Причинная система - Causal system

В теория управления, а причинная система (также известный как физический или же непредвиденная система) это система где выход зависит от прошлых и текущих входов, но не от будущих входов, т. е. выход ${\displaystyle y(t_{0})}$ зависит только от ввода ${\displaystyle x(t)}$ для ценностей ${\displaystyle t\leq t_{0}}$.

Идея о том, что вывод функции в любое время зависит только от прошлых и текущих значений ввода, определяется свойством, обычно называемым причинность. Система, имеющая немного зависимость от входных значений из будущего (в дополнение к возможной зависимости от прошлых или текущих входных значений) называется непричинной или акаузальная система, и система, которая зависит исключительно на будущих входных значениях антикаузальная система. Обратите внимание, что некоторые авторы определили антикаузальную систему как систему, которая зависит исключительно от будущего. и представить входные значения или, проще говоря, как система, не зависящая от прошлых входных значений.

Классически природа или физическая реальность считалась причинной системой. С участием физики специальная теория относительности или же общая теория относительности требуют более тщательного определения причинности, как подробно описано в Причинность (физика).

Причинная связь систем также играет важную роль в цифровая обработка сигналов, куда фильтры построены так, что они являются причинными, иногда путем изменения непричинной формулировки, чтобы устранить отсутствие причинности и сделать ее реализуемой. Для получения дополнительной информации см. причинный фильтр.

Для причинной системы импульсивный ответ системы должны использовать только текущие и прошлые значения ввода для определения вывода. Это требование является необходимым и достаточным условием причинности системы независимо от линейности. Обратите внимание, что аналогичные правила применяются как к дискретным, так и к непрерывным случаям. Согласно этому определению, не требующему будущих входных значений, системы должны иметь возможность обрабатывать сигналы в реальном времени.^[1]

Математические определения

Определение 1. Системное отображение ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle y}$ причинно тогда и только тогда, когда для любой пары входных сигналов ${\displaystyle x_{1}(t)}$, ${\displaystyle x_{2}(t)}$ и любой выбор ${\displaystyle t_{0}}$, так что

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0},}$

соответствующие выходы удовлетворяют

${\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0}.}$

Определение 2: Предположим ${\displaystyle h(t)}$ это импульсный отклик любой системы ${\displaystyle H}$ описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Система ${\displaystyle H}$ причинно тогда и только тогда, когда

${\displaystyle h(t)=0,\quad \forall \ t<0}$

в противном случае это не причинно.

Примеры

Следующие примеры предназначены для систем с входом ${\displaystyle x}$ и вывод ${\displaystyle y}$.

Примеры причинных систем

• Система без памяти

${\displaystyle y\left(t\right)=1-x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)}$

• Авторегрессионный фильтр

${\displaystyle y\left(t\right)=\int _{0}^{\infty }x(t-\tau )e^{-\beta \tau }\,d\tau }$

Примеры непричинных (акаузальных) систем

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(t+\tau )x(\tau )\,d\tau }$

• Центральная скользящая средняя

${\displaystyle y_{n}={\frac {1}{2}}\,x_{n-1}+{\frac {1}{2}}\,x_{n+1}}$

Примеры антипричинных систем

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{\infty }x(t+\tau )\,d\tau }$

• Смотреть вперед

${\displaystyle y_{n}=x_{n+1}}$

Рекомендации

1. Макклеллан, Джеймс Н .; Шафер, Рональд У .; Йодер, Марк А. (2015). DSP Первое, второе издание. Pearson Education. п. 151. ISBN  978-0136019251.

• Оппенгейм, Алан В .; Вилски, Алан С .; Наваб, Хамид; с С. Хамидом (1998). Сигналы и системы. Pearson Education. ISBN  0-13-814757-4.