Теорема Барбана – Давенпорта – Хальберштама. - Barban–Davenport–Halberstam theorem

В математике Теорема Барбана – Давенпорта – Хальберштама. это заявление о распределении простые числа в арифметическая прогрессия. Известно, что в конечном итоге простые числа распределяются по возможным прогрессиям одинаково с одинаковой разницей. Теоремы типа Барбана – Дэвенпорта – Хальберштама дают оценки для члена ошибки, определяя, насколько близко к униформа распределения есть.

Заявление

Позволять а быть совмещать к q и

${\displaystyle \vartheta (x;q,a)=\sum _{p\leq x\,;\,p\equiv a{\bmod {q}}}\log p\ }$

быть взвешенным количеством простых чисел в арифметической прогрессии а модq. У нас есть

${\displaystyle \vartheta (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+E(x;q,a)\ }$

куда φ является Функция Эйлера и срок ошибки E маленький по сравнению сИкс. Берем сумму квадратов ошибок

${\displaystyle V(x,Q)=\sum _{q\leq Q}\sum _{a{\bmod {q}}}|E(x;q,a)|^{2}\ .}$

Тогда у нас есть

${\displaystyle V(x,Q)=O(Qx\log x)+O(x^{2}(\log x)^{-A})\ }$

за ${\displaystyle 1\leq Q\leq x}$ и каждый положительныйА, куда О является Обозначение Ландау Big O.

Эта форма теоремы принадлежит Галлахеру. Результат Барбана действителен только для ${\displaystyle Q\leq x(\log x)^{-B}}$ для некоторых B в зависимости от А, а результат Давенпорта – Хальберштама имеетB = А + 5.

Смотрите также

• Теорема Бомбьери – Виноградова.
• Гипотеза Эллиотта – Хальберштама

Рекомендации

• Хули, К. (2002). «О теоремах типа Барбана-Дэвенпорта-Хальберштама». В Bennett, M. A .; Берндт, Б.С.; Бостон, Н.; Diamond, H.G .; Hildebrand, A.J .; Филипп, W. (ред.). Обзоры по теории чисел: доклады тысячелетней конференции по теории чисел. Натик, Массачусетс: А. К. Питерс. С. 75–108. ISBN  1-56881-162-4. Zbl  1039.11057.