Главный разрыв - Prime gap

Главный разрыв Распределение частоты для простых чисел до 1,6 миллиарда. Пики кратны 6.^[1]

А основной разрыв разница между двумя последовательными простые числа. В п-й простой пробел, обозначенный грамм_п или же грамм(п_п) - разница между (п + 1) -го ип-е простые числа, т.е.

${displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}. }$

У нас есть грамм₁ = 1, грамм₂ = грамм₃ = 2 и грамм₄ = 4. Значение последовательность (грамм_п) промежутков между простыми числами широко изучены; однако многие вопросы и домыслы остаются без ответа.

Первые 60 простых промежутков:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... (последовательность A001223 в OEIS ).

По определению грамм_п каждое простое число можно записать как

${displaystyle p_{n+1}=2+sum _{i=1}^{n}g_{i}.}$

Простые наблюдения

Первое, наименьшее и единственное нечетное простое число - это промежуток размера 1 между 2, единственным четным простым числом, и 3, первым нечетным простым числом. Все остальные простые промежутки равны. Есть только одна пара последовательных промежутков длиной 2: промежутки грамм₂ и грамм₃ между простыми числами 3, 5 и 7.

Для любого целого числа п, то факториал п! это товар всех положительных целых чисел до п. Тогда в последовательности

${displaystyle n!+2,n!+3,ldots ,n!+n}$

первый член делится на 2, второй член делится на 3 и так далее. Таким образом, это последовательность п − 1 последовательные составные целые числа, и он должен принадлежать промежутку между простыми числами, имеющими длину не менее п. Отсюда следует, что между простыми числами есть промежутки, которые являются сколь угодно большими, то есть для любого целого числа N, есть целое число м с грамм_м ≥ N.

Однако основные пробелы п числа могут встречаться в числах намного меньших, чем п!. Например, первый пробел между простыми числами 523 и 541, а размер 15! - это значительно большее число 1307674368000.

Средний разрыв между простыми числами увеличивается по мере увеличения натуральный логарифм целого числа, и поэтому отношение промежутка между простыми числами и задействованными целыми числами уменьшается (и асимптотически равно нулю). Это следствие теорема о простых числах. С эвристической точки зрения мы ожидаем, что вероятность того, что отношение длины промежутка к натуральному логарифму больше или равно фиксированному положительному числу. k быть е^−k; следовательно, отношение может быть сколь угодно большим. Действительно, отношение промежутка к количеству цифр целых чисел неограниченно увеличивается. Это следствие результата Вестзинтиуса.^[2]

В обратном направлении гипотеза о простых близнецах утверждает, что грамм_п = 2 для бесконечного числа целых чисел п.

Численные результаты

Обычно соотношение из грамм_п / ln (п_п) называется цена разрыва грамм_п . По состоянию на сентябрь 2017 г.^{[Обновить]}, самый большой известный разрыв между простыми числами вероятный прайм Разрывные концы имеют длину 6582144, с 216841-значным вероятным простым числом, найденным Мартином Раабом.^[3] У этого пробела есть достоинства M = 13,1829. Самый большой известный пробел с идентифицированными проверенными простыми числами в качестве концов пробела имеет длину 1113106 и критерий 25,90, при этом 18662-значные простые числа найдены П. Ками, М. Янсеном и Дж. К. Андерсеном.^[4][5]

По состоянию на декабрь 2017 г.^{[Обновить]}, самая большая из известных заслуг и первая с заслугой более 40, как было обнаружено Gapcoin сеть составляет 41,93878373 с 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Промежуток между ним и следующим простым числом составляет 8350.^[6]

Наибольшие известные ценности (по состоянию на октябрь 2020 г.^{[Обновить]})^[6][7][8][9]

Цена	граммп	цифры	пп	Дата	Первооткрыватель
41.938784	8350	87	См. Выше	2017	Gapcoin
39.620154	15900	175	3483347771 × 409#/30 − 7016	2017	Дана Якобсен
38.066960	18306	209	650094367 × 491#/2310 − 8936	2017	Дана Якобсен
38.047893	35308	404	100054841 × 953#/210 − 9670	2020	Сет Троизи
37.824126	8382	97	512950801 × 229#/5610 − 4138	2018	Дана Якобсен

Отношение Крамера – Шанкса – Гранвилля - это отношение грамм_п / (ln (п_п))².^[6] Если отбросить аномально высокие значения отношения для простых чисел 2, 3, 7, то наибольшее известное значение этого отношения будет 0,9206386 для простого числа 1693182318746371. Другие условия записи можно найти на OEIS: A111943.

Мы говорим что грамм_п это максимальный разрыв, если грамм_м < грамм_п для всех м < пПо состоянию на август 2018 г.^{[Обновить]} самый большой известный максимальный промежуток между простыми числами имеет длину 1550, найденную Бертилом Найманом. Это 80-й максимальный промежуток, который находится после простого числа 18361375334787046697.^[10] Другие рекордные (максимальные) размеры зазора можно найти в OEIS: A005250, с соответствующими простыми числами п_п в OEIS: A002386, а значения п в OEIS: A005669.

80 известных максимальных пробелов на простые числа

Число от 1 до 27 # граммп пп п 1 1 2 1 2 2 3 2 3 4 7 4 4 6 23 9 5 8 89 24 6 14 113 30 7 18 523 99 8 20 887 154 9 22 1,129 189 10 34 1,327 217 11 36 9,551 1,183 12 44 15,683 1,831 13 52 19,609 2,225 14 72 31,397 3,385 15 86 155,921 14,357 16 96 360,653 30,802 17 112 370,261 31,545 18 114 492,113 40,933 19 118 1,349,533 103,520 20 132 1,357,201 104,071 21 148 2,010,733 149,689 22 154 4,652,353 325,852 23 180 17,051,707 1,094,421 24 210 20,831,323 1,319,945 25 220 47,326,693 2,850,174 26 222 122,164,747 6,957,876 27 234 189,695,659 10,539,432

Число от 28 до 54 # граммп пп п 28 248 191,912,783 10,655,462 29 250 387,096,133 20,684,332 30 282 436,273,009 23,163,298 31 288 1,294,268,491 64,955,634 32 292 1,453,168,141 72,507,380 33 320 2,300,942,549 112,228,683 34 336 3,842,610,773 182,837,804 35 354 4,302,407,359 203,615,628 36 382 10,726,904,659 486,570,087 37 384 20,678,048,297 910,774,004 38 394 22,367,084,959 981,765,347 39 456 25,056,082,087 1,094,330,259 40 464 42,652,618,343 1,820,471,368 41 468 127,976,334,671 5,217,031,687 42 474 182,226,896,239 7,322,882,472 43 486 241,160,624,143 9,583,057,667 44 490 297,501,075,799 11,723,859,927 45 500 303,371,455,241 11,945,986,786 46 514 304,599,508,537 11,992,433,550 47 516 416,608,695,821 16,202,238,656 48 532 461,690,510,011 17,883,926,781 49 534 614,487,453,523 23,541,455,083 50 540 738,832,927,927 28,106,444,830 51 582 1,346,294,310,749 50,070,452,577 52 588 1,408,695,493,609 52,302,956,123 53 602 1,968,188,556,461 72,178,455,400 54 652 2,614,941,710,599 94,906,079,600

Число от 55 до 80 # граммп пп п 55 674 7,177,162,611,713 251,265,078,335 56 716 13,829,048,559,701 473,258,870,471 57 766 19,581,334,192,423 662,221,289,043 58 778 42,842,283,925,351 1,411,461,642,343 59 804 90,874,329,411,493 2,921,439,731,020 60 806 171,231,342,420,521 5,394,763,455,325 61 906 218,209,405,436,543 6,822,667,965,940 62 916 1,189,459,969,825,483 35,315,870,460,455 63 924 1,686,994,940,955,803 49,573,167,413,483 64 1,132 1,693,182,318,746,371 49,749,629,143,526 65 1,184 43,841,547,845,541,059 1,175,661,926,421,598 66 1,198 55,350,776,431,903,243 1,475,067,052,906,945 67 1,220 80,873,624,627,234,849 2,133,658,100,875,638 68 1,224 203,986,478,517,455,989 5,253,374,014,230,870 69 1,248 218,034,721,194,214,273 5,605,544,222,945,291 70 1,272 305,405,826,521,087,869 7,784,313,111,002,702 71 1,328 352,521,223,451,364,323 8,952,449,214,971,382 72 1,356 401,429,925,999,153,707 10,160,960,128,667,332 73 1,370 418,032,645,936,712,127 10,570,355,884,548,334 74 1,442 804,212,830,686,677,669 20,004,097,201,301,079 75 1,476 1,425,172,824,437,699,411 34,952,141,021,660,495 76 1,488 5,733,241,593,241,196,731 135,962,332,505,694,894 77 1,510 6,787,988,999,657,777,797 160,332,893,561,542,066 78 1,526 15,570,628,755,536,096,243 360,701,908,268,316,580 79 1,530 17,678,654,157,568,189,057 408,333,670,434,942,092 80 1,550 18,361,375,334,787,046,697 423,731,791,997,205,041

Дальнейшие результаты

Верхняя граница

Постулат Бертрана, доказанный в 1852 году, утверждает, что всегда есть простое число между k и 2k, так в частности п_п+1 < 2п_п, что значит грамм_п < п_п.

В теорема о простых числах, доказанный в 1896 году, гласит, что средняя длина промежутка между простым числом п и следующее простое число будет асимптотически приближаться к ln (п) для достаточно больших простых чисел. Фактическая длина промежутка может быть намного больше или меньше этой. Однако из теоремы о простых числах можно вывести верхнюю оценку длины промежутков между простыми числами:

Для каждого ${displaystyle epsilon >0}$, есть номер ${displaystyle N}$ такой, что для всех ${displaystyle n>N}$

${displaystyle g_{n}<p_{n}epsilon }$.

Можно также сделать вывод, что промежутки становятся сколь угодно меньше пропорционально простым числам: частное

${displaystyle lim _{n o infty }{frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}$

Hoheisel (1930) был первым, кто показал^[11] что существует постоянная θ <1 такая, что

${displaystyle pi (x+x^{ heta })-pi (x)sim {frac {x^{ heta }}{log(x)}}{ ext{ as }}x o infty ,}$

таким образом показывая, что

${displaystyle g_{n}<p_{n}^{ heta },,}$

за достаточно большой  п.

Хохейзель получил возможное значение 32999/33000 для θ. Это было улучшено до 249/250 Хайльбронн,^[12] и к θ = 3/4 + ε для любого ε> 0 по формуле Чудаков.^[13]

Значительное улучшение связано с Ingham,^[14] кто показал это для некоторой положительной константы c, если

${displaystyle zeta (1/2+it)=O(t^{c}),}$ тогда ${displaystyle pi (x+x^{ heta })-pi (x)sim {frac {x^{ heta }}{log(x)}}}$ для любого ${displaystyle heta >(1+4c)/(2+4c).}$

Здесь, О относится к нотация большой O, ζ обозначает Дзета-функция Римана и π функция подсчета простых чисел. Зная, что любой c > 1/6 допустима, получается, что θ может быть любым числом больше 5/8.

Непосредственным следствием результата Ингама является то, что всегда есть простое число между п³ и (п + 1)³, если п достаточно большой.^[15] В Гипотеза Линделёфа означало бы, что формула Ингама верна для c любое положительное число: но даже этого недостаточно, чтобы подразумевать, что между п² и (п + 1)² за п достаточно большой (см. Гипотеза Лежандра ). Чтобы проверить это, более сильный результат, такой как Гипотеза Крамера будет необходимо.

Хаксли в 1972 г. показал, что можно выбрать θ = 7/12 = 0,58 (3).^[16]

Результат, благодаря Бейкеру, Харман и Пинц в 2001 г. показывает, что θ можно принять равным 0,525.^[17]

В 2005 году, Дэниел Голдстон, Янош Пинц и Джем Йылдырым доказал, что

${displaystyle liminf _{n o infty }{frac {g_{n}}{log p_{n}}}=0}$

и 2 года спустя улучшили это^[18] к

${displaystyle liminf _{n o infty }{frac {g_{n}}{{sqrt {log p_{n}}}(log log p_{n})^{2}}}<infty .}$

В 2013, Итан Чжан доказал, что

${displaystyle liminf _{n o infty }g_{n}<7cdot 10^{7},}$

Это означает, что существует бесконечно много пробелов, не превышающих 70 миллионов.^[19] А Polymath Project Совместными усилиями по оптимизации предела Чжана 20 июля 2013 года предел снизился до 4680.^[20] В ноябре 2013 г. Джеймс Мэйнард представил новое усовершенствование сита GPY, что позволило ему снизить границу до 600 и показать, что для любого м существует ограниченный интервал с бесконечным числом переводов, каждый из которых содержит м простые числа.^[21] Используя идеи Мейнарда, проект Polymath улучшил границу до 246;^[20][22] предполагая Гипотеза Эллиотта – Хальберштама и его обобщенная форма, N уменьшено до 12 и 6 соответственно.^[20]

Нижние границы

В 1931 году Эрик Вестзинтиус доказал, что максимальные промежутки между простыми числами растут более чем логарифмически. То есть,^[2]

${displaystyle limsup _{n o infty }{frac {g_{n}}{log p_{n}}}=infty .}$

В 1938 г. Роберт Рэнкин доказал существование постоянной c > 0 такое, что неравенство

${displaystyle g_{n}>{frac {clog nlog log nlog log log log n}{(log log log n)^{2}}}}$

выполняется для бесконечно многих значений п, улучшая результаты Westzynthius и Пол Эрдёш. Позже он показал, что можно взять любую постоянную c < е^γ, где γ - Константа Эйлера – Маскерони. Значение постоянной c был улучшен в 1997 году до любого значения менее 2е^γ.^[23]

Пол Эрдеш предложил приз в размере 10 000 долларов за доказательство или опровержение того, что постоянная c в указанном неравенстве можно взять сколь угодно большим.^[24] Правильность этого утверждения была доказана в 2014 г. Форд-Грин-Конягин-Тао и, независимо, Джеймс Мэйнард.^[25][26]

Результат был улучшен до

${displaystyle g_{n}>{frac {clog nlog log nlog log log log n}{log log log n}}}$

для бесконечного множества значений п Форд – Грин – Конягин – Мейнард – Тао.^[27]

В духе оригинального приза Эрдёша, Теренс Тао предложил 10 000 долларов США за доказательство того, что c в этом неравенстве можно взять сколь угодно большим.^[28]

Также определены нижние оценки цепочек простых чисел.^[29]

Домыслы о промежутках между простыми числами

Функция основного зазора

Еще лучшие результаты возможны под Гипотеза Римана. Харальд Крамер доказано^[30] что гипотеза Римана влечет разрыв грамм_п удовлетворяет

${displaystyle g_{n}=O({sqrt {p_{n}}}log p_{n}),}$

с использованием нотация большой O. (На самом деле для этого результата нужны только более слабые Гипотеза Линделёфа, если вы можете терпеть бесконечно меньшую экспоненту.^[31]) Позже он предположил, что зазоры еще меньше. Грубо говоря, Гипотеза Крамера утверждает, что

${displaystyle g_{n}=Oleft((log p_{n})^{2}ight).}$

Гипотеза Фирозбахта утверждает, что ${displaystyle p_{n}^{1/n}}$ (куда ${displaystyle p_{n}}$ это п-е простое число) является строго убывающей функцией от п, т.е.

${displaystyle p_{n+1}^{1/(n+1)}<p_{n}^{1/n}{ ext{ for all }}ngeq 1.}$

Если эта гипотеза верна, то функция ${displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ удовлетворяет ${displaystyle g_{n}<(log p_{n})^{2}-log p_{n}{ ext{ for all }}n>4.}$^[32] Это подразумевает сильную форму гипотезы Крамера, но несовместимо с эвристикой Granville и Пинц^[33][34][35] которые предполагают, что ${displaystyle g_{n}>{frac {2-varepsilon }{e^{gamma }}}(log p_{n})^{2}}$ бесконечно часто для любого ${displaystyle varepsilon >0,}$ куда ${displaystyle gamma }$ обозначает Константа Эйлера – Маскерони.

Тем временем, Гипотеза Оппермана слабее гипотезы Крамера. Ожидаемый размер разрыва с гипотезой Оппермана порядка

${displaystyle g_{n}<{sqrt {p_{n}}}.}$

В результате по гипотезе Оппермана - существует ${displaystyle m}$ (наверное ${displaystyle m=30}$), для которого каждое естественное ${displaystyle n>m}$ удовлетворяет ${displaystyle g_{n}<{sqrt {p_{n}}}.}$

Гипотеза Андрицы, которая является более слабой гипотезой, чем гипотеза Оппермана, утверждает, что^[36]

${displaystyle g_{n}<2{sqrt {p_{n}}}+1.}$

Это небольшое усиление Гипотеза Лежандра что между последовательными квадратными числами всегда стоит штрих.

Гипотеза Полиньяка утверждает, что каждое положительное четное число k возникает как простой разрыв бесконечно часто. Дело k = 2 - это гипотеза о простых близнецах. Гипотеза еще не была доказана или опровергнута для какого-либо конкретного значенияk, но Чжан Итанг результат доказывает, что это верно как минимум для одного (пока неизвестного) значения k что меньше 70 000 000; как обсуждалось выше, эта верхняя граница была улучшена до 246.

Как арифметическая функция

Разрыв грамм_п между пth и (п +1) -е простое число является примером арифметическая функция. В этом контексте обычно обозначают d_п и называется функцией простых разностей.^[36] Функция не является ни мультипликативный ни добавка.

Смотрите также

• Математический портал

• Неравенство Бонса
• Гауссов ров
• Твин премьер

Рекомендации

1. «Скрытая структура в случайности последовательности простых чисел?», С. Арес и М. Кастро, 2005 г.
2. Вестзинтиус, Э. (1931), "Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind", Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors (на немецком), 5: 1–37, JFM  57.0186.02, Zbl  0003.24601.
3. "Домашняя страница Томаса Р. Найсли".
4. Андерсен, Йенс Крузе. «Топ-20 основных разрывов». Получено 2014-06-13.
5. Подтвержденный основной зазор 1113106
6. НОВЫЙ ПРОБЕЛ МАКСИМАЛЬНЫХ ИЗВЕСТНЫХ Заслуг
7. Статистика динамического разрыва простых чисел
8. ТАБЛИЦЫ ПРОБЕЛОВ
9. Проект Prime Gap List
10. НОВЫЕ МАКСИМАЛЬНЫЕ ПРОБЕЛЫ 1530 И 1550
11. Хохейзель, Г. (1930). "Primzahlprobleme in der Analysis". Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 33: 3–11. JFM  56.0172.02.
12. Хайльбронн, Х.А. (1933). "Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel". Mathematische Zeitschrift. 36 (1): 394–423. Дои:10.1007 / BF01188631. S2CID  123216472.
13. Чудаков, Н. Г. (1936). «О разнице двух соседних простых чисел». Мат. Sb. 1: 799–814.
14. Ингхэм, А. Э. (1937). «О разнице последовательных простых чисел». Ежеквартальный журнал математики. Оксфордская серия. 8 (1): 255–266. Bibcode:1937QJМат ... 8..255I. Дои:10.1093 / qmath / os-8.1.255.
15. Чэн, Юань-Ю Фу-Жуй (2010). «Явная оценка простых чисел между последовательными кубиками». Rocky Mt. J. Math. 40: 117–153. arXiv:0810.2113. Дои:10.1216 / rmj-2010-40-1-117. S2CID  15502941. Zbl  1201.11111.
16. Хаксли, М. Н. (1972). «О различии последовательных простых чисел». Inventiones Mathematicae. 15 (2): 164–170. Bibcode:1971InMat..15..164H. Дои:10.1007 / BF01418933. S2CID  121217000.
17. Baker, R.C .; Harman, G .; Пинц, Дж. (2001). «Разница между последовательными простыми числами, II». Труды Лондонского математического общества. 83 (3): 532–562. Дои:10.1112 / plms / 83.3.532.
18. Голдстон, Д. А .; Pintz, J .; Йилдирим, С. Ю. (2007). «Простые числа в кортежах II». arXiv:0710.2728 [math.NT ].
19. Чжан, Итан (2014). «Ограниченные промежутки между простыми числами». Анналы математики. 179 (3): 1121–1174. Дои:10.4007 / летопись.2014.179.3.7. МИСТЕР  3171761.
20. «Ограниченные промежутки между простыми числами». Polymath. Получено 2013-07-21.
21. Мэйнард, Джеймс (2015). «Небольшие промежутки между простыми числами». Анналы математики. 181 (1): 383–413. arXiv:1311.4600. Дои:10.4007 / анналы.2015.181.1.7. МИСТЕР  3272929. S2CID  55175056.
22. D.H.J. Polymath (2014). «Варианты решета Сельберга и ограниченные интервалы, содержащие много простых чисел». Исследования в области математических наук. 1 (12). arXiv:1407.4897. Дои:10.1186 / s40687-014-0012-7. МИСТЕР  3373710. S2CID  119699189.
23. Пинц, Дж. (1997). «Очень большие промежутки между последовательными простыми числами». J. Теория чисел. 63 (2): 286–301. Дои:10.1006 / jnth.1997.2081.
24. Эрдеш, Пол; Боллобаш, Бела; Томасон, Эндрю, ред. (1997). Комбинаторика, геометрия и вероятность: дань уважения Паулю Эрдешу. Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN  9780521584722.
25. Форд, Кевин; Грин, Бен; Конягин Сергей; Тао, Теренс (2016). «Большие промежутки между последовательными простыми числами». Анна. математики. 183 (3): 935–974. arXiv:1408.4505. Дои:10.4007 / анналы.2016.183.3.4. МИСТЕР  3488740. S2CID  16336889.
26. Мэйнард, Джеймс (2016). «Большие промежутки между простыми числами». Анна. математики. 183 (3): 915–933. arXiv:1408.5110. Дои:10.4007 / анналы.2016.183.3.3. МИСТЕР  3488739. S2CID  119247836.
27. Форд, Кевин; Грин, Бен; Конягин Сергей; Мейнард, Джеймс; Тао, Теренс (2018). «Длинные промежутки между простыми числами». J. Amer. Математика. Soc. 31 (1): 65–105. arXiv:1412.5029. Дои:10,1090 / джемы / 876. МИСТЕР  3718451. S2CID  14487001.
28. «Длинные промежутки между простыми числами / Что нового».
29. Форд, Кевин; Мейнард, Джеймс; Тао, Теренс (13.10.2015). «Цепочки больших промежутков между простыми числами». arXiv:1511.04468 [math.NT ].
30. Крамер, Харальд (1936). «По порядку величины разницы между последовательными простыми числами» (PDF). Acta Arithmetica. 2: 23–46. Дои:10.4064 / aa-2-1-23-46. Архивировано из оригинал (PDF) в 2018-07-23. Получено 2016-06-27.
31. A. E. Ingham, О разнице между последовательными простыми числами, Quart. J. Math. (Оксфорд) 8, стр. 255-266 (1937).
32. Синха, Нилотпал Канти (2010). «О новом свойстве простых чисел, которое приводит к обобщению гипотезы Крамера». arXiv:1010.1399 [math.NT ]..
33. Гранвиль, Эндрю (1995). «Харальд Крамер и распределение простых чисел» (PDF). Скандинавский актуарный журнал. 1: 12–28. CiteSeerX  10.1.1.129.6847. Дои:10.1080/03461238.1995.10413946..
34. Гранвиль, Эндрю (1995). «Неожиданные нарушения в распределении простых чисел» (PDF). Материалы Международного конгресса математиков.. 1: 388–399. Дои:10.1007/978-3-0348-9078-6_32. ISBN  978-3-0348-9897-3..
35. Пинц, Янош (Сентябрь 2007 г.). «Крамер против Крамера: вероятностная модель Крамера для простых чисел». Функции и приблизительные математические комментарии. 37 (2): 232–471. Дои:10.7169 / facm / 1229619660.
36. Парень (2004) §A8

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.

дальнейшее чтение

• Саундарараджан, Каннан (2007). «Небольшие промежутки между простыми числами: работа Голдстона-Пинца-Йылдырыма». Бык. Являюсь. Математика. Soc. Новая серия. 44 (1): 1–18. arXiv:математика / 0605696. Дои:10.1090 / s0273-0979-06-01142-6. S2CID  119611838. Zbl  1193.11086.
• Михэилеску, Преда (Июнь 2014 г.). «О некоторых гипотезах аддитивной теории чисел» (PDF). Информационный бюллетень Европейского математического общества (92): 13–16. Дои:10.4171 / НОВОСТИ. HDL:2117/17085. ISSN  1027-488X.

внешняя ссылка

• Томас Р. Красиво, Некоторые результаты вычислительных исследований простых чисел - вычислительная теория чисел. Этот справочный веб-сайт включает список всех первых известных пробелов.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция простой разности». MathWorld.
• «Функция простой разности». PlanetMath.
• Армин Шамс, Повторное расширение теоремы Чебышева о гипотезе Бертрана, не содержит «произвольно большой» константы, как некоторые другие результаты.
• Крис Колдуэлл, Разрывы между простыми числами; элементарное введение
• Эндрю Гранвиль, Простые числа в интервалах ограниченной длины; обзор результатов, полученных до сих пор, вплоть до работы Джеймса Мейнарда в ноябре 2013 г.