Гипотеза Лежандра - Legendres conjecture - Wikipedia

Гипотеза Лежандра, предложено Адриан-Мари Лежандр, заявляет, что существует простое число между п² и (п + 1)² для каждого положительное число п. В догадка один из Проблемы Ландау (1912) о простых числах; по состоянию на 2020 год^{[Обновить]}, гипотеза не доказана и не опровергнута.

Нерешенная проблема в математике: Всегда ли существует хотя бы одно простое число между n^2 и (n + 1)^2? (больше нерешенных задач по математике)

Основные зазоры

Гипотеза Лежандра - одна из семьи результатов и гипотез, связанных с основные промежутки, то есть интервалу между простыми числами.

График количества простых чисел между п² и (п + 1)² OEIS: A014085

В теорема о простых числах предполагает, что фактическое количество простых чисел между п² и (п + 1)² (OEIS: A014085) является асимптотический к п/ ln (п). Поскольку это число велико для больших п, это подтверждает гипотезу Лежандра.

Если гипотеза Лежандра верна, то зазор между любыми праймами п и следующее по величине простое число всегда будет не больше порядка ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$;^[а] в нотация большой O, пробелы ${\displaystyle O({\sqrt {p}})}$. Две более сильные гипотезы, Гипотеза Андрицы и Гипотеза Оппермана, также оба подразумевают, что промежутки имеют одинаковую величину.

Харальд Крамер предполагаемый что зазоры всегда намного меньше, порядка ${\displaystyle (\log p)^{2}}$. Если гипотеза Крамера верна, гипотеза Лежандра будет следовать для всех достаточно больших п. Крамер также доказал, что Гипотеза Римана следует более слабая оценка ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\log p)}$ от размера наибольших простых зазоров.^[1]

Контрпример около 10¹⁸ потребуется простой разрыв в пятьдесят миллионов раз больше среднего разрыва.

Гипотеза Лежандра подразумевает, что по крайней мере одно простое число может быть найдено в каждой половине оборота Спираль Улама.

Частичные результаты

Из результата Ingham что для всех достаточно больших ${\displaystyle n}$, между последовательными кубики ${\displaystyle n^{3}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{3}}$.^[2]

Бейкер, Харман и Пинц доказано, что в интервале ${\displaystyle [x,\,x+O(x^{21/40})]}$ для всех больших ${\displaystyle x}$.^[3]

Таблица максимальных простых пробелов показывает, что гипотеза верна по крайней мере для ${\displaystyle n^{2}=4\cdot 10^{18}}$, смысл ${\displaystyle n=2\cdot 10^{9}}$.^[4]

Смотрите также

• Постулат Бертрана
• Гипотеза Брокара
• Гипотеза Фирозбахта

Примечания и ссылки

^ а Это следствие того факта, что разница между двумя последовательными квадратами порядка их квадратных корней.

1. Стюарт, Ян (2013), Видение бесконечности: великие математические проблемы, Основные книги, стр. 164, г. ISBN  9780465022403.
2. OEIS: A060199
3. Baker, R.C .; Harman, G .; Пинц, Дж. (2001). «Разница между последовательными простыми числами, II» (PDF). Труды Лондонского математического общества. 83 (3): 532–562. Дои:10.1112 / plms / 83.3.532.
4. Оливейра э Силва, Томас; Герцог, Зигфрид; Парди, Сильвио (2014), «Эмпирическая проверка гипотезы Гольдбаха и вычисление простых пробелов с точностью до ${\displaystyle 4\cdot 10^{18}}$", Математика вычислений, 83 (288): 2033–2060, Дои:10.1090 / S0025-5718-2013-02787-1, МИСТЕР  3194140.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Лежандра». MathWorld.
• Хашимото, Цутому (2008). «Об определенной связи между гипотезой Лежандра и постулатом Бертрана». arXiv:0807.3690.
• Митра, Адвей; Пол, Гаутам; Саркар, Ушниш (2009). «Некоторые предположения о количестве простых чисел в определенных интервалах». arXiv:0906.0104.
• Паз, немецкий (2013). «О догадках Лежандра, Брокара, Андирки и Оппермана». arXiv:1310.1323.