Wolstenholme Prime - Wolstenholme prime

Wolstenholme Prime
Названный в честь	Джозеф Вольстенхолм
Год публикации	1995
Автор публикации	Макинтош, Р. Дж.
Нет. известных терминов	2
Предполагаемый нет. условий	Бесконечный
Подпоследовательность из	Неправильные простые числа
Первые триместры	16843, 2124679
Самый большой известный термин	2124679
OEIS индекс	A088164; Простые числа Вольстенхолма: простые числа p такие, что binomial (2p-1, p-1) == 1 (mod p ^ 4);

В теория чисел, а Wolstenholme Prime это особый вид простое число удовлетворение более сильной версии Теорема Вольстенхольма. Теорема Вольстенхольма - это отношение конгруэнтности удовлетворяются все простые числа больше 3. Простые числа Вольстенхолма названы в честь математика Джозеф Вольстенхолм, который впервые описал эту теорему в 19 веке.

Интерес к этим простым числам впервые возник из-за их связи с Последняя теорема Ферма. Простые числа Вольстенхолма также связаны с другими специальными классами чисел, которые изучаются в надежде обобщить доказательство истинности теоремы на все натуральные числа больше двух.

Единственными двумя известными простыми числами Вольстенхолма являются 16843 и 2124679 (последовательность A088164 в OEIS ). Других простых чисел Вольстенхолма меньше 10 не существует.⁹.^[2]

Определение

Нерешенная проблема в математике:

Существуют ли какие-либо простые числа Вольстенхольма, кроме 16843 и 2124679?

(больше нерешенных задач по математике)

Простое число Вольстенхольма можно определить несколькими эквивалентными способами.

Определение через биномиальные коэффициенты

Простое число Вольстенхолма - это простое число п > 7, что удовлетворяет соответствие

{ displaystyle {2p-1 choose p-1} Equiv 1 { pmod {p ^ {4}}},}

где выражение в левая сторона обозначает биномиальный коэффициент.^[3]В сравнении Теорема Вольстенхольма заявляет, что для каждого простого п > 3 имеет место следующее сравнение:

{ displaystyle {2p-1 choose p-1} Equiv 1 { pmod {p ^ {3}}}.}

Определение через числа Бернулли

Простое число Вольстенхолма - это простое число п что делит числитель Число Бернулли B_п−3.^[4]^[5]^[6] Таким образом, простые числа Вольстенхолма образуют подмножество неправильные простые числа.

Определение через неправильные пары

Простое число Вольстенхолма - это простое число п такой, что (п, п–3) является неправильная пара.^[7]^[8]

Определение через гармонические числа

Простое число Вольстенхолма - это простое число п такой, что^[9]

{ Displaystyle H_ {p-1} Equiv 0 { pmod {p ^ {3}}} ,,}

то есть числитель номер гармоники ${ displaystyle H_ {p-1}}$ выраженная в наименьшем количестве, делится на п³.

Поиск и текущий статус

Поиск простых чисел Вольстенхолма начался в 1960-х годах и продолжался в последующие десятилетия, а последние результаты были опубликованы в 2007 году. Первое простое число Вольстенхолма 16843 было найдено в 1964 году, хотя в то время о нем не сообщалось.^[10] Открытие 1964 года было позже независимо подтверждено в 1970-х годах. Это оставалось единственным известным примером такого простого числа почти 20 лет, до объявления об открытии второго простого числа Вольстенхолма 2124679 в 1993 году.^[11] До 1,2×10⁷, других простых чисел Вольстенхолма не найдено.^[12] Позже это было увеличено до 2×10⁸ Макинтош в 1995 г. ^[5] и Trevisan & Weber достигли 2,5×10⁸.^[13] Последний результат на 2007 год состоит в том, что есть только эти два простых числа Вольстенхолма до 10⁹.^[14]

Ожидаемое количество простых чисел Вольстенхольма

Предполагается, что существует бесконечно много простых чисел Вольстенхольма. Предполагается, что количество простых чисел Вольстенхольма ≤Икс около ln ln x, куда пер обозначает натуральный логарифм. Для каждого прайма п ≥ 5, Фактор Вольстенхолма определяется как

{ displaystyle W_ {p} {=} { frac {{2p-1 choose p-1} -1} {p ^ {3}}}.}

Четко, п является простым числом Вольстенхольма тогда и только тогда, когда W_п ≡ 0 (модп). Эмпирически можно предположить, что остатки W_п по модулю п находятся равномерно распределены в наборе {0, 1, ..., п–1}. Исходя из этого, вероятность того, что остаток примет конкретное значение (например, 0), составляет примерно 1 /п.^[5]

Смотрите также

Примечания

^ Простые числа Вольстенхолма были впервые описаны Макинтошем в Макинтош 1995, п. 385
^ Вайсштейн, Эрик В. "Вольстенхолм прайм". MathWorld.
^ Кук, Дж. Д. «Биномиальные коэффициенты». Получено 21 декабря 2010.
^ Кларк и Джонс 2004, п. 553.
^ ^а ^б ^c Макинтош 1995, п. 387.
^ Чжао 2008, п. 25.
^ Джонсон 1975, п. 114.
^ Buhler et al. 1993 г., п. 152.
^ Чжао 2007, п. 18.
^ Селфридж и Поллак опубликовали первое простое число в Вольстенхолме в Селфридж и Поллак 1964, п. 97 (см. Макинтош и Рёттгер 2007, п. 2092).
^ Рибенбойм 2004, п. 23.
^ Чжао 2007, п. 25.
^ Тревизан и Вебер 2001, п. 283–284.
^ Макинтош и Рёттгер 2007, п. 2092.

дальнейшее чтение

Бэббидж, К. (1819 г.), «Демонстрация теоремы о простых числах», Эдинбургский философский журнал, 1: 46–49
Krattenthaler, C .; Ривоал, Т. (2009), "О целочисленности коэффициентов Тейлора зеркальных отображений, II", Коммуникации в теории чисел и физике, 3 (3): 555–591, arXiv:0907.2578, Bibcode:2009arXiv0907.2578K, Дои:10.4310 / CNTP.2009.v3.n3.a5
Вольстенхолм, Дж. (1862 г.), «О некоторых свойствах простых чисел», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики, 5: 35–39

внешняя ссылка

Колдуэлл, Крис К. Wolstenholme Prime из The Prime Glossary
Макинтош, Р. Дж. Статус поиска Wolstenholme по состоянию на март 2004 г. электронное письмо Пауль Циммерманн
Брук, Р. Теорема Вольстенхольма, числа Стирлинга и биномиальные коэффициенты
Конрад, К. В п-адический рост гармонических сумм интересное наблюдение с участием двух простых чисел Вольстенхолма

[1] Простые числа Вольстенхолма были впервые описаны Макинтошем в Макинтош 1995, п. 385

[2] Вайсштейн, Эрик В. "Вольстенхолм прайм". MathWorld.

[3] Кук, Дж. Д. «Биномиальные коэффициенты». Получено 21 декабря 2010.

[FOOTNOTEClarkeJones2004553-4] Кларк и Джонс 2004, п. 553.

[FOOTNOTEMcIntosh1995387-5] а ^б ^c Макинтош 1995, п. 387.

[FOOTNOTEZhao200825-6] Чжао 2008, п. 25.

[FOOTNOTEJohnson1975114-7] Джонсон 1975, п. 114.

[FOOTNOTEBuhlerCrandallErnvallMetsänkylä1993152-8] Buhler et al. 1993 г., п. 152.

[FOOTNOTEZhao200718-9] Чжао 2007, п. 18.

[10] Селфридж и Поллак опубликовали первое простое число в Вольстенхолме в Селфридж и Поллак 1964, п. 97 (см. Макинтош и Рёттгер 2007, п. 2092).

[FOOTNOTERibenboim200423-11] Рибенбойм 2004, п. 23.

[FOOTNOTEZhao200725-12] Чжао 2007, п. 25.

[FOOTNOTETrevisanWeber2001283–284-13] Тревизан и Вебер 2001, п. 283–284.

[FOOTNOTEMcIntoshRoettger20072092-14] Макинтош и Рёттгер 2007, п. 2092.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

простое число классы
По формуле	Ферма ( $2 2 п + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 п + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 п + 1$ ) Факториал ( $п! \pm 1$ ) Первобытный ( $п п # \pm 1$ ) Евклид ( $п п # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 п + 1$ ) Pierpont ( $2 м \cdot3 п + 1$ ) Квартан ( $Икс 4 + у 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 п \pm 1$ ) Каллен ( $п \cdot2 п + 1$ ) Вудалл ( $п \cdot2 п - 1$ ) Кубинский ( $Икс 3 - у 3)/(Икс - у$ ) Кэрол $(2 п - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 п + 1) 2 - 2$ Лейланд ( $Икс у + у Икс$ ) Табит ( $3\cdot2 п - 1$ ) Уильямс ( $(б -1)\cdot б п - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 п ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман – Шанкс – Уильямс Перрин Перегородки Колокол Моцкин
По собственности	Виферих (пара ) Стена – Солнце – Солнце Wolstenholme Уилсон Счастливчик Удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Штерн Суперсингулярный (эллиптическая кривая) Суперсингулярный (теория самогона) Хороший супер Хиггс Очень cototient
Основание -зависимый	Палиндромный Эмирп Repunit $(10 п - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Слабо Первобытный Полное повторение Уникальный Счастливый Себя Смарандаче – Веллин Стробограмматический Двугранный Тетрадич
Узоры	Близнец ( $п, п + 2$ ) Двусторонняя цепь ( $п - 1, п + 1, 2 п - 1, 2 п + 1, \dots$ ) Триплет ( $п, п + 2 или п + 4, п + 6$ ) Четверной ( $п, п + 2, п + 6, п + 8$ ) k−Tuple Двоюродная сестра ( $п, п + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен / Сейф ( $п, 2 п + 1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $п + а \cdot п, п = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательный п - п, п, п + п$ )
По размеру	Титаник (Более 1000 цифр) Гигантский (10 000+ цифр) Мега (Более 1000000 цифр) Самый большой известный
Сложные числа	Эйзенштейн простое Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопремия Каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Сомер – Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупростой Interprime Пагубный
похожие темы	Вероятное простое число Прайм промышленного класса Незаконный премьер Формула для простых чисел Главный разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел