Экспоненциальный интеграл - Exponential integral

Не путать с другие интегралы из экспоненциальные функции.

Участок ${\displaystyle E_{1}}$ функция (вверху) и ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ функция (внизу).

В математике экспоненциальный интеграл Ei - это специальная функция на комплексная плоскость.Он определяется как один конкретный определенный интеграл соотношения между экспоненциальная функция и это аргумент.

Определения

Для реальных ненулевых значенийИкс, экспоненциальный интеграл Ei (Икс) определяется как

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt=\int _{-{\infty }}^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt.\,}$

В Алгоритм риша показывает, что Ei не элементарная функция. Приведенное выше определение можно использовать для положительных значенийИкс, но интеграл следует понимать в терминах Главное значение Коши из-за особенности подынтегрального выражения в нуле.

Для сложных значений аргумента определение становится неоднозначным из-за точки разветвления при 0 и ${\displaystyle \infty }$.^[1] Вместо Ei используются следующие обозначения:^[2]

${\displaystyle E_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi }$

(обратите внимание, что для положительных значений Икс, у нас есть ${\displaystyle -E_{1}(x)=\operatorname {Ei} (-x)}$).

В целом срезанная ветка берется на отрицательной действительной оси и E₁ можно определить как аналитическое продолжение в другом месте на комплексной плоскости.

Для положительных значений действительной части ${\displaystyle z}$, это можно написать^[3]

${\displaystyle E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt=\int _{0}^{1}{\frac {e^{-z/u}}{u}}\,du,\qquad \Re (z)\geq 0.}$

Поведение E₁ вблизи среза ветки можно увидеть следующее соотношение:^[4]

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}E_{1}(-x\pm i\delta )=-\operatorname {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0.}$

Свойства

Некоторые свойства экспоненциального интеграла, приведенного ниже, в некоторых случаях позволяют избежать его явного вычисления посредством определения выше.

Сходящийся ряд

Для вещественных или сложных аргументов вне отрицательной действительной оси, ${\displaystyle E_{1}(z)}$ можно выразить как^[5]

${\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}}\qquad (|\operatorname {Arg} (z)|<\pi )}$

где ${\displaystyle \gamma }$ это Константа Эйлера – Маскерони. Сумма сходится для всех сложных ${\displaystyle z}$, и берем обычное значение комплексный логарифм иметь срезанная ветка вдоль отрицательной действительной оси.

Эту формулу можно использовать для вычисления ${\displaystyle E_{1}(x)}$ с операциями с плавающей запятой для реального ${\displaystyle x}$ от 0 до 2,5. Для ${\displaystyle x>2.5}$, результат неточен из-за отмена.

Более быстрый сходящийся ряд был найден Рамануджан:

${\displaystyle {\rm {Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}$

Эти чередующиеся ряды также можно использовать для получения хороших асимптотических оценок для малых x, например^{[нужна цитата ]}:

${\displaystyle 1-{\frac {3x}{4}}\leq {\rm {Ei}}(x)-\gamma -\ln x\leq 1-{\frac {3x}{4}}+{\frac {11x^{2}}{36}}}$

для ${\displaystyle x\geq 0}$.

Асимптотический (расходящийся) ряд

Относительная погрешность асимптотического приближения для разных чисел ${\displaystyle ~N~}$ слагаемых в усеченной сумме

К сожалению, сходимость приведенного выше ряда медленная для аргументов с большим модулем. Например, для Икс = 10 необходимо более 40 терминов, чтобы получить правильный ответ до трех значащих цифр для ${\displaystyle E_{1}(z)}$.^[6] Однако существует приближение расходящегося ряда, которое может быть получено интегрированием ${\displaystyle ze^{z}E_{1}(z)}$ по частям:^[7]

${\displaystyle E_{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}}$

который имеет ошибку порядка ${\displaystyle O(N!z^{-N})}$ и справедливо для больших значений ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)}$. Относительная погрешность приведенного выше приближения показана на рисунке справа для различных значений ${\displaystyle N}$, количество слагаемых в усеченной сумме (${\displaystyle N=1}$ в красном, ${\displaystyle N=5}$ в розовом).

Экспоненциальное и логарифмическое поведение: скобки

Брекетинг ${\displaystyle E_{1}}$ элементарными функциями

Из двух серий, предложенных в предыдущих пунктах, следует, что ${\displaystyle E_{1}}$ ведет себя как отрицательная экспонента для больших значений аргумента и как логарифм для малых значений. Для положительных вещественных значений аргумента ${\displaystyle E_{1}}$ можно заключить в скобки элементарными функциями следующим образом:^[8]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0}$

Левая часть этого неравенства показана на графике слева синим цветом; центральная часть ${\displaystyle E_{1}(x)}$ отображается черным цветом, а правая часть - красным.

Определение Эйна

И то и другое ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ и ${\displaystyle E_{1}}$ можно написать проще, используя вся функция ${\displaystyle \operatorname {Ein} }$^[9] определяется как

${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t}){\frac {dt}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}}$

(обратите внимание, что это просто чередующийся ряд в приведенном выше определении ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}}$). Тогда у нас есть

${\displaystyle E_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad |\operatorname {Arg} (z)|<\pi }$

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\,=\,\gamma +\ln x-\operatorname {Ein} (-x)\qquad x>0}$

Связь с другими функциями

Уравнение Куммера

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0}$

обычно решается конфлюэнтные гипергеометрические функции ${\displaystyle M(a,b,z)}$ и ${\displaystyle U(a,b,z).}$ Но когда ${\displaystyle a=0}$ и ${\displaystyle b=1,}$ это,

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(1-z){\frac {dw}{dz}}=0}$

у нас есть

${\displaystyle M(0,1,z)=U(0,1,z)=1}$

для всех z. Второе решение тогда дается E₁(−z). По факту,

${\displaystyle E_{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}},\qquad 0<{\rm {Arg}}(z)<2\pi }$

с производной оценкой ${\displaystyle a=0.}$ Другая связь с конфлюэнтными гипергеометрическими функциями состоит в том, что E₁ является экспоненциальной функцией, умноженной на U(1,1,z):

${\displaystyle E_{1}(z)=e^{-z}U(1,1,z)}$

Экспоненциальный интеграл тесно связан с логарифмическая интегральная функция ли (Икс) по формуле

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{x})=\operatorname {Ei} (x)}$

для ненулевых реальных значений ${\displaystyle x}$.

Экспоненциальный интеграл также можно обобщить на

${\displaystyle E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt,}$

который можно записать как частный случай неполная гамма-функция:^[10]

${\displaystyle E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).}$

Обобщенную форму иногда называют функцией Мисры.^[11] ${\displaystyle \varphi _{m}(x)}$, определяется как

${\displaystyle \varphi _{m}(x)=E_{-m}(x).}$

Включение логарифма определяет обобщенную интегро-экспоненциальную функцию^[12]

${\displaystyle E_{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{1}^{\infty }(\log t)^{j}{\frac {e^{-zt}}{t^{s}}}\,dt.}$

Неопределенный интеграл:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (a\cdot b)=\iint e^{ab}\,da\,db}$

по форме похож на обычный производящая функция для ${\displaystyle d(n)}$, номер делители из ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }d(n)x^{n}=\sum \limits _{a=1}^{\infty }\sum \limits _{b=1}^{\infty }x^{ab}}$

Производные

Производные обобщенных функций ${\displaystyle E_{n}}$ можно рассчитать по формуле ^[13]

${\displaystyle E_{n}'(z)=-E_{n-1}(z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$

Обратите внимание, что функция ${\displaystyle E_{0}}$ легко оценить (что делает эту рекурсию полезной), поскольку она просто ${\displaystyle e^{-z}/z}$.^[14]

Экспоненциальный интеграл мнимого аргумента

${\displaystyle E_{1}(ix)}$ против ${\displaystyle x}$; реальная часть черная, мнимая часть красная.

Если ${\displaystyle z}$ является мнимым, у него есть неотрицательная действительная часть, поэтому мы можем использовать формулу

${\displaystyle E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt}$

чтобы установить связь с тригонометрические интегралы ${\displaystyle \operatorname {Si} }$ и ${\displaystyle \operatorname {Ci} }$:

${\displaystyle E_{1}(ix)=i\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x)\qquad (x>0)}$

Реальная и мнимая части ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(ix)}$ показаны на рисунке справа черной и красной кривыми.

Приближения

Существовал ряд приближений для экспоненциальной интегральной функции. Они включают:

• Приближение свами и охиджа^[15]

${\displaystyle E_{1}(x)=\left(A^{-7.7}+B\right)^{-0.13},}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\ln \left[\left({\frac {0.56146}{x}}+0.65\right)(1+x)\right]\\B&=x^{4}e^{7.7x}(2+x)^{3.7}\end{aligned}}}$

• Приближение Аллена и Гастингса ^[15][16]

${\displaystyle E_{1}(x)={\begin{cases}-\ln x+{\textbf {a}}^{T}{\textbf {x}}_{5},&x\leq 1\\{\frac {e^{-x}}{x}}{\frac {{\textbf {b}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}{{\textbf {c}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}},&x\geq 1\end{cases}}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {a}}&\triangleq [-0.57722,0.99999,-0.24991,0.05519,-0.00976,0.00108]^{T}\\{\textbf {b}}&\triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333]^{T}\\{\textbf {c}}&\triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]^{T}\\{\textbf {x}}_{k}&\triangleq [x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}]^{T}\end{aligned}}}$

• Расширение непрерывной фракции ^[16]

${\displaystyle E_{1}(x)={\cfrac {e^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\dots }}}}}}}}}}}}.}$

• Приближение Барри и другие. ^[17]

${\displaystyle E_{1}(x)={\frac {e^{-x}}{G+(1-G)e^{-{\frac {x}{1-G}}}}}\ln \left[1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}\right],}$

где:

${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}\\q&={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {\frac {31}{26}}}\\h_{\infty }&={\frac {(1-G)(G^{2}-6G+12)}{3G(2-G)^{2}b}}\\b&={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}}\\G&=e^{-\gamma }\end{aligned}}}$

с участием ${\displaystyle \gamma }$ будучи Константа Эйлера – Маскерони.

Приложения

• Зависит от времени теплопередача
• Неравновесие грунтовые воды течь в Это решение (называется хорошо функционировать)
• Перенос излучения в атмосфере звезды и планеты
• Уравнение радиальной диффузии для переходного или нестационарного потока с линейными источниками и стоками
• Решения нейтронный транспорт уравнение в упрощенных 1-D геометриях^[18]

Смотрите также

• Интеграл Гудвина – Стэтона
• Функции Бикли – Нейлора

Заметки

1. Абрамовиц и Стегун, стр. 228
2. Абрамовиц и Стегун, стр. 228, 5.1.1
3. Абрамовиц и Стегун, стр. 228, 5.1.4 с п = 1
4. Абрамовиц и Стегун, стр. 228, 5.1.7
5. Абрамовиц и Стегун, стр. 229, 5.1.11
6. Bleistein and Handelsman, p. 2
7. Bleistein and Handelsman, p. 3
8. Абрамовиц и Стегун, стр. 229, 5.1.20
9. Абрамовиц и Стегун, стр. 228, см. Сноску 3.
10. Абрамовиц и Стегун, стр. 230, 5.1.45
11. После Мисры (1940), стр. 178
12. Милгрэм (1985)
13. Абрамовиц и Стегун, стр. 230, 5.1.26
14. Абрамовиц и Стегун, стр. 229, 5.1.24
15. Цзяо, Фам Хай (01.05.2003). «Пересмотр аппроксимации функции скважины и простой метод сопоставления графических кривых для решения Theis». Грунтовые воды. 41 (3): 387–390. Дои:10.1111 / j.1745-6584.2003.tb02608.x. ISSN  1745-6584.
16. Цзэн, Пэн-Сян; Ли, Тянь-Чанг (1998-02-26). «Численное вычисление экспоненциального интеграла: приближение функции Яна». Журнал гидрологии. 205 (1–2): 38–51. Bibcode:1998JHyd..205 ... 38T. Дои:10.1016 / S0022-1694 (97) 00134-0.
17. Барри, Д. А; Парланж, Ж. -Й; Ли, Л. (2000-01-31). «Аппроксимация экспоненциального интеграла (функция Тейсвелла)». Журнал гидрологии. 227 (1–4): 287–291. Bibcode:2000JГид..227..287B. Дои:10.1016 / S0022-1694 (99) 00184-5.
18. Джордж I. Белл; Сэмюэл Гласстон (1970). Теория ядерного реактора. Компания Ван Ностранд Райнхольд.

использованная литература

• Абрамовиц, Милтон; Ирен Стегун (1964). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Абрамовиц и Стегун. Нью-Йорк: Дувр. ISBN  978-0-486-61272-0., Глава 5.
• Бендер, Карл М .; Стивен А. Орзаг (1978). Передовые математические методы для ученых и инженеров. Макгроу – Хилл. ISBN  978-0-07-004452-4.
• Блейстейн, Норман; Ричард А. Хандельсман (1986). Асимптотические разложения интегралов.. Дувр. ISBN  978-0-486-65082-1.
• Басбридж, Ида В. (1950). «Об интегро-экспоненциальной функции и вычислении некоторых интегралов с ее участием». Кварта. J. Math. (Оксфорд). 1 (1): 176–184. Bibcode:1950QJ Мат ... 1..176B. Дои:10.1093 / qmath / 1.1.176.
• Станкевич, А. (1968). «Таблицы интегро-экспоненциальных функций». Acta Astronomica. 18: 289. Bibcode:1968AcA .... 18..289S.
• Sharma, R. R .; Зохури, Бахман (1977). "Общий метод точного вычисления экспоненциальных интегралов E₁(x), x> 0 ". J. Comput. Phys. 25 (2): 199–204. Bibcode:1977JCoPh..25..199S. Дои:10.1016/0021-9991(77)90022-5.
• Кёльбиг, К. С. (1983). «Об интеграле exp (-μt)т^{ν − 1}журнал^мт dt". Математика. Вычислить. 41 (163): 171–182. Дои:10.1090 / S0025-5718-1983-0701632-1.
• Милгрэм, М. С. (1985). «Обобщенная интегро-экспоненциальная функция». Математика вычислений. 44 (170): 443–458. Дои:10.1090 / S0025-5718-1985-0777276-4. JSTOR  2007964. Г-Н  0777276.
• Мишра, Рама Дхар; Родился М. (1940). «Об устойчивости кристаллических решеток. II». Математические труды Кембриджского философского общества. 36 (2): 173. Bibcode:1940PCPS ... 36..173M. Дои:10.1017 / S030500410001714X.
• Chiccoli, C .; Lorenzutta, S .; Майно, Г. (1988). «Об вычислении обобщенных экспоненциальных интегралов E_ν(Икс)". J. Comput. Phys. 78 (2): 278–287. Bibcode:1988JCoPh..78..278C. Дои:10.1016/0021-9991(88)90050-2.
• Chiccoli, C .; Lorenzutta, S .; Майно, Г. (1990). «Недавние результаты для обобщенных экспоненциальных интегралов». Компьютерная математика. Приложение. 19 (5): 21–29. Дои:10.1016/0898-1221(90)90098-5.
• МакЛауд, Аллан Дж. (2002). «Эффективное вычисление некоторых обобщенных экспоненциальных интегралов». J. Comput. Appl. Математика. 148 (2): 363–374. Bibcode:2002JCoAm.138..363M. Дои:10.1016 / S0377-0427 (02) 00556-3.
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, BP (2007), «Раздел 6.3. Экспоненциальные интегралы», Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88068-8
• Темме, Н. М. (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусные интегралы», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, Г-Н  2723248

внешние ссылки

• «Интегральная экспоненциальная функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Документация NIST по обобщенному экспоненциальному интегралу
• Вайсштейн, Эрик В. «Экспоненциальный интеграл». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "En-Функция ". MathWorld.
• «Экспоненциальный интеграл Ei». Вольфрам Функции сайта.
• Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусные интегралы в DLMF.