Причинный фильтр - Causal filter

В обработка сигнала, а причинный фильтр это линейный и инвариантный во времени причинная система. Слово причинный указывает, что выход фильтра зависит только от прошлых и настоящих входов. А фильтр чей выход также зависит от будущих входов, не причинный, тогда как фильтр, выход которого зависит Только на будущие ресурсы антипричинный. Системы (включая фильтры), которые осуществимый (т.е. которые работают в реальное время ) должны быть причинными, потому что такие системы не могут воздействовать на будущие входные данные. По сути, это означает, что выходной образец наилучшим образом представляет входные данные в данный момент. ${\displaystyle t,}$ выходит чуть позже. Обычная практика проектирования для цифровые фильтры заключается в создании реализуемого фильтра путем сокращения и / или сдвига во времени беспричинной импульсной характеристики. Если сокращение необходимо, оно часто достигается как результат импульсной характеристики с оконная функция.

Примером антипричинного фильтра является максимальная фаза фильтр, который можно определить как стабильный, антипричинный фильтр, инверсия которого также является стабильной и антипричинной.

Каждый компонент вывода каузального фильтра начинается, когда начинается его стимул. Выходы непричинного фильтра начинаются до начала стимула.

пример

Следующее определение - это скользящее (или «скользящее») среднее входных данных. ${\displaystyle s(x)\,}$. Постоянный коэффициент 1/2 опущен для простоты:

${\displaystyle f(x)=\int _{x-1}^{x+1}s(\tau )\,d\tau \ =\int _{-1}^{+1}s(x+\tau )\,d\tau \,}$

где Икс может представлять пространственную координату, как при обработке изображений. Но если ${\displaystyle x\,}$ представляет время ${\displaystyle (t)\,}$, то определенная таким образом скользящая средняя равна не причинный (также называемый неосуществимый), потому что ${\displaystyle f(t)\,}$ зависит от будущих входов, таких как ${\displaystyle s(t+1)\,}$. Возможный выход

${\displaystyle f(t-1)=\int _{-2}^{0}s(t+\tau )\,d\tau =\int _{0}^{+2}s(t-\tau )\,d\tau \,}$

что является отложенной версией нереализуемого вывода.

Любой линейный фильтр (например, скользящее среднее) можно охарактеризовать функцией час(т) назвал его импульсивный ответ. Его вывод - это свертка

${\displaystyle f(t)=(h*s)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau .\,}$

Таким образом, причинно-следственная связь требует

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau }$

и общее равенство этих двух выражений требует час(т) = 0 для всех т < 0.

Характеристика причинных фильтров в частотной области

Позволять час(т) - причинный фильтр с соответствующим преобразованием Фурье ЧАС(ω). Определите функцию

${\displaystyle g(t)={h(t)+h^{*}(-t) \over 2}}$

который не является причинным. С другой стороны, грамм(т) является Эрмитский и, следовательно, его преобразование Фурье г(ω) вещественнозначна. Теперь имеем следующее соотношение

${\displaystyle h(t)=2\,\Theta (t)\cdot g(t)\,}$

где Θ (т) это Ступенчатая функция блока Хевисайда.

Это означает, что преобразования Фурье час(т) и грамм(т) связаны следующим образом

${\displaystyle H(\omega )=\left(\delta (\omega )-{i \over \pi \omega }\right)*G(\omega )=G(\omega )-i\cdot {\widehat {G}}(\omega )\,}$

где ${\displaystyle {\widehat {G}}(\omega )\,}$ это Преобразование Гильберта выполняется в частотной области (а не во временной). Знак ${\displaystyle {\widehat {G}}(\omega )\,}$ может зависеть от определения преобразования Фурье.

Принятие преобразования Гильберта в приведенном выше уравнении дает следующее соотношение между "H" и его преобразованием Гильберта:

${\displaystyle {\widehat {H}}(\omega )=iH(\omega )}$

Рекомендации

• Press, William H .; Teukolsky, Saul A .; Веттерлинг, Уильям Т .; Фланнери, Брайан П. (сентябрь 2007 г.), Числовые рецепты (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 767, ISBN  9780521880688
• Роуэлл (январь 2009 г.), Определение причинно-следственной связи системы по ее частотной характеристике (PDF), MIT OpenCourseWare