Асимптотический анализ - Asymptotic analysis

Эта статья о поведении функций при приближении входных данных к бесконечности или некоторому другому предельному значению. Для асимптот в геометрия, увидеть Асимптота.

В математический анализ, асимптотический анализ, также известен как асимптотика, это метод описания ограничение поведение.

В качестве иллюстрации предположим, что нас интересуют свойства функции ж(п) так как п становится очень большим. Если ж(п) = п² + 3п, тогда как п становится очень большим, срок 3п становится незначительным по сравнению с п². Функция ж(п) считается "асимптотически эквивалентный к п², так как п → ∞". Это часто обозначается как ж(п) ~ п², который читается как "ж(п) асимптотичен п²".

Примером важного асимптотического результата является теорема о простых числах. Позволять π (Икс) обозначить функция подсчета простых чисел (что не имеет прямого отношения к константе Пи ), т.е. π (Икс) это количество простые числа которые меньше или равны Икс. Тогда теорема утверждает, что

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.}$

Определение

Формально данные функции ж(Икс) и г(Икс), определим бинарное отношение

${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad ({\text{as }}x\to \infty )}$

если и только если (де Брюйн 1981, §1.4)

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$

Символ ~ это тильда. Отношение является отношение эквивалентности по набору функций Икс; функции ж и г как говорят асимптотически эквивалентный. В домен из ж и г может быть любым набором, для которого определен лимит: например, действительные числа, комплексные числа, положительные целые числа.

То же обозначение используется и для других способов перехода к пределу: например, Икс → 0, Икс ↓ 0, |Икс| → 0. Способ перехода к пределу часто не указывается явно, если это ясно из контекста.

Хотя приведенное выше определение широко используется в литературе, это проблематично, если г(Икс) бесконечно часто равен нулю при Икс переходит к предельному значению. По этой причине некоторые авторы используют альтернативное определение. Альтернативное определение в маленькая нотация, в том, что ж ~ г если и только если

${\displaystyle f(x)=g(x)(1+o(x)).}$

Это определение эквивалентно предыдущему, если г(Икс) не ноль в некоторых окрестности предельного значения.^[1][2]

Свойства

Если ${\displaystyle f\sim g}$ и ${\displaystyle a\sim b}$, то при некоторых мягких условиях имеет место следующее.

• ${\displaystyle f^{r}\sim g^{r}}$, для каждого реального р
• ${\displaystyle \log(f)\sim \log(g)}$
• ${\displaystyle f\times a\sim g\times b}$
• ${\displaystyle f/a\sim g/b}$

Такие свойства позволяют свободно обмениваться асимптотически эквивалентными функциями во многих алгебраических выражениях.

Примеры асимптотических формул

• Факториал

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

-это Приближение Стирлинга

• Функция разделения

Для положительного целого числа п, статистическая сумма, п(п), дает количество способов записи целого числа п как сумму положительных целых чисел, где порядок слагаемых не учитывается.

${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$

• Функция Эйри

Функция Эйри, Ai (Икс), является решением дифференциального уравненияу '' − ху = 0; он имеет множество приложений в физике.

${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$

• Функции Ганкеля

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$

строительство

Общее

Рассматривать:

${\displaystyle h(x)=f(x)(1-F(x))+g(x)F(x)}$

где ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ имеют реальную ценность аналитические функции, и ${\displaystyle F(x)}$ это Кумулятивная функция распределения.

потом ${\displaystyle h(x)}$ асимптотичен ${\displaystyle f(x)}$ так как ${\displaystyle x\to (-\infty )}$ и асимптотика к ${\displaystyle g(x)}$ так как ${\displaystyle x\to (+\infty )}$.

Асимптотика двух разных многочленов

Предположим, нам нужна вещественная функция, асимптотическая ${\displaystyle (a_{0}+a_{1}x)}$ так как ${\displaystyle x\to (-\infty )}$ и асимптотична ${\displaystyle (b_{0}+b_{1}x)}$ так как ${\displaystyle x\to (+\infty )}$. потом

${\displaystyle h(x)=(a_{0}+a_{1}x)(1-F(x))+(b_{0}+b_{1}x)F(x)}$

сделаю это.

Асимптотическое разложение

Основная статья: Асимптотическое разложение

An асимптотическое разложение функции ж(Икс) на практике является выражением этой функции в терминах серии, то частичные суммы из которых не обязательно сходятся, но такие, что взятие любой начальной частичной суммы дает асимптотическую формулу для ж. Идея состоит в том, что следующие друг за другом члены дают все более точное описание порядка роста ж.

В символах это означает, что у нас есть ${\displaystyle f\sim g_{1},}$ но также ${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$ и ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$ для каждого фиксированного k. С учетом определения ${\displaystyle \sim }$ символ, последнее уравнение означает ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$ в небольшое обозначение, т.е. ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$ намного меньше, чем ${\displaystyle g_{k}.}$

Соотношение ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$ обретает полное значение, если ${\displaystyle g_{k+1}=o(g_{k})}$ для всех k, что означает ${\displaystyle g_{k}}$ для мужчины асимптотическая шкала. В этом случае некоторые авторы могут оскорбительно записывать ${\displaystyle f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}}$ для обозначения утверждения ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).}$ Однако следует быть осторожным, чтобы это не стандартное использование ${\displaystyle \sim }$ символ, и что он не соответствует определению, данному в § Определение.

В нынешней ситуации это соотношение ${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1})}$ фактически следует из объединения шагов k и k−1; путем вычитания ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})}$ от ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),}$ один получает ${\displaystyle g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),}$ т.е. ${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).}$

В случае, если асимптотическое разложение не сходится, для любого конкретного значения аргумента будет определенная частичная сумма, которая обеспечивает наилучшее приближение, а добавление дополнительных членов снизит точность. Эта оптимальная частичная сумма обычно будет содержать больше членов по мере приближения аргумента к предельному значению.

Примеры асимптотических разложений

• Гамма-функция

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$

• Экспоненциальный интеграл

${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}$

• Функция ошибки

${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$

где (2п − 1)!! это двойной факториал.

Пример работы

Асимптотические разложения часто возникают, когда обычный ряд используется в формальном выражении, которое заставляет принимать значения за пределами области сходимости. Например, мы можем начать с обычной серии

${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}}$

Выражение слева справедливо на всей комплексной плоскости. ${\displaystyle w\neq 1}$, а правая часть сходится только при ${\displaystyle |w|<1}$. Умножение на ${\displaystyle e^{-w/t}}$ и интегрирование обеих сторон дает

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du}$

Интеграл в левой части можно выразить через экспоненциальный интеграл. Интеграл в правой части после замены ${\displaystyle u=w/t}$, может быть признан гамма-функция. Оценивая оба, получаем асимптотическое разложение

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!\;t^{n+1}}$

Здесь правая часть явно не сходится ни при каком ненулевом значении т. Однако, сохраняя т small, и усекая ряд справа до конечного числа членов, можно получить довольно хорошее приближение к значению ${\displaystyle \operatorname {Ei} (1/t)}$. Подстановка ${\displaystyle x=-1/t}$ и отмечая, что ${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$ приводит к асимптотическому разложению, приведенному ранее в этой статье.

Асимптотическое распределение

Основная статья: Асимптотическое распределение

В математическая статистика, асимптотическое распределение - это гипотетическое распределение, которое в некотором смысле является «ограничивающим» распределением последовательности распределений. Распределение - это упорядоченный набор случайных величин. Z_я для я = 1, ..., п, для некоторого положительного целого числа п. Асимптотическое распределение позволяет я без ограничений, то есть п бесконечно.

Частный случай асимптотического распределения - это когда поздние записи обращаются к нулю, то есть Z_я перейти к 0 как я уходит в бесконечность. Некоторые примеры «асимптотического распределения» относятся только к этому частному случаю.

Это основано на понятии асимптотический функция, которая чисто приближается к постоянному значению ( асимптота) как независимая переменная стремится к бесконечности; "чистый" в этом смысле означает, что для любой желаемой близости эпсилон существует некоторое значение независимой переменной, после которого функция никогда не отличается от константы более чем на эпсилон.

An асимптота прямая линия, к которой приближается кривая, но никогда не пересекает и не пересекает ее. Неформально можно говорить о кривой, пересекающей асимптоту «на бесконечности», хотя это не точное определение. В уравнении ${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$ у становится сколь угодно малой по величине при Икс увеличивается.

Приложения

Асимптотический анализ используется в нескольких математические науки. В статистика, асимптотическая теория дает предельные приближения распределение вероятностей из статистика выборки, такой как отношение правдоподобия статистика и ожидаемое значение из отклонение. Однако асимптотическая теория не предоставляет метода оценки распределений выборочной статистики по конечной выборке. Неасимптотические оценки даются методами теория приближения.

Примеры приложений следующие.

• В Прикладная математика, асимптотический анализ используется для построения численные методы приблизить уравнение решения.
• В математическая статистика и теория вероятности, асимптотики используются при анализе долгосрочного или большой выборки поведения случайных величин и оценок.
• в Информатика в анализ алгоритмов, учитывая производительность алгоритмов.
• поведение физические системы, например, статистическая механика.
• в анализ аварии при определении причины ДТП посредством моделирования количества ДТП с большим количеством ДТП за заданное время и пространство.

Асимптотический анализ - ключевой инструмент для изучения обычный и частичный дифференциальные уравнения, возникающие в математическое моделирование явлений реального мира.^[3] Наглядным примером является вывод уравнения пограничного слоя от полного Уравнения Навье-Стокса регулирующий поток жидкости. Во многих случаях асимптотическое разложение ведется по малому параметру ε: в случае пограничного слоя это безразмерный отношение толщины пограничного слоя к типичному масштабу задачи. Действительно, применение асимптотического анализа в математическом моделировании часто^[3] сосредоточиться вокруг безразмерного параметра, который был показан или предположительно мал благодаря рассмотрению масштабов рассматриваемой проблемы.

Асимптотические разложения обычно возникают при приближении некоторых интегралов (Метод Лапласа, метод перевала, способ наискорейшего спуска ) или в приближении вероятностных распределений (Серия Эджворта ). В Графики Фейнмана в квантовая теория поля являются еще одним примером асимптотических разложений, которые часто не сходятся.

Смотрите также

• Асимптота
• Асимптотическая вычислительная сложность
• Асимптотическая плотность (в теории чисел)
• Асимптотическая теория (статистика)
• Асимптотология
• Обозначение Big O
• Срок ведения
• Метод доминирующего баланса (для ODE)
• Метод согласованных асимптотических разложений
• Лемма Ватсона

Заметки

1. «Асимптотическое равенство», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
2. Эстрада и Канвал (2002), §1.2)
3. Ховисон, С. (2005), Практическая прикладная математика, Издательство Кембриджского университета

использованная литература

• Бальзер, В. (1994), От расходящихся степенных рядов к аналитическим функциям, Springer-Verlag, ISBN  9783540485940
• де Брёйн, Н.Г. (1981), Асимптотические методы анализа., Dover Publications, ISBN  9780486642215
• Estrada, R .; Канвал, Р. П. (2002), Распределительный подход к асимптотике, Биркхойзер, ISBN  9780817681302
• Миллер, П. Д. (2006), Прикладной асимптотический анализ, Американское математическое общество, ISBN  9780821840788
• Мюррей, Дж. Д. (1984), Асимптотический анализ, Спрингер, ISBN  9781461211228
• Paris, R. B .; Каминский, Д. (2001), Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса., Издательство Кембриджского университета

внешние ссылки

• Асимптотический анализ - главная страница журнала, которую издает IOS Press
• Статья об анализе временных рядов с использованием асимптотического распределения