Сильно составное число - Highly composite number

Эта статья о числах, имеющих много делителей. Для чисел, разложенных только на степени 2, 3, 5 и 7 (также называемых 7-гладкими числами), см. Гладкий номер.

Демонстрация с Удилища Cuisenaire, из первых четырех: 1, 2, 4, 6

А очень сложное число это положительный целое число с более делители чем любое меньшее положительное целое число. Термин был придуман Рамануджан (1915). Однако, Жан-Пьер Кахане предположил, что концепция могла быть известна Платон, который установил 5040 как идеальное количество жителей в городе, поскольку у 5040 делителей больше, чем у любых чисел меньше его.^[1]

Родственная концепция в основном составное число относится к положительному целому числу, которое имеет как минимум столько же делителей, сколько любое меньшее положительное целое число.

Название может вводить в заблуждение, поскольку два очень сложных числа (1 и 2) на самом деле не являются составные числа.

Примеры

Начальные или наименьшие 38 сильно составных чисел перечислены в таблице ниже (последовательность A002182 в OEIS ). Количество делителей указано в столбце с надписью d(п). Звездочки указывают превосходные очень сложные числа.

Заказ	HCN п	основной факторизация	основной экспоненты	номер премьер факторы	d(п)	первобытный факторизация
1	1			0	1
2*	2	${\displaystyle 2}$	1	1	2	${\displaystyle 2}$
3	4	${\displaystyle 2^{2}}$	2	2	3	${\displaystyle 2^{2}}$
4*	6	${\displaystyle 2\cdot 3}$	1,1	2	4	${\displaystyle 6}$
5*	12	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3}$	2,1	3	6	${\displaystyle 2\cdot 6}$
6	24	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3}$	3,1	4	8	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6}$
7	36	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}}$	2,2	4	9	${\displaystyle 6^{2}}$
8	48	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3}$	4,1	5	10	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6}$
9*	60	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3\cdot 5}$	2,1,1	4	12	${\displaystyle 2\cdot 30}$
10*	120	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5}$	3,1,1	5	16	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30}$
11	180	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	2,2,1	5	18	${\displaystyle 6\cdot 30}$
12	240	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5}$	4,1,1	6	20	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30}$
13*	360	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	3,2,1	6	24	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 30}$
14	720	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	4,2,1	7	30	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 30}$
15	840	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	3,1,1,1	6	32	${\displaystyle 2^{2}\cdot 210}$
16	1260	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	2,2,1,1	6	36	${\displaystyle 6\cdot 210}$
17	1680	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	4,1,1,1	7	40	${\displaystyle 2^{3}\cdot 210}$
18*	2520	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	3,2,1,1	7	48	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 210}$
19*	5040	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	4,2,1,1	8	60	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 210}$
20	7560	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}$	3,3,1,1	8	64	${\displaystyle 6^{2}\cdot 210}$
21	10080	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	5,2,1,1	9	72	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6\cdot 210}$
22	15120	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}$	4,3,1,1	9	80	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 210}$
23	20160	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	6,2,1,1	10	84	${\displaystyle 2^{4}\cdot 6\cdot 210}$
24	25200	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}$	4,2,2,1	9	90	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30\cdot 210}$
25	27720	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	3,2,1,1,1	8	96	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 2310}$
26	45360	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7}$	4,4,1,1	10	100	${\displaystyle 6^{3}\cdot 210}$
27	50400	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}$	5,2,2,1	10	108	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30\cdot 210}$
28*	55440	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	4,2,1,1,1	9	120	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 2310}$
29	83160	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	3,3,1,1,1	9	128	${\displaystyle 6^{2}\cdot 2310}$
30	110880	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	5,2,1,1,1	10	144	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6\cdot 2310}$
31	166320	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	4,3,1,1,1	10	160	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
32	221760	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	6,2,1,1,1	11	168	${\displaystyle 2^{4}\cdot 6\cdot 2310}$
33	277200	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11}$	4,2,2,1,1	10	180	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30\cdot 2310}$
34	332640	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	5,3,1,1,1	11	192	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
35	498960	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	4,4,1,1,1	11	200	${\displaystyle 6^{3}\cdot 2310}$
36	554400	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11}$	5,2,2,1,1	11	216	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30\cdot 2310}$
37	665280	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	6,3,1,1,1	12	224	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
38*	720720	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13}$	4,2,1,1,1,1	10	240	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 30030}$

Делители первых 15 сложных чисел показаны ниже.

п	d(п)	Делители п
1	1	1
2	2	1, 2
4	3	1, 2, 4
6	4	1, 2, 3, 6
12	6	1, 2, 3, 4, 6, 12
24	8	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36	9	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
48	10	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
60	12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
120	16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
180	18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
240	20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240
360	24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360
720	30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720
840	32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840

В приведенной ниже таблице показаны все 72 делителя 10080 в виде произведения двух чисел 36 различными способами.

Очень сложное число: 10080 10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2)  ×  (3 × 3)  ×  5  ×  7
1 × 10080	2 × 5040	3 × 3360	4 × 2520	5 × 2016	6 × 1680
7 × 1440	8 × 1260	9 × 1120	10 × 1008	12 × 840	14 × 720
15 × 672	16 × 630	18 × 560	20 × 504	21 × 480	24 × 420
28 × 360	30 × 336	32 × 315	35 × 288	36 × 280	40 × 252
42 × 240	45 × 224	48 × 210	56 × 180	60 × 168	63 × 160
70 × 144	72 × 140	80 × 126	84 × 120	90 × 112	96 × 105
Заметка: Цифры в смелый сами очень сложные числа. Отсутствует только двадцатое высокосоставное число 7560 (= 3 × 2520). 10080 - это так называемый 7-гладкое число (последовательность A002473 в OEIS ).

15000-е очень сложное число можно найти на сайте Ахима Фламменкампа. Это произведение 230 простых чисел:

${\displaystyle a_{0}^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},}$

куда ${\displaystyle a_{n}}$ - последовательность следующих друг за другом простых чисел, и все пропущенные члены (а₂₂ к а₂₂₈) - множители с показателем, равным единице (т. е. число равно ${\displaystyle 2^{14}\times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451}$). Если говорить более кратко, это продукт семи различных примориалов:

${\displaystyle b_{0}^{5}b_{1}^{3}b_{2}^{2}b_{4}b_{7}b_{18}b_{229},}$

куда ${\displaystyle b_{n}}$ это первобытный ${\displaystyle a_{0}a_{1}\cdots a_{n}}$.^[2]

График количества делителей целых чисел от 1 до 1000. Сильно составные числа выделены жирным шрифтом, а старшие сильно составные числа отмечены звездочкой. В файл SVG, наведите указатель мыши на панель, чтобы просмотреть статистику.

простые множители

Грубо говоря, чтобы число было составным, оно должно иметь главные факторы как можно меньше, но не слишком много одинаковых. Посредством основная теорема арифметики, каждое положительное целое число п имеет уникальное разложение на простые множители:

${\displaystyle n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1)}$

куда ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}}$ простые, а показатели ${\displaystyle c_{i}}$ положительные целые числа.

Любой множитель числа n должен иметь одинаковую или меньшую кратность в каждом простом числе:

${\displaystyle p_{1}^{d_{1}}\times p_{2}^{d_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{d_{k}},0\leq d_{i}\leq c_{i},0<i\leq k}$

Таким образом, количество делителей п является:

${\displaystyle d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)}$

Следовательно, для очень составного числа п,

• то k с учетом простых чисел п_я должен быть именно первым k простые числа (2, 3, 5, ...); в противном случае мы могли бы заменить одно из данных простых чисел меньшим простым числом и, таким образом, получить меньшее число, чем п с одинаковым количеством делителей (например, 10 = 2 × 5 можно заменить на 6 = 2 × 3; оба имеют четыре делителя);
• последовательность показателей должна быть невозрастающей, то есть ${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}}$; в противном случае, поменяв два показателя степени, мы снова получили бы меньшее число, чем п с таким же количеством делителей (например 18 = 2¹ × 3² можно заменить на 12 = 2² × 3¹; у обоих по шесть делителей).

Также, за исключением двух особых случаев п = 4 и п = 36, последний показатель c_k должно равняться 1. Это означает, что 1, 4 и 36 - единственные квадратные сильно составные числа. Сказать, что последовательность показателей не возрастает, равносильно утверждению, что сильно составное число является произведением первоцветы.

Обратите внимание, что хотя описанные выше условия необходимы, их недостаточно для того, чтобы число было очень сложным. Например, 96 = 2⁵ × 3 удовлетворяет указанным выше условиям и имеет 12 делителей, но не является очень составным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет такое же количество делителей.

Асимптотический рост и плотность

Если Q(Икс) обозначает количество сильно составных чисел, меньших или равных Икс, то есть две постоянные а и б, оба больше 1, так что

${\displaystyle (\log x)^{a}\leq Q(x)\leq (\log x)^{b}\,.}$

Первая часть неравенства доказана Пол Эрдёш в 1944 г. и вторая часть Жан-Луи Николя в 1988 году.^[3]

${\displaystyle 1.13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44\ }$

и

${\displaystyle \limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .}$

Связанные последовательности

Диаграмма Эйлера из обильный, примитивный изобилие, очень много, избыточный, колоссально обильный, очень сложный, превосходный высоко композитный, странный и идеальные числа меньше 100 по отношению к неполноценный и составные числа

Сильно составные числа выше 6 также обильные числа. Достаточно взглянуть на три наибольших собственных делителя конкретного сложного числа, чтобы убедиться в этом. Неверно, что все очень сложные числа также Числа харшада в базе 10. Первый HCN, не являющийся числом Харшада, - это 245 044 800, сумма цифр которого равна 27, но 27 не делится равномерно на 245 044 800.

10 из первых 38 очень сложных чисел являются превосходные очень сложные числа Последовательность очень сложных чисел (последовательность A002182 в OEIS ) - подмножество последовательности наименьших чисел k с точно п делители (последовательность A005179 в OEIS ).

Сильно составные числа, количество делителей которых также является сильно составным числом, для n = 1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800 , 195643523275200 (последовательность A189394 в OEIS ). Весьма вероятно, что эта последовательность завершена.

Положительное целое число п это в основном составное число если d(п) ≥ d(м) для всех м ≤ п. Функция подсчета Q_L(Икс) в значительной степени составных чисел удовлетворяет

${\displaystyle (\log x)^{c}\leq \log Q_{L}(x)\leq (\log x)^{d}\ }$

для положительного c,d с ${\displaystyle 0.2\leq c\leq d\leq 0.5}$.^[4][5]

Поскольку при разложении на простые множители очень сложного числа используются все первые k простые числа, каждое очень сложное число должно быть практический номер.^[6] Многие из этих чисел используются в традиционные системы измерения, и, как правило, используются в инженерном проектировании из-за простоты использования в расчетах, включающих фракции.

Смотрите также

• Превосходное высококомпозитное число
• Высокоточный номер
• Таблица делителей
• Функция Эйлера
• Круглый номер
• Гладкий номер

Примечания

1. Кахане, Жан-Пьер (Февраль 2015 г.), «Извилины Бернулли и самоподобные меры после Эрдёша: личная закуска», Уведомления Американского математического общества, 62 (2): 136–140. Кахане цитирует Платона Законы, 771c.
2. Фламменкамп, Ахим, Сильно составные числа.
3. Sándor et al. (2006) с.45
4. Sándor et al. (2006) с.46
5. Николя, Жан-Луи (1979). "Répartition des nombres largement composés". Acta Arith. (На французском). 34 (4): 379–390. Дои:10.4064 / aa-34-4-379-390. Zbl  0368.10032.
6. Сринивасан, А. К. (1948), «Практические цифры» (PDF), Текущая наука, 17: 179–180, Г-Н  0027799.

Рекомендации

• Рамануджан, С. (1915). «Сильно составные числа» (PDF). Proc. Лондонская математика. Soc. Серия 2. 14: 347–409. Дои:10.1112 / plms / s2_14.1.347. JFM  45.1248.01. (онлайн )
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С .; Crstici, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag. С. 45–46. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.
• Эрдеш, П. (1944). «По очень сложным цифрам» (PDF). Журнал Лондонского математического общества. Вторая серия. 19 (75_Part_3): 130–133. Дои:10.1112 / jlms / 19.75_part_3.130. Г-Н  0013381.
• Алаоглу, Л.; Эрдеш, П. (1944). «На сильно составные и похожие числа» (PDF). Труды Американского математического общества. 56 (3): 448–469. Дои:10.2307/1990319. JSTOR  1990319. Г-Н  0011087.
• Рамануджан, Шриниваса (1997). «Сильно составные числа» (PDF). Рамануджанский журнал. 1 (2): 119–153. Дои:10.1023 / А: 1009764017495. Г-Н  1606180. Аннотировано и с предисловием Жан-Луи Николя и Ги Робена.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Сильно составное число». MathWorld.
• Алгоритм вычисления сильно составных чисел
• Первые 10000 сложных чисел как факторы
• Ахим Фламменкамп, Первый 779674 HCN с сигма, тау, факторами
• Онлайн калькулятор составных чисел