Тригонометрический интеграл - Trigonometric integral

О простых интегралах от тригонометрических функций см. Список интегралов от тригонометрических функций.

Si (x) (синий) и Ci (x) (зеленый) нанесены на тот же график.

В математика, то тригонометрические интегралы площадь семья из интегралы с участием тригонометрические функции.

Интеграл синуса

Участок Si (Икс) за 0 ≤ Икс ≤ 8 π.

Разные синус интегральные определения

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle \operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.}$

Отметим, что подынтегральное выражение^{грех Икс}⁄ _Икс это функция sinc, а также нулевой сферическая функция Бесселя.С грех является четное вся функция (голоморфный по всей комплексной плоскости), Si является целым, нечетным, и интеграл в его определении можно брать вдоль любой путь подключение конечных точек.

По определению, Si (Икс) это первообразный из грех Икс / Икс значение которого равно нулю в Икс = 0, и си (Икс) первообразная, значение которой равно нулю при Икс = ∞. Их различие выражается Интеграл Дирихле,

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ or }}\quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.}$

В обработка сигналов, колебания синусоидального интеграла вызывают превышение и звенящие артефакты при использовании sinc фильтр, и частотная область звонка при использовании усеченного синк-фильтра в качестве фильтр нижних частот.

Связано это Феномен Гиббса: Если интеграл синуса рассматривается как свертка функции sinc с функция тяжелого шага, это соответствует усечению Ряд Фурье, что является причиной явления Гиббса.

Интеграл косинуса

Участок Ci (Икс) за 0 < Икс ≤ 8π .

Разные косинус интегральные определения

${\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\operatorname {d} t~,}$

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\operatorname {d} t=\gamma +\ln x-\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\operatorname {d} t\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}$

куда γ ≈ 0,57721566 ... это Константа Эйлера – Маскерони. В некоторых текстах используется ci вместо Ci.

Ci (Икс) является первообразной потому что Икс / Икс (который исчезает при ${\displaystyle x\to \infty }$). Эти два определения связаны следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x)~.}$

Cin является четное, вся функция. По этой причине в некоторых текстах говорится Cin в качестве основной функции, и получить Ci с точки зрения Cin.

Интеграл гиперболического синуса

В гиперболический синус интеграл определяется как

${\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,dt.}$

Он связан с обычным синусоидальным интегралом соотношением

${\displaystyle \operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).}$

Гиперболический косинус интеграл

В гиперболический косинус интеграл

${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\;\cosh t-1\;}{t}}\operatorname {d} t\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}$

куда ${\displaystyle \gamma }$ это Константа Эйлера – Маскерони.

Имеет расширение серии

${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).}$

Вспомогательные функции

Тригонометрические интегралы можно понимать в терминах так называемых «вспомогательных функций».

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}\mathrm {d} t&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t&=&\quad \operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)~,\qquad {\text{ and }}\\g(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}\mathrm {d} t&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t&=&-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)~.\end{array}}}$

Используя эти функции, тригонометрические интегралы могут быть переформулированы как (см. Abramowitz & Stegun, п. 232 )

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)=-\operatorname {si} (x)&=&f(x)\cos(x)+g(x)\sin(x)~,\qquad {\text{ and }}\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)~.\\\end{array}}}$

Спираль Нильсена

Спираль Нильсена.

В спираль формируется параметрическим графиком си, си известен как спираль Нильсена.

${\displaystyle x(t)=a\times \operatorname {ci} (t)}$
${\displaystyle y(t)=a\times \operatorname {si} (t)}$

Спираль тесно связана с Интегралы Френеля и Спираль Эйлера. Спираль Nielsen находит применение в машиностроении, строительстве дорог и путей и в других областях.^{[нужна цитата ]}

Расширение

В зависимости от диапазона аргумента для вычисления тригонометрических интегралов можно использовать различные разложения.

Асимптотический ряд (для большого аргумента)

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)\sim {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)}$

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)\sim {\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)~.}$

Эти серии асимптотический и расходящиеся, хотя могут использоваться для оценок и даже точной оценки при ℜ (Икс) ≫ 1.

Сходящийся ряд

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }$

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }$

Эти ряды сходятся на любом комплексе Икс, хотя для |Икс| ≫ 1, ряды сначала будут сходиться медленно, что потребует большого количества членов для высокой точности.

Вывод расширения серии

${\displaystyle \sin \,x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-{\frac {x^{11}}{11!}}+\,...}$(Расширение серии Маклорен)

${\displaystyle {\frac {\sin \,x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{9!}}-{\frac {x^{10}}{11!}}+\,...}$

${\displaystyle \therefore \int {\frac {\sin \,x}{x}}dx=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{9!\cdot 9}}-{\frac {x^{11}}{11!\cdot 11}}+\,...}$

Связь с экспоненциальным интегралом мнимого аргумента

Функция

$${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\Re (z)\geq 0}$$

называется экспоненциальный интеграл. Это тесно связано с Si и Ci,

$${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x)=i\operatorname {si} (x)-\operatorname {ci} (x)\qquad ~{\text{ for }}~x>0~.}$$

Поскольку каждая соответствующая функция является аналитической, за исключением отсечения при отрицательных значениях аргумента, область применимости отношения должна быть расширена до (За пределами этого диапазона дополнительные члены, которые являются целыми множителями π появляются в выражении.)

Случаи мнимого аргумента обобщенной интегро-экспоненциальной функции:

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\cos(ax){\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}}~,}$$

что является реальной частью

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x}}\,\operatorname {d} x=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi }{2}}i\left(\gamma +\ln a\right)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}~.}$$

по аналогии

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,\operatorname {d} x=1+ia\left[-{\frac {\;\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl (}\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.}$$

Эффективная оценка

Аппроксимации Паде сходящихся рядов Тейлора обеспечивают эффективный способ вычисления функций для малых аргументов. Следующие формулы, данные Rowe et al. (2015),^[1] точны до лучше чем 10⁻¹⁶ за 0 ≤ Икс ≤ 4,

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&\approx &x\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1-4.54393409816329991\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+1.15457225751016682\cdot 10^{-3}\cdot x^{4}-1.41018536821330254\cdot 10^{-5}\cdot x^{6}\\~~~+9.43280809438713025\cdot 10^{-8}\cdot x^{8}-3.53201978997168357\cdot 10^{-10}\cdot x^{10}+7.08240282274875911\cdot 10^{-13}\cdot x^{12}\\~~~-6.05338212010422477\cdot 10^{-16}\cdot x^{14}\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.01162145739225565\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+4.99175116169755106\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+1.55654986308745614\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+3.28067571055789734\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+4.5049097575386581\cdot 10^{-13}\cdot x^{10}+3.21107051193712168\cdot 10^{-16}\cdot x^{12}\end{array}}}\right)\\&~&\\\operatorname {Ci} (x)&\approx &\gamma +\ln(x)+\\&&x^{2}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}-0.25+7.51851524438898291\cdot 10^{-3}\cdot x^{2}-1.27528342240267686\cdot 10^{-4}\cdot x^{4}+1.05297363846239184\cdot 10^{-6}\cdot x^{6}\\~~~-4.68889508144848019\cdot 10^{-9}\cdot x^{8}+1.06480802891189243\cdot 10^{-11}\cdot x^{10}-9.93728488857585407\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.1592605689110735\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+6.72126800814254432\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+2.55533277086129636\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+6.97071295760958946\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+1.38536352772778619\cdot 10^{-12}\cdot x^{10}+1.89106054713059759\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\~~~+1.39759616731376855\cdot 10^{-18}\cdot x^{14}\\\end{array}}}\right)\end{array}}}$

Интегралы могут быть вычислены косвенно через вспомогательные функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$, которые определяются

$${\displaystyle \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)}$$		$${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)}$$
или эквивалентно
$${\displaystyle f(x)\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)+\operatorname {Ci} (x)\sin(x)}$$		$${\displaystyle g(x)\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)}$$

За ${\displaystyle x\geq 4}$ в Рациональные функции Паде приведенный ниже приблизительный ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ с погрешностью менее 10⁻¹⁶:^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\approx &{\dfrac {1}{x}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+7.44437068161936700618\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.96396372895146869801\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.37750310125431834034\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.43073403821274636888\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.33736238870432522765\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+6.40533830574022022911\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+4.20968180571076940208\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.00795182980368574617\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+4.94816688199951963482\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-4.94701168645415959931\cdot 10^{11}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+7.46437068161927678031\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.97865247031583951450\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.41535670165126845144\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.47478952192985464958\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.58595115847765779830\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+7.08501308149515401563\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+5.06084464593475076774\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.43468549171581016479\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+1.11535493509914254097\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\&&\\g(x)&\approx &{\dfrac {1}{x^{2}}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+8.1359520115168615\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.35239181626478200\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.12557570795778731\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.06297595146763354\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+6.83052205423625007\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.09049528450362786\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+7.57664583257834349\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.81004487464664575\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+6.43291613143049485\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-1.36517137670871689\cdot 10^{12}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+8.19595201151451564\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.40036752835578777\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.26026661647090822\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.23355543278099360\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+7.87465017341829930\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.39866710696414565\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+1.17164723371736605\cdot 10^{13}\cdot x^{-14}+4.01839087307656620\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+3.99653257887490811\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\\end{array}}}$

Смотрите также

• Логарифмический интеграл
• Функция Tanc
• Функция Tanhc
• Функция sinhc
• Функция Coshc

Рекомендации

1. Rowe, B .; и другие. (2015). «GALSIM: модульный набор инструментов для моделирования изображений галактики». Астрономия и вычисления. 10: 121. arXiv:1407.7676. Bibcode:2015A&C .... 10..121R. Дои:10.1016 / j.ascom.2015.02.002.

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 5". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 231. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.

дальнейшее чтение

• Mathar, R.J. (2009). «Численное вычисление осциллирующего интеграла по exp (яπИкс)·Икс^1/Икс от 1 до ∞ ". Приложение B. arXiv:0912.3844 [math.CA ].
• Press, W.H .; Теукольский, С.А .; Vetterling, W.T .; Фланнери, Б. (2007). «Раздел 6.8.2 - Интегралы косинуса и синуса». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8.
• Слаутер, Дэн. «Доказательство синусоидальной интегральной серии Тейлора» (PDF). Разностные уравнения к дифференциальным уравнениям.
• Темме, Н. М. (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусные интегралы», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248

внешняя ссылка

• http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
• «Интегральный синус», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «Интегральный косинус», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]