / BF00348496. МИСТЕР  0497462.
• Кнорр, Уилбур (1998). ""Рациональные диаметры «и открытие несоизмеримости». Американский математический ежемесячный журнал. 105 (5): 421–429. Дои:10.2307/3109803. JSTOR  3109803.
• Кнут, Дональд Э. (1994). «Прыгающие графики». Математический вестник. 78 (483): 274–297. arXiv:math.CO/9411240. Дои:10.2307/3620202. JSTOR  3620202.
• Мартин, Артемас (1875 г.). «Рациональные прямоугольные треугольники почти равнобедренные». Аналитик. 3 (2): 47–50. Дои:10.2307/2635906. JSTOR  2635906.
• Пето, А. (1992). «Последовательность Пелла содержит только тривиальные совершенные степени». Наборы, графики и числа (Будапешт, 1991 г.). Коллок. Математика. Soc. Янош Бойяи, 60 лет, Северная Голландия. С. 561–568. МИСТЕР  1218218.
• Риденхур, Дж. Р. (1986). «Лестничные приближения иррациональных чисел». Математический журнал. 59 (2): 95–105. Дои:10.2307/2690427. JSTOR  2690427.
• Santana, S. F .; Диас-Барреро, Дж. Л. (2006). «Некоторые свойства сумм, содержащих числа Пелла» (PDF). Журнал математических наук штата Миссури. 18 (1). Архивировано из оригинал (PDF) на 2007-05-08.
• Продавцы, Джеймс А. (2002). "Мостики домино и произведения чисел Фибоначчи и Пелла" (PDF). Журнал целочисленных последовательностей. 5. МИСТЕР  1919941.
• Сесскин, Сэм (1962). «А« обратное »к последней теореме Ферма?». Математический журнал. 35 (4): 215–217. Дои:10.2307/2688551. JSTOR  2688551.
• Тибо, Джордж (1875 г.). «На Сулвасутрах». Журнал Королевского азиатского общества Бенгалии. 44: 227–275.
• Томпсон, Д'Арси Вентворт (1929). «III. - Избыток и недостаток: или немного больше, и немного меньше». Разум. Новая серия. 38 (149): 43–55. JSTOR  2249223.
• Ведова, Г. С. (1951). «Заметки о Теоне Смирнском». Американский математический ежемесячный журнал. 58 (10): 675–683. Дои:10.2307/2307978. JSTOR  2307978.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Число Пелла". MathWorld.
• OEIS последовательность A001333 (Нумераторы непрерывных дробей, подходящих к sqrt (2)) - числители одной и той же последовательности приближений