Гипотеза Эллиотта – Хальберштама - Elliott–Halberstam conjecture

В теория чисел, то Гипотеза Эллиотта – Хальберштама это догадка о распределении простые числа в арифметические прогрессии. Он имеет множество приложений в теория сита. Он назван в честь Питер Д. Т. А. Эллиотт и Хейни Хальберштам, который высказал гипотезу в 1968 году.^[1]

Формулировка гипотезы требует некоторых обозначений. Позволять ${\displaystyle \pi (x)}$, то функция подсчета простых чисел, обозначают количество простых чисел, меньших или равных ${\displaystyle x}$. Если ${\displaystyle q}$ это положительный целое число и ${\displaystyle a}$ является совмещать к ${\displaystyle q}$, мы позволяем ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ обозначают количество простых чисел, меньших или равных ${\displaystyle x}$ которые равны ${\displaystyle a}$ по модулю ${\displaystyle q}$. Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях затем говорит нам, что

${\displaystyle \pi (x;q,a)\approx {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}}$

куда ${\displaystyle \varphi }$ является Функция Эйлера. Если мы затем определим функцию ошибок

${\displaystyle E(x;q)=\max _{{\text{gcd}}(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|}$

где максимум берется по всем ${\displaystyle a}$ взаимно простой с ${\displaystyle q}$, то гипотеза Эллиотта – Хальберштама - это утверждение, что для любого ${\displaystyle \theta <1}$ и ${\displaystyle A>0}$ существует постоянная ${\displaystyle C>0}$ такой, что

${\displaystyle \sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq {\frac {Cx}{\log ^{A}x}}}$

для всех ${\displaystyle x>2}$.

Эта гипотеза была доказана для всех ${\displaystyle \theta <1/2}$ к Энрико Бомбьери^[2] и Виноградов А.И.^[3] (в Теорема Бомбьери – Виноградова., иногда известную просто как «теорема Бомбьери»); этот результат уже весьма полезен, поскольку он представляет собой усредненную форму обобщенная гипотеза Римана. Известно, что гипотеза в конечном итоге не выполняется. ${\displaystyle \theta =1}$.^[4]

Гипотеза Эллиотта – Хальберштама имеет несколько следствий. Поразительным является результат, объявленный Дэн Голдстон, Янош Пинц, и Джем Йылдырым,^[5][6] что показывает (в предположении этой гипотезы), что существует бесконечно много пар простых чисел, различающихся не более чем на 16. В ноябре 2013 г. Джеймс Мейнард показали, что с помощью гипотезы Эллиотта – Халберштама можно показать существование бесконечного числа пар последовательных простых чисел, различающихся не более чем на 12.^[7] В августе 2014 г. Polymath группа показала, что с учетом обобщенная гипотеза Эллиотта – Хальберштама, можно показать существование бесконечного числа пар последовательных простых чисел, различающихся не более чем на 6.^[8] Не предполагая никакой формы гипотезы, самая низкая доказанная оценка равна 246.

Смотрите также

• Теорема Барбана – Давенпорта – Хальберштама.
• Сексуальный премьер
• Теорема Зигеля – Вальфиша

Примечания

1. Эллиотт, Питер Д. Т. А .; Хальберштам, Хейни (1970). «Гипотеза в теории простых чисел». Symposia Mathematica, Vol. IV (ИНДАМ, Рим, 1968/69). Лондон: Academic Press. С. 59–72. МИСТЕР  0276195.
2. Бомбьери, Энрико (1965). «На большом сите». Математика. 12: 201–225. Дои:10.1112 / s0025579300005313. МИСТЕР  0197425.
3. Виноградов, Аскольд Иванович (1965). "Гипотеза плотности для L-серии Дирихле". Изв. Акад. АН СССР сер. Мат. (на русском). 29 (4): 903–934. МИСТЕР  0197414. Исправление. там же. 30 (1966), страницы 719-720. (Русский)
4. Фридлендер, Джон; Гранвиль, Эндрю (1989). «Ограничения на равное распределение простых чисел I». Анналы математики. 129 (2): 363–382. Дои:10.2307/1971450. МИСТЕР  0986796.
5. arXiv:math.NT / 0508185; смотрите также arXiv:math.NT / 0505300, arXiv:math.NT / 0506067.
6. Саундарараджан, Каннан (2007). «Небольшие промежутки между простыми числами: работа Голдстона – Пинца – Йылдырыма». Бык. Амер. Математика. Soc. 44 (1): 1–18. arXiv:математика / 0605696. Дои:10.1090 / S0273-0979-06-01142-6. МИСТЕР  2265008.
7. Мейнард, Джеймс (2015). «Небольшие промежутки между простыми числами». Анналы математики. 181 (1): 383–413. arXiv:1311.4600. Дои:10.4007 / анналы.2015.181.1.7. МИСТЕР  3272929.
8. D.H.J. Polymath (2014). «Варианты решета Сельберга и ограниченные интервалы, содержащие много простых чисел». Исследования в области математических наук. 1 (12). arXiv:1407.4897. Дои:10.1186 / s40687-014-0012-7. МИСТЕР  3373710.