Факторион - Factorion

В теория чисел, а факторион в данном база чисел ${\displaystyle b}$ это натуральное число что равно сумме факториалы своего цифры.^[1][2][3] Название факторион придумал автор Клиффорд А. Пиковер.^[4]

Определение

Позволять ${\displaystyle n}$ быть натуральным числом. Мы определяем сумма факториала цифр^[5][6] из ${\displaystyle n}$ для базы ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle SFD_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ быть следующим:

${\displaystyle SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!}$.

куда ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ это количество цифр в числе в базе ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle n!}$ это факториал из ${\displaystyle n}$ и

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}}$

- значение каждой цифры числа. Натуральное число ${\displaystyle n}$ это ${\displaystyle b}$-факторион если это фиксированная точка за ${\displaystyle SFD_{b}}$, что происходит, если ${\displaystyle SFD_{b}(n)=n}$.^[7] ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 2}$ фиксированные точки для всех ${\displaystyle b}$, и поэтому тривиальные факторионы для всех ${\displaystyle b}$, а все остальные факторионы нетривиальные факторионы.

Например, число 145 в базе ${\displaystyle b=10}$ это факторион, потому что ${\displaystyle 145=1!+4!+5!}$.

За ${\displaystyle b=2}$, сумма факториала цифр - это просто количество цифр ${\displaystyle k}$ в представлении базы 2.

Натуральное число ${\displaystyle n}$ это общительный фактор если это периодическая точка за ${\displaystyle SFD_{b}}$, куда ${\displaystyle SFD_{b}^{k}(n)=n}$ для положительного целого числа ${\displaystyle k}$, и образует цикл периода ${\displaystyle k}$. Факторион - это общительный фактор с ${\displaystyle k=1}$, а мирный факторион это общительный фактор с ${\displaystyle k=2}$.^[8][9]

Все натуральные числа ${\displaystyle n}$ находятся препериодические точки за ${\displaystyle SFD_{b}}$, вне зависимости от базы. Это потому, что все натуральные числа с основанием ${\displaystyle b}$ с ${\displaystyle k}$ цифры удовлетворяют ${\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (b-1)!(k)}$. Однако когда ${\displaystyle k\geq b}$, тогда ${\displaystyle b^{k-1}>(b-1)!(k)}$ за ${\displaystyle b>2}$так что любой ${\displaystyle n}$ удовлетворит ${\displaystyle n>SFD_{b}(n)}$ до того как ${\displaystyle n<b^{b}}$. Существует конечное число натуральных чисел меньше, чем ${\displaystyle b^{b}}$, поэтому число гарантированно достигнет периодической точки или фиксированной точки меньше, чем ${\displaystyle b^{b}}$, что делает его предпериодической точкой. За ${\displaystyle b=2}$, количество цифр ${\displaystyle k\leq n}$ для любого числа, еще раз, что делает его предпериодической точкой. Это также означает, что существует конечное число факторионов и циклы для любой данной базы ${\displaystyle b}$.

Количество итераций ${\displaystyle i}$ необходимо для ${\displaystyle SFD_{b}^{i}(n)}$ достичь фиксированной точки - это ${\displaystyle SFD_{b}}$ функции упорство из ${\displaystyle n}$, и undefined, если он никогда не достигает фиксированной точки.

Факторы для ${\displaystyle SFD_{b}}$

Ь = (к - 1)!

Позволять ${\displaystyle k}$ быть положительным целым числом и основанием числа ${\displaystyle b=(k-1)!}$. Потом:

• ${\displaystyle n_{1}=kb+1}$ это факторион для ${\displaystyle SFD_{b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Доказательство —

Пусть цифры ${\displaystyle n_{1}=d_{1}b+d_{0}}$ быть ${\displaystyle d_{1}=k}$, и ${\displaystyle d_{0}=1}$. потом

${\displaystyle SFD_{b}(n_{1})=d_{1}!+d_{0}!}$

${\displaystyle =k!+1!}$

${\displaystyle =k(k-1)!+1}$

${\displaystyle =d_{1}b+d_{0}}$

${\displaystyle =n_{1}}$

Таким образом ${\displaystyle n_{1}}$ это факторион для ${\displaystyle F_{b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

• ${\displaystyle n_{2}=kb+2}$ это факторион для ${\displaystyle SFD_{b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Доказательство —

Пусть цифры ${\displaystyle n_{2}=d_{1}b+d_{0}}$ быть ${\displaystyle d_{1}=k}$, и ${\displaystyle d_{0}=2}$. потом

${\displaystyle SFD_{b}(n_{2})=d_{1}!+d_{0}!}$

${\displaystyle =k!+2!}$

${\displaystyle =k(k-1)!+2}$

${\displaystyle =d_{1}b+d_{0}}$

${\displaystyle =n_{2}}$

Таким образом ${\displaystyle n_{2}}$ это факторион для ${\displaystyle F_{b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Факторионы

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{1}}$	${\displaystyle n_{2}}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

б = к! - к + 1

Позволять ${\displaystyle k}$ быть положительным целым числом и основанием числа ${\displaystyle b=k!-k+1}$. Потом:

• ${\displaystyle n_{1}=b+k}$ это факторион для ${\displaystyle SFD_{b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Доказательство —

Пусть цифры ${\displaystyle n_{1}=d_{1}b+d_{0}}$ быть ${\displaystyle d_{1}=1}$, и ${\displaystyle d_{0}=k}$. потом

${\displaystyle SFD_{b}(n_{1})=d_{1}!+d_{0}!}$

${\displaystyle =1!+k!}$

${\displaystyle =k!+1-k+k}$

${\displaystyle =1(k!-k+1)+k}$

${\displaystyle =d_{1}b+d_{0}}$

${\displaystyle =n_{1}}$

Таким образом ${\displaystyle n_{1}}$ это факторион для ${\displaystyle F_{b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Факторионы

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{1}}$
3	4	13
4	21	14
5	116	15
6	715	16

Таблица факторов и циклов ${\displaystyle SFD_{b}}$

Все числа представлены в базе ${\displaystyle b}$.

Основание ${\displaystyle b}$	Нетривиальный факторион (${\displaystyle n\neq 1}$, ${\displaystyle n\neq 2}$)[10]	Циклы
2	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
3	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	${\displaystyle \varnothing }$
6	41, 42	${\displaystyle \varnothing }$
7	${\displaystyle \varnothing }$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	${\displaystyle \varnothing }$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871[9] 872 → 45362 → 872[8]

Пример программирования

В приведенном ниже примере реализуется сумма факториала цифр, описанных в определении выше. искать факторионы и циклы в Python.

def факториал(Икс: int) -> int:    общий = 1    за я в классифицировать(0, Икс):        общий = общий * (я + 1)    возвращаться общийdef sfd(Икс: int, б: int) -> int:    "" "Сумма факториала цифр." ""    общий = 0    пока Икс > 0:        общий = общий + факториал(Икс % б)        Икс = Икс // б    возвращаться общийdef sfd_cycle(Икс: int, б: int) -> Список[int]:    видимый = []    пока Икс нет в видимый:        видимый.добавить(Икс)        Икс = sfd(Икс, б)    цикл = []    пока Икс нет в цикл:        цикл.добавить(Икс)        Икс = sfd(Икс, б)    возвращаться цикл

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Номер Дудени
• Счастливый номер
• Постоянная Капрекара
• Число Капрекара
• Число Меертенса
• Нарциссическое число
• Идеальный инвариант между цифрами
• Идеальный цифровой инвариант
• Сумма-номер продукта

Рекомендации

1. Слоан, Нил, "A014080", Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей
2. Гарднер, Мартин (1978), «Факторные странности», Математическое волшебное шоу: больше головоломок, игр, увлечений, иллюзий и другой математической ловкости разума, Vintage Books, стр. 61 и 64, ISBN  9780394726236
3. Мадачи, Джозеф С. (1979), Математические развлечения Мадачи, Dover Publications, стр. 167, ISBN  9780486237626
4. Пиковер, Клиффорд А. (1995), «Одиночество Факторионов», Ключи к бесконечности, John Wiley & Sons, стр. 169–171 и 319–320, ISBN  9780471193340 - через Google Книги
5. Гупта, Шьям С. (2004), "Сумма факториалов цифр целых чисел", Математический вестник, Математическая ассоциация, 88 (512): 258–261, Дои:10.1017 / S0025557200174996, JSTOR  3620841
6. Слоан, Нил, "A061602", Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей
7. Эбботт, Стив (2004), "Цепи SFD и факторионные циклы", Математический вестник, Математическая ассоциация, 88 (512): 261–263, Дои:10.1017 / S002555720017500X, JSTOR  3620842
8. Слоан, Нил, "A214285", Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей
9. Слоан, Нил, "A254499", Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей
10. Слоан, Нил, "A193163", Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей

внешняя ссылка

• Факторион в Wolfram MathWorld