Цифровой корень - Digital root - Wikipedia

В цифровой корень (также повторная цифровая сумма) из натуральное число в данном база чисел - это (однозначное) значение, полученное итеративным процессом суммирующие цифры на каждой итерации, используя результат предыдущей итерации для вычисления цифровой суммы. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто однозначное число.

Формальное определение

Позволять ${ displaystyle n}$ быть натуральным числом. Для базы ${ displaystyle b> 1}$ , мы определяем цифра сумма ${ displaystyle F_ {b}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ быть следующим:

{ Displaystyle F_ {b} (п) = сумма _ {я = 0} ^ {k-1} d_ {я}}

куда ${ Displaystyle к = lfloor log _ {b} {n} rfloor +1}$ это количество цифр в числе в базе ${ displaystyle b}$ , и

{ displaystyle d_ {i} = { frac {n { bmod {b ^ {i + 1}}} - n { bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

- значение каждой цифры числа. Натуральное число ${ displaystyle n}$ это цифровой корень если это фиксированная точка за ${ displaystyle F_ {b}}$ , что происходит, если ${ Displaystyle F_ {b} (п) = п}$ .

Все натуральные числа ${ displaystyle n}$ находятся препериодические точки за ${ displaystyle F_ {b}}$ , вне зависимости от базы. Это потому, что если ${ displaystyle n geq b}$ , тогда

{ Displaystyle п = сумма _ {я = 0} ^ {k-1} d_ {я} b ^ {я}}

и поэтому

{ displaystyle F_ {b} (n) = sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} < sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} b ^ {i} = n}

потому что ${ displaystyle b> 1}$ .Если ${ displaystyle n$ , то тривиально

{ Displaystyle F_ {b} (п) = п}

Следовательно, единственные возможные цифровые корни - это натуральные числа. ${ displaystyle 0 leq n$ , и нет никаких циклов, кроме неподвижных точек ${ displaystyle 0 leq n$ .

Пример

В база 12, 8 - аддитивный цифровой корень база 10 номер 3110, как для ${ displaystyle n = 3110}$

{ displaystyle d_ {0} = { frac {3110 { bmod {12 ^ {0 + 1}}} - 3110 { bmod {1}} 2 ^ {0}} {12 ^ {0}}} = { frac {3110 { bmod {12}} - 3110 { bmod {1}}} {1}} = { frac {2-0} {1}} = { frac {2} {1}} = 2}

{ displaystyle d_ {1} = { frac {3110 { bmod {12 ^ {1 + 1}}} - 3110 { bmod {1}} 2 ^ {1}} {12 ^ {1}}} = { frac {3110 { bmod {144}} - 3110 { bmod {1}} 2} {12}} = { frac {86-2} {12}} = { frac {84} {12} } = 7}

{ displaystyle d_ {2} = { frac {3110 { bmod {12 ^ {2 + 1}}} - 3110 { bmod {1}} 2 ^ {2}} {12 ^ {2}}} = { frac {3110 { bmod {1728}} - 3110 { bmod {1}} 44} {144}} = { frac {1382-86} {144}} = { frac {1296} {144} } = 9}

{ displaystyle d_ {3} = { frac {3110 { bmod {12 ^ {3 + 1}}} - 3110 { bmod {1}} 2 ^ {3}} {12 ^ {3}}} = { frac {3110 { bmod {20736}} - 3110 { bmod {1}} 728} {1728}} = { frac {3110-1382} {1728}} = { frac {1728} {1728} } = 1}

{ displaystyle F_ {12} (3110) = sum _ {i = 0} ^ {4-1} d_ {i} = 2 + 7 + 9 + 1 = 19}

Этот процесс показывает, что 3110 - это 1972 г. база 12. Теперь для ${ displaystyle F_ {12} (3110) = 19}$

{ displaystyle d_ {0} = { frac {19 { bmod {12 ^ {0 + 1}}} - 19 { bmod {1}} 2 ^ {0}} {12 ^ {0}}} = { frac {19 { bmod {12}} - 19 { bmod {1}}} {1}} = { frac {7-0} {1}} = { frac {7} {1}} = 7}

{ displaystyle d_ {1} = { frac {19 { bmod {12 ^ {1 + 1}}} - 19 { bmod {1}} 2 ^ {1}} {12 ^ {1}}} = { frac {19 { bmod {144}} - 19 { bmod {1}} 2} {12}} = { frac {19-7} {12}} = { frac {12} {12} } = 1}

{ displaystyle F_ {12} (19) = sum _ {i = 0} ^ {2-1} d_ {i} = 1 + 7 = 8}

показывает, что 19 - это 17 дюймов база 12. А поскольку 8 - это однозначное число в база 12,

{ displaystyle F_ {12} (8) = 8}

Прямые формулы

Мы можем определить корень цифры прямо на базу ${ displaystyle b> 1}$ ${ displaystyle operatorname {dr} _ {b}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ следующими способами:

Формула сравнения

Формула в базе ${ displaystyle b}$ является:

{ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (n) = { begin {cases} 0 & { mbox {if}} n = 0, b-1 & { mbox {if}} n neq 0, n Equiv 0 { bmod {b-1}}, n { rm {mod}} (b-1) & { mbox {if}} n not Equiv 0 { bmod {b-1}} end {case}}}

или же,

{ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (n) = { begin {cases} 0 & { mbox {if}} n = 0, 1 + ((n-1) { rm {mod}} (b-1)) & { mbox {if}} n neq 0. end {ases}}}

В база 10, соответствующая последовательность (последовательность A010888 в OEIS ).

Цифровой корень - это значение по модулю ${ displaystyle b-1}$ потому что ${ Displaystyle б эквив 1 { bmod {б-1}},}$ и поэтому ${ Displaystyle Ь ^ {к} эквив 1 ^ {к} эквив 1 { bmod {Ь-1}},}$ поэтому независимо от позиции значение ${ displaystyle n { bmod {b}} - 1}$ та же - ${ Displaystyle ab ^ {2} Equiv ab Equiv a { bmod {b-1}}}$ - вот почему цифры могут быть добавлены осмысленно. Конкретно для трехзначного числа ${ displaystyle n = a_ {1} b ^ {2} + a_ {2} b ^ {1} + a_ {3} b ^ {0}}$

{ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (n) Equiv a_ {1} b ^ {2} + a_ {2} b ^ {1} + a_ {3} b ^ {0} Equiv a_ { 1} (1) + a_ {2} (1) + a_ {3} (1) Equiv (a_ {1} + a_ {2} + a_ {3}) { bmod {b-1}}}

.

Чтобы получить модульное значение по отношению к другим числам ${ displaystyle n}$ , можно взять взвешенные суммы, где вес на ${ displaystyle k}$ -я цифра соответствует значению ${ displaystyle b ^ {k}}$ по модулю ${ displaystyle n}$ . В база 10, это проще всего для 2, 5 и 10, где старшие цифры исчезают (так как 2 и 5 делят 10), что соответствует известному факту, что делимость десятичного числа относительно 2, 5 и 10 может быть проверена по последней цифре (четные числа заканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8).

Также следует отметить модуль ${ displaystyle n = b + 1}$ : поскольку ${ Displaystyle б эквив -1 { bmod {б + 1}},}$ и поэтому ${ Displaystyle б ^ {2} эквив (-1) ^ {2} эквив 1 { pmod {б + 1}},}$ принимая чередование сумма цифр дает значение по модулю ${ displaystyle b + 1}$ .

Использование функции пола

Это помогает увидеть цифровой корень положительного целого числа как позицию, которую он занимает по отношению к наибольшему кратному ${ displaystyle b-1}$ меньше, чем само число. Например, в база 6 цифровой корень 11 равен 2, что означает, что 11 - второе число после ${ displaystyle 6-1 = 5}$ . Аналогичным образом, цифровой корень 2035 в базе 10 равен 1, что означает, что ${ displaystyle 2035-1 = 2034 | 9}$ . Если число дает цифровой корень ровно ${ displaystyle b-1}$ , то число кратно ${ displaystyle b-1}$ .

Имея это в виду, цифровой корень положительного целого числа ${ displaystyle n}$ может быть определено с помощью функция пола ${ displaystyle lfloor x rfloor}$ , так как

{ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (n) = n- (b-1) left lfloor { frac {n-1} {b-1}} right rfloor.}

Характеристики

Цифровой корень ${ displaystyle a_ {1} + a_ {2}}$ в базе ${ displaystyle b}$ цифровой корень из суммы цифрового корня ${ displaystyle a_ {1}}$ и цифровой корень ${ displaystyle a_ {2}}$ . Это свойство можно использовать как своего рода контрольная сумма, чтобы проверить правильность выполнения суммы.

{ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (a_ {1} + a_ {2}) = operatorname {dr} _ {b} ( operatorname {dr} _ {b} (a_ {1}) + operatorname {dr} _ {b} (a_ {2})).}

Цифровой корень ${ displaystyle a_ {1} -a_ {2}}$ в базе ${ displaystyle b}$ соответствует разнице цифрового корня ${ displaystyle a_ {1}}$ и цифровой корень ${ displaystyle a_ {2}}$ по модулю ${ displaystyle b-1}$ .

{ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (a_ {1} -a_ {2}) Equiv ( operatorname {dr} _ {b} (a_ {1}) - operatorname {dr} _ {b } (a_ {2})) { bmod {b-1}}.}

Цифровой корень ${ displaystyle -n}$ в базе ${ displaystyle b}$ следующее:

{ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (- n) Equiv - operatorname {dr} _ {b} (n) { bmod {b-1}}.}

Цифровой корень произведения ненулевых однозначных чисел ${ displaystyle a_ {1} cdot a_ {2}}$ в базе ${ displaystyle b}$ дается Ведический квадрат в базе ${ displaystyle b}$ .
Цифровой корень ${ displaystyle a_ {1} cdot a_ {2}}$ в базе ${ displaystyle b}$ цифровой корень продукта цифрового корня ${ displaystyle a_ {1}}$ и цифровой корень ${ displaystyle a_ {2}}$ .

{ displaystyle operatorname {dr} _ {b} (a_ {1} a_ {2}) = operatorname {dr} _ {b} ( operatorname {dr} _ {b} (a_ {1}) cdot operatorname {dr} _ {b} (a_ {2})).}

Аддитивная стойкость

В добавка упорство считает, сколько раз мы должны просуммировать цифры чтобы достичь своего цифрового корня.

Например, аддитивная стойкость 2718 в база 10 равно 2: сначала мы находим, что 2 + 7 + 1 + 8 = 18, затем 1 + 8 = 9.

Нет ограничений на аддитивное постоянство числа в числовой базе. ${ displaystyle b}$ . Доказательство: для данного числа ${ displaystyle n}$ , постоянство числа, состоящего из ${ displaystyle n}$ повторения цифры 1 на 1 больше, чем у ${ displaystyle n}$ . Наименьшие числа аддитивной стойкости 0, 1, ... в базе 10:

0, 10, 19, 199, 19,999,999,999,999,999,999,999, ... (последовательность A006050 в OEIS )

Следующее число в последовательности (наименьшее число аддитивной стойкости 5) равно 2 × 10.^{2×(10²² − 1)/9} - 1 (то есть 1, за которой следуют 2,222,222,222,222,222,222,222 9). Для любой фиксированной базы сумма цифр числа пропорциональна его логарифм; следовательно, аддитивная стойкость пропорциональна повторный логарифм.^[1]

Пример программирования

В приведенном ниже примере реализуется сумма цифр, описанная в приведенном выше определении, для поиска цифровых корней и аддитивных постоянств в Python.

def digit_sum(Икс: int, б: int) -> int:    общий = 0    пока Икс > 0:        общий = общий + (Икс % б)        Икс = Икс // б    возвращаться общийdef digital_root(Икс: int, б: int) -> int:    видимый = набор()    пока Икс нет в видимый:        видимый.Добавить(Икс)        Икс = digit_sum(Икс, б)    возвращаться Иксdef аддитивная стойкость(Икс: int, б: int) -> int:    видимый = набор()    пока Икс нет в видимый:        видимый.Добавить(Икс)        Икс = digit_sum(Икс, б)    возвращаться len(видимый) - 1

В популярной культуре

Цифровые корни используются в западных нумерология, но некоторые числа, имеющие оккультное значение (например, 11 и 22), не всегда полностью сводятся к одной цифре.

Цифровые корни образуют важный механизм в приключенческой игре в жанре визуального романа Девять часов, девять человек, девять дверей.

Смотрите также

внешняя ссылка

[Meimaris-1] Меймарис, Антониос (2015). Об аддитивной устойчивости числа в базе p. Препринт.

[1]