Sinc фильтр - Sinc filter

Нормализованный функция sinc, то импульсивный ответ фильтра sinc.

В прямоугольная функция, то частотный отклик фильтра sinc.

В обработка сигналов, а sinc фильтр идеализированный фильтр который удаляет все частотные компоненты выше заданного частота среза, не влияя на низкие частоты, и имеет линейная фаза отклик. Фильтр импульсивный ответ это функция sinc во временной области, и его частотный отклик это прямоугольная функция.

Это "идеал" фильтр нижних частот в частотном смысле, идеально передает низкие частоты, отлично режет высокие частоты; и поэтому может считаться кирпичный фильтр.

Фильтры реального времени могут только приблизиться к этому идеалу, поскольку идеальный фильтр sinc (также известный как фильтр sinc). прямоугольный фильтр) является не причинный и имеет бесконечную задержку, но она обычно встречается в концептуальных демонстрациях или доказательствах, таких как теорема выборки и Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона.

С математической точки зрения желаемая частотная характеристика - это прямоугольная функция:

{ displaystyle H (f) = mathrm {rect} left ({ frac {f} {2B}} right) = left {{ begin {array} {rl} 0, & { text { if}} | f |> B, { frac {1} {2}}, & { text {if}} | f | = B, 1, & { text {if}} | f |

куда ${ Displaystyle B ,}$ - произвольная частота среза (также известная как пропускная способность). Импульсная характеристика такого фильтра определяется обратное преобразование Фурье частотной характеристики:

{ displaystyle { begin {align} h (t) = { mathcal {F}} ^ {- 1} {H (f) } & = int _ {- B} ^ {B} exp ( 2 pi ift) , df & = 2B , mathrm {sinc} (2Bt) end {align}}}

куда грех нормализованный функция sinc.

Поскольку sinc-фильтр имеет бесконечную импульсную характеристику как в положительном, так и в отрицательном направлениях времени, он должен быть аппроксимирован для реальных (не абстрактных) приложений; а оконный Вместо него часто используется фильтр sinc. Создание окон и усечение sinc-фильтра ядро для того, чтобы использовать его на любом практическом наборе данных реального мира, снижает его идеальные свойства.

Кирпичные фильтры

Идеализированный электронный фильтр, тот, который имеет полное пропускание в полосе пропускания и полное затухание в полосе заграждения с резкими переходами, в просторечии известен как «фильтр кирпичной стены», в отношении формы функция передачи. Синк-фильтр - кирпичная стена фильтр нижних частот, из которых кирпичная стена полосовые фильтры и фильтры верхних частот легко строятся.

Фильтр нижних частот с кирпичной стенкой среза по частоте B_L имеет импульсную характеристику и передаточную функцию, определяемую:

{ displaystyle h_ {LPF} (t) = 2B_ {L} , mathrm {sinc} left (2B_ {L} t right)}

{ displaystyle H_ {LPF} (f) = mathrm {rect} left ({ frac {f} {2B_ {L}}} right).}

Полосовой фильтр с нижней кромкой полосы B_L и верхний край полосы B_ЧАС это просто разница двух таких sinc-фильтров (поскольку фильтры имеют нулевую фазу, их амплитудные характеристики вычитаются напрямую):^[1]

{ displaystyle h_ {BPF} (t) = 2B_ {H} , mathrm {sinc} left (2B_ {H} t right) -2B_ {L} , mathrm {sinc} left (2B_ { L} t right)}

{ displaystyle H_ {BPF} (f) = mathrm {rect} left ({ frac {f} {2B_ {H}}} right) - mathrm {rect} left ({ frac {f} {2B_ {L}}} справа).}

Фильтр высоких частот с нижней границей полосы B_ЧАС это просто прозрачный фильтр минус sinc-фильтр, что дает понять, что Дельта-функция Дирака это предел суженного по времени sinc-фильтра:

{ displaystyle h_ {HPF} (t) = delta (t) -2B_ {H} , mathrm {sinc} left (2B_ {H} t right)}

{ displaystyle H_ {HPF} (f) = 1- mathrm {rect} left ({ frac {f} {2B_ {H}}} right).}

Каменные фильтры, работающие в реальном времени, физически нереализуемы, так как они имеют бесконечную задержку (т.е. компактная опора в частотная область вынуждает его временную реакцию не иметь компактной опоры, что означает, что она вечна) и бесконечный порядок (т.е. отклик не может быть выражен как линейное дифференциальное уравнение с конечной суммой), но иногда используются приближенные реализации, которые часто называют каменными фильтрами.^{[нужна цитата ]}

Sinc в частотной области

Название «sinc-фильтр» применяется также к форме фильтра, которая имеет прямоугольную форму во времени и функцию sinc по частоте, в отличие от идеального синк-фильтра нижних частот, который имеет sinc по времени и прямоугольную форму по частоте. В случае путаницы можно называть их синк-частота и вовремя, в зависимости от домена, в котором находится фильтр.

Синхронизация по частоте CIC фильтры, среди многих других приложений, почти повсеместно используются для уничтожающий дельта-сигма АЦП, поскольку они просты в реализации и почти оптимальны для этого использования.^[2]

Самая простая реализация фильтра Sinc по частоте - это фильтр с групповым усреднением, также известный как фильтр накопления и сброса. Этот фильтр также выполняет снижение скорости передачи данных.

Функция пропускания фильтра усредняющего фильтра по 4 выборкам

Он собирает N выборок данных, накапливает их и выдает значение аккумулятора в качестве вывода. Таким образом, коэффициент прореживания этого фильтра равен N. Его можно смоделировать как КИХ-фильтр со всеми N равными коэффициентами, за которым следует N-кратный блок понижающей дискретизации. Простота фильтра, требующего только аккумулятора в качестве центрального блока обработки данных, составляет с сильными эффектами наложения спектров: фильтр N выборок накладывает псевдонимы на все ослабленные и незатухающие компоненты сигнала, лежащие выше ${ displaystyle { frac {f_ {S}} {2N}}}$ в основной полосе частот от 0 до ${ displaystyle { frac {f_ {S}} {2N}}}$ (f_S - входная частота дискретизации).

Функция передачи фильтра усредняющего фильтра по группе из 32 отсчетов

Фильтр группового усреднения, обрабатывающий N отсчетов, имеет N / 2 нулей передачи.
Рисунок «Функция передачи усредняющего фильтра по группе из 16 отсчетов» показывает, как функция передачи выглядит выше частоты Найквиста.

функция передачи усредняющего фильтра группы из 16 отсчетов, работающего на скорости входных данных 1 кГц, расширенная до 4-кратной частоты Найквиста

Стабильность

Синк-фильтр не bounded-input-bounded-output (BIBO) стабильный. То есть ограниченный ввод может давать неограниченный вывод, потому что интеграл абсолютного значения функции sinc бесконечен. Ограниченный ввод, который производит неограниченный вывод, - это sgn (sinc (т)). Другой - грех (2 $π$ Bt) u (т), синусоида, начинающаяся в момент времени 0 на частоте среза.

Смотрите также

внешняя ссылка

[1] Марк Оуэн (2007). Практическая обработка сигналов. Издательство Кембриджского университета. п. 81. ISBN 978-0-521-85478-8.

[2] Chou, W .; Meng, T.H .; Грей, Р. (1990). «Анализ сигма-дельта-модуляции во временной области». Акустика, речь и обработка сигналов. 3: 1751–1754. Дои:10.1109 / ICASSP.1990.115820.

[1]

[2]