Гипотезы Мерсенна - Mersenne conjectures

В математика, то Гипотезы Мерсенна касаются характеристики простые числа формы, называемой Простые числа Мерсенна, что означает простые числа, которые сила двух минус один.

Оригинальная гипотеза Мерсенна

Оригинал, названный Гипотеза Мерсенна, было заявлением Марин Мерсенн в его Cogitata Physico-Mathematica (1644; см., Например, Dickson 1919), что числа ${\displaystyle 2^{n}-1}$ были первыми для п = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257, и были составной для всех других положительных целых чисел п ≤ 257. Из-за размера этих чисел Мерсенн не мог и не мог проверить их все, как и его сверстники в 17 веке. В конце концов, это было определено через три столетия и наличие новых методов, таких как Тест Лукаса-Лемера, что гипотеза Мерсенна содержит пять ошибок, а именно две составные (соответствующие простым числам п = 67, 257) и три пропущенных простых числа (соответствующие простым числам п = 61, 89, 107). Правильный список: п = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127.

Хотя первоначальное предположение Мерсенна неверно, оно могло привести к Новая гипотеза Мерсенна.

Новая гипотеза Мерсенна

В Новая гипотеза Мерсенна или же Гипотеза Бейтмана, Селфриджа и Вагстаффа (Bateman et al. 1989) утверждает, что для любого странный натуральное число п, если выполняются любые два из следующих условий, то выполняется и третье:

1. п = 2^k ± 1 или п = 4^k ± 3 для некоторого натурального числа k. (OEIS: A122834)
2. 2^п - 1 простое число (a Мерсенн прайм ). (OEIS: A000043)
3. (2^п + 1) / 3 простое число (a Wagstaff Prime ). (OEIS: A000978)

Если п это странно составное число, то 2^п - 1 и (2^п + 1) / 3 оба составные. Следовательно, необходимо проверять простые числа только для проверки истинности догадка.

В настоящее время известны числа, для которых выполняются все три условия: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (последовательность A107360 в OEIS ). Это также гипотеза, что никакое число больше 127 не удовлетворяет всем трем условиям. По состоянию на февраль 2020 года все простые числа Мерсенна до 2^43112609−1 известны, и ни для одного из них не выполняется третье условие, за исключением только что упомянутых.^[1]

Простые числа, удовлетворяющие хотя бы одному условию:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... (последовательность A120334 в OEIS )

Обратите внимание, что два простых числа, для которых исходная гипотеза Мерсенна неверна (67 и 257), удовлетворяют первому условию новой гипотезы (67 = 2⁶+3, 257=2⁸+1), но не два других. 89 и 107, пропущенные Мерсенном, удовлетворяют второму условию, но не двум другим. Мерсенн мог подумать, что 2^п - 1 простое, только если п = 2^k ± 1 или п = 4^k ± 3 для некоторого натурального числа k, но если он думал, что это было "если и только если "он бы включил 61.

Статус новой гипотезы Мерсенна для первых 100 простых чисел

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
73	79	83	89	97	101	103	107	109	113
127	131	137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223	227	229
233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349
353	359	367	373	379	383	389	397	401	409
419	421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523	541

Красный: p имеет форму 2^п± 1 или 4^п±3

Голубой фон: 2^п-1 простое

Курсив: (2^п+1) / 3 простое число

Жирный шрифт: p удовлетворяет хотя бы одному условию

Гипотезу Нового Мерсенна можно рассматривать как попытку спасти многовековую гипотезу Мерсенна, которая является ложной. Однако, по мнению Роберт Д. Сильверман, Джон Селфридж согласились с тем, что гипотеза Нью-Мерсенна «очевидно верна», поскольку она была выбрана для соответствия известным данным, а контрпримеры за пределами этих случаев чрезвычайно маловероятны. Это можно рассматривать скорее как любопытное наблюдение, чем как открытый вопрос, требующий доказательства.

Рено Лифшиц показал, что NMC верно для всех целых чисел, меньших или равных 30,402,456^[2] систематически проверяя все простые числа, для которых уже известно, что выполняется одно из условий. Его сайт документирует проверку результатов до этого числа. Другая, в настоящее время более актуальная страница статуса на NMC - Гипотеза Нового Прайма Мерсенна.

Гипотеза Ленстры – Померанса – Вагстаффа

Ленстра, Померанс, и Wagstaff предположили, что существует бесконечное количество Простые числа Мерсенна, а точнее, что количество простых чисел Мерсенна меньше Икс является асимптотически приблизительно

${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}\log _{2}(x),}$^[3]

где γ - Константа Эйлера – Маскерони. Другими словами, количество простых чисел Мерсенна с показателем п меньше, чем у асимптотически

${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(y).}$^[3]

Это означает, что в среднем должно быть около ${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)}$ ≈ 5,92 простых числа п заданного количества десятичных цифр, так что ${\displaystyle M_{p}}$ простое. Гипотеза довольно точна для первых 40 простых чисел Мерсенна, но между 2^20,000,000 и 2^85,000,000 их не менее 12,^[4] а не ожидаемое число, которое составляет около 3,7.

В более общем смысле, количество простых чисел п ≤ у такой, что ${\displaystyle {\frac {a^{p}-b^{p}}{a-b}}}$ простое (где а, б находятся совмещать целые числа, а > 1, −а < б < а, а и б не оба идеальны р-ые степени для любого натурального числа р > 1 и −4ab не идеальный четвертая степень ) асимптотически

${\displaystyle (e^{\gamma }+m\cdot \log _{e}(2))\cdot \log _{a}(y).}$

куда м - наибольшее целое неотрицательное число такое, что а и -б оба идеальны 2^м-ые степени. Случай простых чисел Мерсенна - это один из случаев (а, б) = (2, 1).

Смотрите также

• Гипотеза Гиллиса о распределении чисел простых делителей чисел Мерсенна
• Тест на простоту Лукаса-Лемера
• Тест на простоту Лукаса
• Гипотеза Каталонского Мерсенна
• Законы Мерсенна

Рекомендации

• Бейтман, П. Т.; Селфридж, Дж. Л.; Вагстафф младший, Сэмюэл С. (1989). «Новая гипотеза Мерсенна». Американский математический ежемесячный журнал. Математическая ассоциация Америки. 96 (2): 125–128. Дои:10.2307/2323195. JSTOR  2323195. МИСТЕР  0992073.
• Диксон, Л.Э. (1919). История теории чисел. Институт Карнеги в Вашингтоне. п. 31. ПР  6616242M. Перепечатано издательством Chelsea Publishing, Нью-Йорк, 1971 г. ISBN  0-8284-0086-5.

1. Джеймс Ванлесс. "Факторизации Mersenneplustwo".
2. Новая гипотеза Мерсенна о простых числах на простых страницах
3. Эвристика: вывод гипотезы Вагстаффа Мерсенна. Прайм Страницы. Проверено 11 мая 2014.
4. Майкл Ле Пейдж (10 августа 2019 г.). «В гонке за первое простое число с миллиардом цифр». Новый ученый.

внешняя ссылка

• Основные страницы. Гипотеза Мерсенна.