Дельта-функция Дирака - Dirac delta function

«Дельта-функция» перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Дельта-функция (значения).

Схематическое изображение дельта-функции Дирака линией, увенчанной стрелкой. Высота стрелки обычно предназначена для указания значения любой мультипликативной константы, которая дает площадь под функцией. Другое соглашение - писать область рядом со стрелкой.

Дельта-функция Дирака как предел (в смысле распределения ) последовательности нулевых центров нормальные распределения ${displaystyle delta _{a}(x)={frac {1}{left|aight|{sqrt {pi }}}}mathrm {e} ^{-(x/a)^{2}}}$ в качестве ${displaystyle aightarrow 0}$.

В математика, то Дельта-функция Дирака (δ функция) это обобщенная функция или же распределение введен физиком Поль Дирак. Он используется для моделирования плотности идеализированного точечная масса или же точечный заряд как функция равны нулю всюду, кроме нуля, и интеграл по всей действительной прямой равен единице.^[1][2][3] Поскольку не существует функции, обладающей такими свойствами, вычисления, сделанные физиками-теоретиками, казались математикам бессмысленными до тех пор, пока не были введены распределения Лоран Шварц формализовать и подтвердить вычисления. В качестве распределения дельта-функция Дирака представляет собой линейный функционал который отображает каждую функцию в ее нулевое значение.^[4][5] В Дельта Кронекера Функция, которая обычно определяется в дискретной области и принимает значения 0 и 1, является дискретным аналогом дельта-функции Дирака.

В машиностроении и обработка сигналов, дельта-функция, также известная как единичный импульс символ,^[6] можно рассматривать через его Преобразование Лапласа, как исходя из граничных значений комплексный аналитический функция комплексного переменного. Формальные правила, которым подчиняется эта функция, являются частью операционное исчисление, стандартный набор инструментов физики и инженерии. Во многих приложениях дельта Дирака рассматривается как своего рода предел ( слабый предел ) из последовательность функций, имеющих высокий пик в начале координат (в теории распределений это истинный предел). Таким образом, аппроксимирующие функции последовательности являются «приближенными» или «возникающими» дельта-функциями.

Мотивация и обзор

В график дельта-функции обычно рассматривается как Иксось и положительный у-ось.^[7]:174 Дельта Дирака используется для моделирования функции высокого узкого шипа ( импульс) и другие подобные абстракции например, точечный заряд, точечная масса или же электрон точка. Например, чтобы вычислить динамика из бильярдный шар будучи пораженным, можно приблизительно сила воздействия дельта-функцией. При этом можно не только упростить уравнения, но и вычислить движение шара, рассматривая только полный импульс столкновения без подробной модели всей передачи упругой энергии на субатомных уровнях (например).

Чтобы быть конкретным, предположим, что бильярдный шар покоится. Вовремя ${displaystyle t=0}$ по нему попадает другой мяч, и он наносит импульс п, в ${displaystyle { ext{kg m}}/{ ext{s}}}$. Обмен импульсом на самом деле не происходит мгновенно, он опосредуется упругими процессами на молекулярном и субатомном уровне, но для практических целей удобно рассматривать эту передачу энергии как фактически мгновенную. В сила поэтому ${displaystyle Pdelta (t)}$. (Единицы ${displaystyle delta (t)}$ находятся ${displaystyle s^{-1}}$.)

Чтобы смоделировать эту ситуацию более строго, предположим, что сила вместо этого равномерно распределена в течение небольшого промежутка времени. ${displaystyle Delta t}$. То есть,

${displaystyle F_{Delta t}(t)={egin{cases}P/Delta t&0<tleq Delta t,�&{ ext{otherwise}}.end{cases}}}$

Тогда импульс в любое время т находится путем интеграции:

${displaystyle p(t)=int _{0}^{t}F_{Delta t}( au ),d au ={egin{cases}P&t>Delta tPt/Delta t&0<tleq Delta t�&{ ext{otherwise.}}end{cases}}}$

Теперь модельная ситуация мгновенной передачи импульса требует принятия предела как ${displaystyle Delta t o 0}$, давая

${displaystyle p(t)={egin{cases}P&t>0�&tleq 0.end{cases}}}$

Здесь функции ${displaystyle F_{Delta t}}$ рассматриваются как полезные приближения к идее мгновенной передачи импульса.

Дельта-функция позволяет построить идеализированный предел этих приближений. К сожалению, реальный предел функций (в смысле поточечная сходимость ) ${displaystyle lim _{Delta t o 0}F_{Delta t}}$ равен нулю везде, кроме одной точки, где он бесконечен. Чтобы понять дельта-функцию, мы должны вместо этого настаивать на том, чтобы свойство

${displaystyle int _{-infty }^{infty }F_{Delta t}(t),dt=P,}$

что справедливо для всех ${displaystyle Delta t>0}$, следует продолжать удерживать лимит. Итак, в уравнении ${displaystyle F(t)=Pdelta (t)=lim _{Delta t o 0}F_{Delta t}(t)}$, подразумевается, что предел всегда берется вне интеграла.

В прикладной математике, как мы сделали здесь, дельта-функция часто используется как своего рода ограничение ( слабый предел ) из последовательность функций, каждый член которых имеет высокий шип в начале координат: например, последовательность Гауссовы распределения с центром в начале координат с отклонение стремится к нулю.

Несмотря на свое название, дельта-функция на самом деле не является функцией, по крайней мере, не обычной функцией с диапазоном в действительные числа. Например, объекты ж(Икс) = δ(Икс) и грамм(Икс) = 0 равны везде, кроме Икс = 0 но есть разные интегралы. В соответствии с Теория интеграции Лебега, если ж и грамм такие функции, что ж = грамм почти всюду, тогда ж интегрируемый если и только если грамм интегрируема и интегралы от ж и грамм идентичны. Строгий подход к рассмотрению дельта-функции Дирака как математический объект сам по себе требует теория меры или теория распределения.

История

Жозеф Фурье представил то, что сейчас называется Интегральная теорема Фурье в его трактате Теория аналитик де ла шалёр в виде:^[8]

${displaystyle f(x)={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty } dalpha ,f(alpha ) int _{-infty }^{infty }dp cos(px-palpha ) ,}$

что равносильно введению δ-функция в виде:^[9]

${displaystyle delta (x-alpha )={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty }dp cos(px-palpha ) .}$

Потом, Огюстен Коши выразил теорему с помощью экспонент:^[10][11]

${displaystyle f(x)={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty } e^{ipx}left(int _{-infty }^{infty }e^{-ipalpha }f(alpha ) dalpha ight) dp.}$

Коши указал, что в некоторых случаях порядок интеграции в этом результате значительна (контраст Теорема Фубини ).^[12][13]

Как оправдано использование теория распределений, уравнение Коши можно переформулировать так, чтобы оно напоминало исходную формулировку Фурье и раскрыло δ-функция как

${displaystyle {egin{aligned}f(x)&={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty }e^{ipx}left(int _{-infty }^{infty }e^{-ipalpha }f(alpha ) dalpha ight) dp[4pt]&={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty }left(int _{-infty }^{infty }e^{ipx}e^{-ipalpha } dpight)f(alpha ) dalpha =int _{-infty }^{infty }delta (x-alpha )f(alpha ) dalpha ,end{aligned}}}$

где δ-функция выражается как

${displaystyle delta (x-alpha )={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty }e^{ip(x-alpha )} dp .}$

Строгая интерпретация экспоненциальной формы и различных ограничений функции ж необходимые для его применения растянулись на несколько веков. Проблемы с классической интерпретацией объясняются следующим образом:^[14]

Самым большим недостатком классического преобразования Фурье является довольно узкий класс функций (оригиналов), для которых оно может быть эффективно вычислено. А именно необходимо, чтобы эти функции уменьшаться достаточно быстро к нулю (в окрестности бесконечности), чтобы обеспечить существование интеграла Фурье. Например, преобразования Фурье таких простых функций, как полиномы, не существует в классическом смысле. Распространение классического преобразования Фурье на распределения значительно расширило класс функций, которые можно было преобразовать, и это устранило многие препятствия.

Дальнейшие разработки включали обобщение интеграла Фурье », начиная с Планшереля Новаторская L²-теория (1910), продолжающаяся Винера и Бохнера произведений (около 1930 г.) и завершилось объединением в Л. Шварца теория распределения (1945) ...",^[15] и привело к формальному развитию дельта-функции Дирака.

An бесконечно малый формула для бесконечно высокой дельта-функции единичного импульса (бесконечно малая версия Распределение Коши ) явно фигурирует в тексте 1827 г. Огюстен Луи Коши.^[16] Симеон Дени Пуассон рассмотрел вопрос в связи с изучением распространения волн, как и Густав Кирхгоф несколько позже. Кирхгоф и Герман фон Гельмгольц также ввел единичный импульс как предел Гауссианы, что также соответствовало Лорд Кельвин Понятие точечного источника тепла. В конце 19 века Оливер Хевисайд использовал формальный Ряд Фурье манипулировать единичным импульсом.^[17] Дельта-функция Дирака как таковая была введена как "удобное обозначение" Поль Дирак в его влиятельной книге 1930 г. Принципы квантовой механики.^[18] Он назвал это «дельта-функцией», поскольку использовал ее как непрерывный аналог дискретной Дельта Кронекера.

Определения

Дельта Дирака можно условно представить как функцию на действительной прямой, которая равна нулю везде, кроме начала координат, где она бесконечна,

${displaystyle delta (x)={egin{cases}+infty ,&x=0�,&xeq 0end{cases}}}$

и который также должен удовлетворять тождеству

${displaystyle int _{-infty }^{infty }delta (x),dx=1.}$^[19]

Это просто эвристический характеристика. Дельта Дирака не является функцией в традиционном смысле, поскольку никакая функция, определенная на действительных числах, не имеет этих свойств.^[18] Дельта-функцию Дирака можно строго определить либо как распределение или как мера.

Как мера

Один из способов строго уловить понятие дельта-функции Дирака - определить мера, называется Мера Дирака, который принимает подмножество А реальной линии р в качестве аргумента и возвращает δ(А) = 1 если 0 ∈ А, и δ(А) = 0 иначе.^[20] Если дельта-функция концептуализирована как моделирование идеализированной точечной массы в 0, то δ(А) представляет собой массу, содержащуюся в множестве А. Тогда можно определить интеграл относительно δ как интеграл функции от этого массового распределения. Формально Интеграл Лебега предоставляет необходимое аналитическое устройство. Интеграл Лебега по мере δ удовлетворяет

${displaystyle int _{-infty }^{infty }f(x),delta {dx}=f(0)}$

для всех непрерывных функций с компактным носителем ж. Мера δ не является абсолютно непрерывный с уважением к Мера Лебега - по сути, это особая мера. Следовательно, дельта-мера не имеет Производная Радона – Никодима (по мере Лебега) - нет истинной функции, для которой свойство

${displaystyle int _{-infty }^{infty }f(x)delta (x),dx=f(0)}$

держит.^[21] В результате последнее обозначение удобно. злоупотребление обозначениями, а не стандарт (Риман или же Лебег ) интеграл.

Как вероятностная мера на р, дельта-мера характеризуется кумулятивная функция распределения, какой функция шага единицы^[22]

${displaystyle H(x)={egin{cases}1&{ ext{if }}xgeq 0�&{ ext{if }}x<0.end{cases}}}$

Это означает, что ЧАС(Икс) является интегралом кумулятивного индикаторная функция 1_{(−∞, Икс]} по мере δ; остроумие,

${displaystyle H(x)=int _{mathbf {R} }mathbf {1} _{(-infty ,x]}(t),delta {dt}=delta (-infty ,x],}$

последний является мерой этого интервала; более формально, ${displaystyle delta {ig (}(-infty ,x]{ig )}.}$Таким образом, в частности, интеграл дельта-функции от непрерывной функции можно правильно понимать как Интеграл Римана – Стилтьеса.:^[23]

${displaystyle int _{-infty }^{infty }f(x)delta {dx}=int _{-infty }^{infty }f(x),dH(x).}$

Все выше моменты из δ равны нулю. Особенно, характеристическая функция и функция, производящая момент оба равны одному.

Как распространение

В теории распределения, обобщенная функция считается не функцией сама по себе, а только в отношении того, как она влияет на другие функции, когда "интегрирована" против них.^[24]:41 В соответствии с этой философией, чтобы правильно определить дельта-функцию, достаточно сказать, какой «интеграл» дельта-функции соответствует достаточно «хорошему». функция тестирования φ. Тестовые функции также известны как функции удара. Если дельта-функция уже понимается как мера, то интеграл Лебега тестовой функции по этой мере дает необходимый интеграл.

Типичное пространство тестовых функций состоит из всех гладкие функции на р с компактная опора которые имеют столько производных, сколько требуется. В качестве распределения дельта Дирака представляет собой линейный функционал на пространстве тестовых функций и определяется^[25]

${displaystyle delta [varphi ]=varphi (0)}$

(1)

для каждой тестовой функции ${displaystyle varphi }$.

За δ чтобы быть собственно распределением, оно должно быть непрерывным в подходящей топологии на пространстве тестовых функций. В общем случае для линейного функционала S на пространстве пробных функций для определения распределения необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного целого числа N есть целое число M_N и постоянный C_N так что для каждой тестовой функции φ, выполняется неравенство^[26]

${displaystyle |S[varphi ]|leq C_{N}sum _{k=0}^{M_{N}}sup _{xin [-N,N]}|varphi ^{(k)}(x)|.}$

С δ распределения имеет место такое неравенство (с C_N = 1) с M_N = 0 для всех N. Таким образом δ является распределением нулевого порядка. Более того, это дистрибутив с компактной поддержкой ( поддерживать будучи {0}).

Дельта-распределение также можно определить несколькими эквивалентными способами. Например, это производная по распределению из Ступенчатая функция Хевисайда. Это означает, что для каждой тестовой функции φ, надо

${displaystyle delta [varphi ]=-int _{-infty }^{infty }varphi '(x)H(x),dx.}$

Интуитивно, если интеграция по частям были разрешены, то последний интеграл должен упроститься до

${displaystyle int _{-infty }^{infty }varphi (x)H'(x),dx=int _{-infty }^{infty }varphi (x)delta (x),dx,}$

и действительно, для интеграла Стилтьеса разрешена форма интегрирования по частям, и в этом случае

${displaystyle -int _{-infty }^{infty }varphi '(x)H(x),dx=int _{-infty }^{infty }varphi (x),dH(x).}$

В контексте теории меры мера Дирака порождает распределение путем интегрирования. Наоборот, уравнение (1) определяет Даниэль интеграл на пространстве всех непрерывных функций с компактным носителем φ который, по Теорема Рисса о представлении, можно представить как интеграл Лебега от φ в отношении некоторых Радоновая мера.

Обычно, когда термин "Дельта-функция Дирака"используется скорее в смысле распределений, чем мер, Мера Дирака являясь одним из нескольких терминов для соответствующего понятия в теории меры. В некоторых источниках также может использоваться термин Распределение дельты Дирака.

Обобщения

Дельта-функцию можно определить в п-размерный Евклидово пространство р^п как мера такая, что

${displaystyle int _{mathbf {R} ^{n}}f(mathbf {x} )delta {dmathbf {x} }=f(mathbf {0} )}$

для каждой непрерывной функции с компактным носителем ж. В качестве меры п-мерной дельта-функцией является мера продукта одномерных дельта-функций по каждой переменной отдельно. Таким образом, формально с Икс = (Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п), надо^[6]

${displaystyle delta (mathbf {x} )=delta (x_{1})delta (x_{2})cdots delta (x_{n}).}$

(2)

Дельта-функция также может быть определена в смысле распределений точно так же, как выше в одномерном случае.^[27] Однако, несмотря на широкое использование в инженерном контексте, (2) следует обращаться с осторожностью, поскольку продукт распределений может быть определен только в довольно узких обстоятельствах.^[28]

Понятие о Мера Дирака имеет смысл на любом наборе.^[20] Таким образом, если Икс это набор, Икс₀ ∈ Икс - отмеченная точка, Σ - любая сигма-алгебра подмножеств Икс, то мера, определенная на множествах А ∈ Σ к

${displaystyle delta _{x_{0}}(A)={egin{cases}1&{ ext{if }}x_{0}in A�&{ ext{if }}x_{0}otin Aend{cases}}}$

это дельта-мера или единица массы, сосредоточенная в Икс₀.

Другое распространенное обобщение дельта-функции - это дифференцируемое многообразие где большинство его свойств как распределения также могут быть использованы из-за дифференцируемая структура. Дельта-функция на многообразии M с центром в точке Икс₀ ∈ M определяется как следующее распределение:

${displaystyle delta _{x_{0}}[varphi ]=varphi (x_{0})}$

(3)

для всех гладких вещественнозначных функций с компактным носителем φ на M.^[29] Частным частным случаем этой конструкции является тот, в котором M является открытый набор в евклидовом пространстве р^п.

На локально компактное хаусдорфово пространство Икс, дельта-мера Дирака, сосредоточенная в точке Икс это Радоновая мера связанный с интегралом Даниэля (3) на непрерывных функциях с компактным носителем φ.^[30] На этом уровне обобщения исчисление как таковое больше невозможно, однако доступны различные методы абстрактного анализа. Например, отображение ${displaystyle x_{0}mapsto delta _{x_{0}}}$ является непрерывным вложением Икс в пространство конечных радоновских мер на Икс, оборудованный своим нечеткая топология. Более того, выпуклый корпус изображения Икс под этим вложением находится плотный в пространстве вероятностных мер на Икс.^[31]

Характеристики

Масштабирование и симметрия

Дельта-функция удовлетворяет следующему свойству масштабирования для ненулевого скаляра α:^[32]

${displaystyle int _{-infty }^{infty }delta (alpha x),dx=int _{-infty }^{infty }delta (u),{frac {du}{|alpha |}}={frac {1}{|alpha |}}}$

и так

${displaystyle delta (alpha x)={frac {delta (x)}{|alpha |}}.}$

(4)

Доказательство:

${displaystyle delta (alpha x)=lim _{a o 0}{frac {1}{|a|{sqrt {pi }}}}e^{-(alpha x/a)^{2}}qquad { ext{since }}a{ ext{ is a dummy variable, we set }}a=alpha b}$

${displaystyle =lim _{b o 0}{frac {1}{|alpha b|{sqrt {pi }}}}e^{-(alpha x/(alpha b))^{2}}}$

${displaystyle =lim _{b o 0}{frac {1}{|alpha |}}{frac {1}{|b|{sqrt {pi }}}}e^{-(x/b)^{2}}={frac {1}{|alpha |}}delta (x)}$

В частности, дельта-функция - это четное распределение в том смысле, что

${displaystyle delta (-x)=delta (x)}$

который однородный степени −1.

Алгебраические свойства

В дистрибьюторский продукт из δ с Икс равно нулю:

${displaystyle xdelta (x)=0.}$

Наоборот, если xf(Икс) = xg(Икс), куда ж и грамм являются распределениями, то

${displaystyle f(x)=g(x)+cdelta (x)}$

для некоторой постоянной c.^[33]

Перевод

Интеграл от запаздывающей дельты Дирака равен^[34]:276

${displaystyle int _{-infty }^{infty }f(t)delta (t-T),dt=f(T).}$

Иногда это называют просеивание собственности^[35] или свойство выборки.^[36]:15 Говорят, что дельта-функция «отсеивает» значение в т = Т.^[37]:40

Отсюда следует, что эффект свертывание функция ж(т) с запаздывающей дельтой Дирака ${displaystyle delta _{T}(t)=delta (t-T)}$задерживает ж(т) на такую ​​же сумму:

${displaystyle (f*delta _{T})(t)}$	${displaystyle {stackrel {mathrm {def} }{=}} int _{-infty }^{infty }f( au )delta (t-T- au ),d au }$
	${displaystyle =int limits _{-infty }^{infty }f( au )delta ( au -(t-T)),d au }$ (с помощью (4): ${displaystyle delta (-x)=delta (x)}$)
	${displaystyle =f(t-T).}$

Это выполняется при точном условии, что ж быть умеренное распределение (см. обсуждение преобразования Фурье ниже ). В качестве частного случая, например, у нас есть тождество (понимаемое в смысле распределения)

${displaystyle int _{-infty }^{infty }delta (xi -x)delta (x-eta ),dx=delta (eta -xi ).}$

Композиция с функцией

В более общем смысле, дельта-распределение может быть составлен с гладкой функцией грамм(Икс) таким образом, что выполняется знакомая формула замены переменных, что

${displaystyle int _{mathbf {R} }delta {igl (}g(x){igr )}f{igl (}g(x){igr )}|g'(x)|,dx=int _{g(mathbf {R} )}delta (u)f(u),du}$

при условии, что грамм это непрерывно дифференцируемый функционировать с граммНигде ноль.^[38] То есть существует уникальный способ придать значение распределению ${displaystyle delta circ g}$ так что это тождество выполняется для всех тестовых функций с компактным носителем ж. Следовательно, домен необходимо разбить, чтобы исключить грамм′ = 0 баллов. Это распределение удовлетворяет δ(грамм(Икс)) = 0 если грамм нигде не равен нулю, иначе, если грамм имеет настоящий корень в Икс₀, тогда

${displaystyle delta (g(x))={frac {delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$

Поэтому естественно определять сочинение δ(грамм(Икс)) для непрерывно дифференцируемых функций грамм к

${displaystyle delta (g(x))=sum _{i}{frac {delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$

где сумма распространяется по всем корням грамм(Икс), которые считаются равными просто.^[38] Так, например,

${displaystyle delta left(x^{2}-alpha ^{2}ight)={frac {1}{2|alpha |}}{Big [}delta left(x+alpha ight)+delta left(x-alpha ight){Big ]}.}$

В интегральной форме свойство обобщенного масштабирования можно записать как

${displaystyle int _{-infty }^{infty }f(x),delta (g(x)),dx=sum _{i}{frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}$

Недвижимость в п размеры

Дельта-распределение в п-мерное пространство вместо этого удовлетворяет следующему свойству масштабирования:

${displaystyle delta (alpha mathbf {x} )=|alpha |^{-n}delta (mathbf {x} )~,}$

так что δ это однородный распределение степени -п.

Ни при каких отражение или же вращение ρ дельта-функция инвариантна,

${displaystyle delta (ho mathbf {x} )=delta (mathbf {x} )~.}$

Как и в случае с одной переменной, можно определить состав δ с билипшицева функция^[39] грамм: р^п → р^п однозначно так, чтобы личность

${displaystyle int _{mathbf {R} ^{n}}delta (g(mathbf {x} )),f(g(mathbf {x} ))left|det g'(mathbf {x} )ight|,dmathbf {x} =int _{g(mathbf {R} ^{n})}delta (mathbf {u} )f(mathbf {u} ),dmathbf {u} }$

для всех функций с компактной поддержкой ж.

С использованием формула coarea из геометрическая теория меры, можно также определить композицию дельта-функции с помощью погружение из одного евклидова пространства в другое другого измерения; результат - это своего рода Текущий. В частном случае непрерывно дифференцируемой функции грамм: р^п → р так что градиент из грамм нигде не равна нулю, выполняется тождество^[40]

${displaystyle int _{mathbf {R} ^{n}}f(mathbf {x} ),delta (g(mathbf {x} )),dmathbf {x} =int _{g^{-1}(0)}{frac {f(mathbf {x} )}{|mathbf {abla } g|}},dsigma (mathbf {x} )}$

где интеграл справа закончился грамм⁻¹(0), (п − 1)-мерная поверхность, определяемая грамм(Икс) = 0 с уважением к Минковский контент мера. Это известно как простой слой интеграл.

В более общем смысле, если S является гладкой гиперповерхностью р^п, то мы можем сопоставить S распределение, которое интегрирует любую гладкую функцию с компактным носителем грамм над S:

${displaystyle delta _{S}[g]=int _{S}g(mathbf {s} ),dsigma (mathbf {s} )}$

где σ - гиперповерхностная мера, связанная с S. Это обобщение связано с теория потенциала из потенциалы простых слоев на S. Если D это домен в р^п с гладкой границей S, тогда δ_S равно нормальная производная из индикаторная функция из D в смысле распределения,

${displaystyle -int _{mathbf {R} ^{n}}g(mathbf {x} ),{frac {partial 1_{D}(mathbf {x} )}{partial n}};dmathbf {x} =int _{S},g(mathbf {s} );dsigma (mathbf {s} ),}$

куда п это внешнее нормально.^[41][42] Для доказательства см., Например, статья о поверхностная дельта-функция.

преобразование Фурье

Дельта-функция - это умеренное распределение, и поэтому он имеет четко определенную преобразование Фурье. Формально можно найти^[43]

${displaystyle {widehat {delta }}(xi )=int _{-infty }^{infty }e^{-2pi ixxi }delta (x),dx=1.}$

Собственно говоря, преобразование Фурье распределения определяется наложением самосопряженность преобразования Фурье при спаривании двойственности ${displaystyle langle cdot ,cdot angle }$ умеренных распределений с Функции Шварца. Таким образом ${displaystyle {widehat {delta }}}$ определяется как единственное умеренное распределение, удовлетворяющее

${displaystyle langle {widehat {delta }},varphi angle =langle delta ,{widehat {varphi }}angle }$

для всех функций Шварца ${displaystyle varphi }$. И действительно, из этого следует, что ${displaystyle {widehat {delta }}=1.}$

В результате этой идентичности свертка дельта-функции с любым другим умеренным распределением S просто S:

${displaystyle S*delta =S.}$

То есть сказать, что δ является элемент идентичности для свертки на умеренных распределениях, и на самом деле пространство распределений с компактным носителем при свертке является ассоциативная алгебра с тождеством дельта-функции. Это свойство является фундаментальным в обработка сигналов, поскольку свертка с умеренным распределением линейная инвариантная во времени система, и, применяя линейную инвариантную во времени систему, измеряет ее импульсивный ответ. Импульсный отклик можно вычислить с любой желаемой степенью точности, выбрав подходящее приближение для δ, и как только он известен, он полностью характеризует систему. Видеть Теория систем LTI § Импульсная характеристика и свертка.

Обратное преобразование Фурье умеренного распределения ж(ξ) = 1 - дельта-функция. Формально это выражается

${displaystyle int _{-infty }^{infty }1cdot e^{2pi ixxi },dxi =delta (x)}$

и более строго, так как

${displaystyle langle 1,{widehat {f}}angle =f(0)=langle delta ,fangle }$

для всех функций Шварца ж.

В этих терминах дельта-функция дает наводящее на размышления утверждение свойства ортогональности ядра Фурье на р. Формально

${displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{i2pi xi _{1}t}left[e^{i2pi xi _{2}t}ight]^{*},dt=int _{-infty }^{infty }e^{-i2pi (xi _{2}-xi _{1})t},dt=delta (xi _{2}-xi _{1}).}$

Это, конечно, сокращение от утверждения, что преобразование Фурье умеренного распределения

${displaystyle f(t)=e^{i2pi xi _{1}t}}$

является

${displaystyle {widehat {f}}(xi _{2})=delta (xi _{1}-xi _{2})}$

что снова следует из наложения самосопряженности преобразования Фурье.

К аналитическое продолжение преобразования Фурье, Преобразование Лапласа дельта-функции оказывается равной^[44]

${displaystyle int _{0}^{infty }delta (t-a)e^{-st},dt=e^{-sa}.}$

Деривативы распределения

Производная по распределению дельта-распределения Дирака - это распределение δ′ На гладких пробных функциях с компактным носителем φ к^[45]

${displaystyle delta '[varphi ]=-delta [varphi ']=-varphi '(0).}$

Первое равенство здесь представляет собой своего рода интегрирование по частям, так как если δ были истинной функцией тогда

${displaystyle int _{-infty }^{infty }delta '(x)varphi (x),dx=-int _{-infty }^{infty }delta (x)varphi '(x),dx.}$

В k-я производная от δ определяется аналогично распределению, заданному для тестовых функций формулой

${displaystyle delta ^{(k)}[varphi ]=(-1)^{k}varphi ^{(k)}(0).}$

Особенно, δ является бесконечно дифференцируемым распределением.

Первая производная дельта-функции - это предел распределения разностных коэффициентов:^[46]

${displaystyle delta '(x)=lim _{h o 0}{frac {delta (x+h)-delta (x)}{h}}.}$

Точнее, есть

${displaystyle delta '=lim _{h o 0}{frac {1}{h}}( au _{h}delta -delta )}$

где τ_час - оператор трансляции, определенный на функциях τ_часφ(Икс) = φ(Икс + час), а по раздаче S к

${displaystyle ( au _{h}S)[varphi ]=S[ au _{-h}varphi ].}$

В теории электромагнетизм, первая производная дельта-функции представляет собой точечный магнитный диполь расположен в начале координат. Соответственно, его называют диполем или функция дублета.^[47]

Производная дельта-функции удовлетворяет ряду основных свойств, включая:

${displaystyle {egin{aligned}&{frac {d}{dx}}delta (-x)={frac {d}{dx}}delta (x)[8pt]&delta '(-x)=-delta '(x)[8pt]&xdelta '(x)=-delta (x).end{aligned}}}$^[48]

Последнее из этих свойств можно легко продемонстрировать, применив определение распределительной производной, теорему Либница и линейность внутреннего продукта:

${ extstyle langle xdelta ',varphi angle ,=,langle delta ',xvarphi angle ,=,-langle delta ,(xvarphi )'angle ,=,-langle delta ,x'varphi +xvarphi 'angle ,=,-langle delta ,x'varphi angle -langle delta ,xvarphi 'angle ,=,-x'(0)varphi (0)-x(0)varphi '(0)}$ ${ extstyle =,-x'(0)langle delta ,varphi angle -x(0)langle delta ,varphi 'angle ,=,-x'(0)langle delta ,varphi angle +x(0)langle delta ',varphi angle ,=,langle x(0)delta '-x'(0)delta ,varphi angle }$${ extstyle Longrightarrow x(t)delta '(t)=x(0)delta '(t)-x'(0)delta (t)=-x'(0)delta (t)=-delta (t)}$^[49]

Кроме того, свертка δ′ С гладкой функцией с компактным носителем ж является

${displaystyle delta '*f=delta *f'=f',}$

которое следует из свойств распределительной производной свертки.

Высшие измерения

В общем, на открытый набор U в п-размерный Евклидово пространство р^п, дельта-распределение Дирака с центром в точке а ∈ U определяется^[50]

${displaystyle delta _{a}[varphi ]=varphi (a)}$

для всех φ ∈ S(U), пространство всех гладких функций с компактным носителем на U. Если α = (α₁, ..., α_п) есть ли мультииндекс и ∂^α обозначает ассоциированный смешанный частная производная оператор, затем α-я производная ∂^αδ_а из δ_а дан кем-то^[50]

${displaystyle leftlangle partial ^{alpha }delta _{a},varphi ightangle =(-1)^{|alpha |}leftlangle delta _{a},partial ^{alpha }varphi ightangle =(-1)^{|alpha |}partial ^{alpha }varphi (x){Big |}_{x=a}{ ext{ for all }}varphi in S(U).}$

Это α-я производная от δ_а - это распределение, значение которого на любой тестовой функции φ это α-я производная от φ в а (с соответствующим положительным или отрицательным знаком).

Первые частные производные дельта-функции считаются двойные слои по координатным плоскостям. В более общем плане нормальная производная простого слоя, поддерживаемого на поверхности, представляет собой двойной слой, поддерживаемый на этой поверхности, и представляет собой ламинарный магнитный монополь. Высшие производные дельта-функции известны в физике как многополюсники.

Высшие производные естественным образом входят в математику как строительные блоки для полной структуры распределений с точечной опорой. Если S есть ли какое-либо распространение на U поддерживается на съемочной площадке {а} состоящий из одной точки, то существует целое число м и коэффициенты c_α такой, что^[51]

${displaystyle S=sum _{|alpha |leq m}c_{alpha }partial ^{alpha }delta _{a}.}$

Представления дельта-функции

Дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций

${displaystyle delta (x)=lim _{varepsilon o 0^{+}}eta _{varepsilon }(x),}$

куда η_ε(Икс) иногда называют зарождающаяся дельта-функция. Этот предел подразумевается в слабом смысле: либо то, что

${displaystyle lim _{varepsilon o 0^{+}}int _{-infty }^{infty }eta _{varepsilon }(x)f(x),dx=f(0)}$

(5)

для всех непрерывный функции ж имея компактная опора, или что этот предел выполняется для всех гладкий функции ж с компактной опорой. Разница между этими двумя немного разными способами слабой конвергенции часто неуловима: первый - это конвергенция в нечеткая топология мер, а последняя - сходимость в смысле распределения.

Приближения к идентичности

Обычно зарождающаяся дельта-функция η_ε можно построить следующим образом. Позволять η - абсолютно интегрируемая функция на р полного интеграла 1, и определим

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)=varepsilon ^{-1}eta left({frac {x}{varepsilon }}ight).}$

В п размеров, вместо этого используется масштабирование

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)=varepsilon ^{-n}eta left({frac {x}{varepsilon }}ight).}$

Тогда простая замена переменных показывает, что η_ε также имеет интеграл 1. Можно показать, что (5) выполняется для всех непрерывных функций с компактным носителем ж,^[52] и так η_ε слабо сходится к δ в смысле меры.

В η_ε построенные таким образом, известны как приближение к тождеству.^[53] Эта терминология связана с тем, что пространство L¹(р) абсолютно интегрируемых функций замкнуто относительно действия свертка функций: ж ∗ грамм ∈ L¹(р) в любое время ж и грамм находятся в L¹(р). Однако идентичности нет в L¹(р) для продукта свертки: без элемента час такой, что ж ∗ час = ж для всех ж. Тем не менее последовательность η_ε аппроксимирует такое тождество в том смысле, что

${displaystyle f*eta _{varepsilon } o fquad { ext{as }}varepsilon o 0.}$

Этот предел выполняется в смысле средняя конвергенция (схождение в L¹). Дополнительные условия на η_ε, например, что это успокаивающее средство, связанное с функцией с компактным носителем,^[54] необходимы для обеспечения поточечной сходимости почти всюду.

Если начальный η = η₁ сама по себе гладкая и с компактным носителем, то последовательность называется успокаивающее средство. Стандартный успокаивающий эффект получается при выборе η быть подходящим образом нормализованным функция удара, например

${displaystyle eta (x)={egin{cases}e^{-{frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{ ext{if }}|x|<1�&{ ext{if }}|x|geq 1.end{cases}}}$

В некоторых ситуациях, например числовой анализ, а кусочно-линейный приближение к идентичности желательно. Это можно получить, взяв η₁ быть функция шляпы. При таком выборе η₁, надо

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)=varepsilon ^{-1}max left(1-left|{frac {x}{varepsilon }}ight|,0ight)}$

которые все сплошные и компактно поддерживаются, хотя и не гладкие и, следовательно, не успокаивают.

Вероятностные соображения

В контексте теория вероятности, естественно наложить дополнительное условие, что начальный η₁ в приближении к идентичности должна быть положительной, поскольку такая функция тогда представляет собой распределение вероятностей. Свертка с распределением вероятностей иногда бывает благоприятной, потому что она не приводит к превышение или недолет, так как на выходе выпуклое сочетание входных значений и, таким образом, находится между максимумом и минимумом входной функции. Принимая η₁ быть любым распределением вероятностей, и позволяя η_ε(Икс) = η₁(Икс/ε)/ε как указано выше, приведет к приближению к идентичности. В общем, эта функция быстрее сходится к дельта-функции, если, кроме того, η имеет среднее значение 0 и небольшие высшие моменты. Например, если η₁ это равномерное распределение на [−1/2, 1/2], также известный как прямоугольная функция, тогда:^[55]

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)={frac {1}{varepsilon }}operatorname {rect} left({frac {x}{varepsilon }}ight)={egin{cases}{frac {1}{varepsilon }},&-{frac {varepsilon }{2}}<x<{frac {varepsilon }{2}}�,&{ ext{otherwise}}.end{cases}}}$

Другой пример - с Распределение полукруга Вигнера

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)={egin{cases}{frac {2}{pi varepsilon ^{2}}}{sqrt {varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-varepsilon <x<varepsilon �,&{ ext{otherwise}}end{cases}}}$

Он непрерывный и компактно закреплен, но не успокаивает, потому что он негладкий.

Полугруппы

Возникающие дельта-функции часто возникают как свертка полугруппы.^[56]:748 Это составляет дополнительное ограничение, заключающееся в том, что свертка η_ε с η_δ должен удовлетворить

${displaystyle eta _{varepsilon }*eta _{delta }=eta _{varepsilon +delta }}$

для всех ε, δ > 0. Полугруппы свертки в L¹ которые образуют зарождающуюся дельта-функцию, всегда являются приближением к идентичности в указанном выше смысле, однако условие полугруппы является довольно сильным ограничением.

На практике полугруппы, аппроксимирующие дельта-функцию, возникают как фундаментальные решения или же Функции Грина к физически мотивированным эллиптический или же параболический уравнения в частных производных. В контексте Прикладная математика, полугруппы возникают как результат линейная инвариантная во времени система. Абстрактно, если А - линейный оператор, действующий на функции Икс, то свёрточная полугруппа возникает при решении проблема начального значения

${displaystyle {egin{cases}{dfrac {partial }{partial t}}eta (t,x)=Aeta (t,x),quad t>0[5pt]displaystyle lim _{t o 0^{+}}eta (t,x)=delta (x)end{cases}}}$

в котором предел, как обычно, понимается в слабом смысле. Параметр η_ε(Икс) = η(ε, Икс) дает связанную возникающую дельта-функцию.

Некоторые примеры физически важных полугрупп свертки, возникающих из такого фундаментального решения, включают следующее.

Тепловое ядро

В тепловое ядро, определяется

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)={frac {1}{sqrt {2pi varepsilon }}}mathrm {e} ^{-{frac {x^{2}}{2varepsilon }}}}$

представляет температуру в бесконечном проводе во время т > 0, если единица тепловой энергии хранится в начале провода в момент времени т = 0. Эта полугруппа эволюционирует согласно одномерному уравнение теплопроводности:

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}}={frac {1}{2}}{frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}.}$

В теория вероятности, η_ε(Икс) это нормальное распределение из отклонение ε и означает 0. Он представляет собой плотность вероятности вовремя т = ε положения частицы, начиная с начала координат в соответствии со стандартным Броуновское движение. В этом контексте условие полугруппы является выражением Марковская собственность броуновского движения.

В многомерном евклидовом пространстве р^п, тепловое ядро

${displaystyle eta _{varepsilon }={frac {1}{(2pi varepsilon )^{n/2}}}mathrm {e} ^{-{frac {xcdot x}{2varepsilon }}},}$

и имеет ту же физическую интерпретацию, mutatis mutandis. Он также представляет собой зарождающуюся дельта-функцию в том смысле, что η_ε → δ в смысле распределения как ε → 0.

Ядро Пуассона

В Ядро Пуассона

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)={frac {1}{pi }}mathrm {Im} left{{frac {1}{x-mathrm {i} varepsilon }}ight}={frac {1}{pi }}{frac {varepsilon }{varepsilon ^{2}+x^{2}}}={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty }mathrm {e} ^{mathrm {i} xi x-|varepsilon xi |};dxi }$

фундаментальное решение Уравнение лапласа в верхней полуплоскости.^[57] Он представляет собой электростатический потенциал в полубесконечной пластине, потенциал которой по краю удерживается на фиксированном уровне дельта-функции. Ядро Пуассона также тесно связано с Распределение Коши и Епанечников и гауссово ядро функции.^[58]:81 Эта полугруппа эволюционирует по уравнению

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}}=-left(-{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}ight)^{frac {1}{2}}u(t,x)}$

где оператор строго определяется как Множитель Фурье

${displaystyle {mathcal {F}}left[left(-{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}ight)^{frac {1}{2}}fight](xi )=|2pi xi |{mathcal {F}}f(xi ).}$

Колебательные интегралы

В таких областях физики, как распространение волн и волновая механика, участвующие уравнения гиперболический и поэтому могут иметь более необычные решения. В результате возникающие дельта-функции, которые возникают как фундаментальные решения связанных Задачи Коши обычно колебательные интегралы. Пример, который исходит из решения Уравнение Эйлера – Трикоми из трансзвуковой газовая динамика,^[59] масштабируется Функция Эйри

${displaystyle varepsilon ^{-1/3}operatorname {Ai} left(xvarepsilon ^{-1/3}ight).}$

Несмотря на использование преобразования Фурье, легко увидеть, что оно в некотором смысле порождает полугруппу - она ​​не является абсолютно интегрируемой и поэтому не может определять полугруппу в указанном выше сильном смысле. Многие возникающие дельта-функции, построенные как осциллирующие интегралы, сходятся только в смысле распределений (примером является Ядро Дирихле ниже), а не в смысле меры.

Другой пример - задача Коши для волновое уравнение в р¹⁺¹:^[60]

${displaystyle {egin{aligned}c^{-2}{frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}-Delta u&=0u=0,quad {frac {partial u}{partial t}}=delta &qquad { ext{for }}t=0.end{aligned}}}$

Решение ты представляет собой смещение бесконечной упругой струны из состояния равновесия с начальным возмущением в начале координат.

Другие приближения к идентичности такого рода включают функция sinc (широко используется в электронике и телекоммуникациях)

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)={frac {1}{pi x}}sin left({frac {x}{varepsilon }}ight)={frac {1}{2pi }}int _{-{frac {1}{varepsilon }}}^{frac {1}{varepsilon }}cos(kx);dk}$

и Функция Бесселя

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)={frac {1}{varepsilon }}J_{frac {1}{varepsilon }}left({frac {x+1}{varepsilon }}ight).}$

Разложение на плоскую волну

Один подход к изучению линейного уравнения в частных производных

${displaystyle L[u]=f,}$

куда L это дифференциальный оператор на р^п, состоит в том, чтобы сначала найти фундаментальное решение, которое является решением уравнения

${displaystyle L[u]=delta .}$

Когда L особенно проста, эта проблема часто может быть решена с помощью преобразования Фурье напрямую (как в случае уже упомянутого ядра Пуассона и теплового ядра). Для более сложных операторов иногда проще сначала рассмотреть уравнение вида

${displaystyle L[u]=h}$

куда час это плоская волна функция, означающая, что она имеет вид

${displaystyle h=h(xcdot xi )}$

для некоторого вектора ξ. Такое уравнение разрешимо (если коэффициенты при L находятся аналитические функции ) посредством Теорема Коши – Ковалевской или (если коэффициенты L постоянны) по квадратуре. Итак, если дельта-функцию можно разложить на плоские волны, то в принципе можно решить линейные уравнения в частных производных.

Такое разложение дельта-функции на плоские волны было частью общей техники, впервые введенной по существу Иоганн Радон, а затем в таком виде развита Фриц Джон (1955 ).^[61] выбирать k так что п + k - четное целое число, а для действительного числа s, положить

${displaystyle g(s)=operatorname {Re} left[{frac {-s^{k}log(-is)}{k!(2pi i)^{n}}}ight]={egin{cases}{frac {|s|^{k}}{4k!(2pi i)^{n-1}}}&n{ ext{ odd}}[5pt]-{frac {|s|^{k}log |s|}{k!(2pi i)^{n}}}&n{ ext{ even.}}end{cases}}}$

потом δ получается путем применения мощности Лапласиан интегралу по единице сферическая мера dω из грамм(Икс · ξ) за ξ в единичная сфера S^п−1:

${displaystyle delta (x)=Delta _{x}^{(n+k)/2}int _{S^{n-1}}g(xcdot xi ),domega _{xi }.}$

Лапласиан здесь интерпретируется как слабая производная, так что это уравнение означает, что для любой пробной функцииφ,

${displaystyle varphi (x)=int _{mathbf {R} ^{n}}varphi (y),dy,Delta _{x}^{frac {n+k}{2}}int _{S^{n-1}}g((x-y)cdot xi ),domega _{xi }.}$

Результат следует из формулы для Ньютоновский потенциал (фундаментальное решение уравнения Пуассона). По сути, это форма формулы обращения для Преобразование радона, потому что он восстанавливает значение φ(Икс) от его интегралов по гиперплоскостям. Например, если п это странно и k = 1, то интеграл в правой части равен

${displaystyle {egin{aligned}&c_{n}Delta _{x}^{frac {n+1}{2}}int int _{S^{n-1}}varphi (y)|(y-x)cdot xi |,domega _{xi },dy[5pt]={}&c_{n}Delta _{x}^{(n+1)/2}int _{S^{n-1}},domega _{xi }int _{-infty }^{infty }|p|Rvarphi (xi ,p+xcdot xi ),dpend{aligned}}}$

куда Rφ(ξ, п) преобразование Радона φ:

${displaystyle Rvarphi (xi ,p)=int _{xcdot xi =p}f(x),d^{n-1}x.}$

Альтернативное эквивалентное выражение разложения плоской волны из Гельфанд и Шилов (1966–1968), I, §3.10), является

${displaystyle delta (x)={frac {(n-1)!}{(2pi i)^{n}}}int _{S^{n-1}}(xcdot xi )^{-n},domega _{xi }}$

за п даже, и

${displaystyle delta (x)={frac {1}{2(2pi i)^{n-1}}}int _{S^{n-1}}delta ^{(n-1)}(xcdot xi ),domega _{xi }}$

за п странный.

Ядра Фурье

Смотрите также: Сходимость рядов Фурье.

При изучении Ряд Фурье, главный вопрос состоит в том, чтобы определить, действительно ли ряд Фурье, связанный с периодическая функция сходится к функции. В п-я частичная сумма ряда Фурье функции ж периода 2π определяется сверткой (на интервале [-π,π]) с Ядро Дирихле:

${displaystyle D_{N}(x)=sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={frac {sin left((N+{ frac {1}{2}})xight)}{sin(x/2)}}.}$

Таким образом,

${displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}$

куда

${displaystyle a_{n}={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }f(y)e^{-iny},dy.}$

Фундаментальный результат элементарных рядов Фурье утверждает, что ядро ​​Дирихле стремится к кратной дельта-функции как N → ∞. Это интерпретируется в смысле распределения, что

${displaystyle s_{N}(f)(0)=int _{mathbf {R} }D_{N}(x)f(x),dx o 2pi f(0)}$

для каждого компактно поддерживаемого гладкий функция ж. Таким образом, формально

${displaystyle delta (x)={frac {1}{2pi }}sum _{n=-infty }^{infty }e^{inx}}$

на интервале [-π,π].

Несмотря на это, результат не верен для всех компактно поддерживаемых непрерывный функции: то есть D_N не сходится слабо в смысле меры. Отсутствие сходимости рядов Фурье привело к введению различных методы суммирования чтобы произвести конвергенцию. Методика Чезаро суммирование приводит к Ядро Фейера^[62]

${displaystyle F_{N}(x)={frac {1}{N}}sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={frac {1}{N}}left({frac {sin {frac {Nx}{2}}}{sin {frac {x}{2}}}}ight)^{2}.}$

В Ядра Фейера стремятся к дельта-функции в более сильном смысле, что^[63]

${displaystyle int _{mathbf {R} }F_{N}(x)f(x),dx o 2pi f(0)}$

для каждого компактно поддерживаемого непрерывный функция ж. Подразумевается, что ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется по Чезаро со значением функции в каждой точке.

Теория гильбертова пространства

Дельта-распределение Дирака - это плотно определенный неограниченный линейный функционал на Гильбертово пространство L² из квадратично интегрируемые функции. Действительно, гладкие компактно опорные функции плотный в L², и действие дельта-распределения на такие функции хорошо определено. Во многих приложениях можно идентифицировать подпространства L² и дать более сильную топология на котором дельта-функция определяет ограниченный линейный функционал.

Соболевские пространства

В Теорема вложения Соболева за Соболевские пространства на реальной линии р следует, что любая интегрируемая с квадратом функция ж такой, что

${displaystyle |f|_{H^{1}}^{2}=int _{-infty }^{infty }|{widehat {f}}(xi )|^{2}(1+|xi |^{2}),dxi <infty }$

автоматически непрерывно и удовлетворяет, в частности,

${displaystyle delta [f]=|f(0)|<C|f|_{H^{1}}.}$

Таким образом δ - линейный ограниченный функционал на пространстве Соболева ЧАС¹. Эквивалентно δ является элементом непрерывное двойное пространство ЧАС⁻¹ из ЧАС¹. В более общем плане в п размеры, есть δ ∈ ЧАС^−s(р^п) при условииs > п / 2.

Пространства голоморфных функций

В комплексный анализ, дельта-функция входит через Интегральная формула Коши, который утверждает, что если D это домен в комплексная плоскость с гладкой границей, то

${displaystyle f(z)={frac {1}{2pi i}}oint _{partial D}{frac {f(zeta ),dzeta }{zeta -z}},quad zin D}$

для всех голоморфные функции ж в D которые продолжаются при закрытии D. В результате дельта-функция δ_z в этом классе голоморфных функций представляется интегралом Коши:

${displaystyle delta _{z}[f]=f(z)={frac {1}{2pi i}}oint _{partial D}{frac {f(zeta ),dzeta }{zeta -z}}.}$

Кроме того, пусть ЧАС²(∂D) быть Харди космос состоящий из закрытия в L²(∂D) всех голоморфных функций из D непрерывно до границы D. Тогда функции в ЧАС²(∂D) однозначно продолжается до голоморфных функций в D, и интегральная формула Коши остается в силе. В частности для z ∈ D, дельта-функция δ_z является линейным непрерывным функционалом на ЧАС²(∂D). Это частный случай ситуации в несколько сложных переменных в котором для гладких областей D, то Ядро сегу играет роль интеграла Коши.^[64]:357

Разрешения личности

Учитывая полное ортонормированный базис набор функций {φ_п} в сепарабельном гильбертовом пространстве, например, нормированный собственные векторы из компактный самосопряженный оператор, любой вектор ж можно выразить как

${displaystyle f=sum _{n=1}^{infty }alpha _{n}varphi _{n}.}$

Коэффициенты {α_п} находятся как

${displaystyle alpha _{n}=langle varphi _{n},fangle ,}$

которое может быть представлено обозначениями:

${displaystyle alpha _{n}=varphi _{n}^{dagger }f,}$

форма обозначение бюстгальтера Дирака.^[65] Принимая эти обозначения, разложение ж берет диадический форма:^[66]

${displaystyle f=sum _{n=1}^{infty }varphi _{n}left(varphi _{n}^{dagger }fight).}$

Сдача я обозначить оператор идентификации в гильбертовом пространстве выражение

${displaystyle I=sum _{n=1}^{infty }varphi _{n}varphi _{n}^{dagger },}$

называется разрешение личности. Когда гильбертово пространство - это пространство L²(D) квадратично интегрируемых функций в области D, количество:

${displaystyle varphi _{n}varphi _{n}^{dagger },}$

является интегральным оператором, а выражение для ж можно переписать

${displaystyle f(x)=sum _{n=1}^{infty }int _{D},left(varphi _{n}(x)varphi _{n}^{*}(xi )ight)f(xi ),dxi .}$

Правая часть сходится к ж в L² смысл. Необязательно иметь точечный смысл, даже когда ж является непрерывной функцией. Тем не менее, часто злоупотребляют обозначениями и пишут

${displaystyle f(x)=int ,delta (x-xi )f(xi ),dxi ,}$

в результате получается представление дельта-функции:^[67]

${displaystyle delta (x-xi )=sum _{n=1}^{infty }varphi _{n}(x)varphi _{n}^{*}(xi ).}$

С подходящим оснащенное гильбертово пространство (Φ, L²(D), Φ *) куда Φ ⊂ L²(D) содержит все гладкие функции с компактным носителем, это суммирование может сходиться в Φ * в зависимости от свойств базиса φ_п. В большинстве случаев, представляющих практический интерес, ортонормированный базис исходит из интегрального или дифференциального оператора, и в этом случае ряд сходится в распределение смысл.^[68]

Бесконечно малые дельта-функции

Коши использовал бесконечно малое α, чтобы записать единичный импульс, бесконечно высокую и узкую дельта-функцию типа Дирака δ_α удовлетворение ${displaystyle int F(x)delta _{alpha }(x)=F(0)}$ в ряде статей 1827 г.^[69] Коши определил бесконечно малое в Cours d'Analyse (1827) в терминах последовательности, стремящейся к нулю. А именно, такая нулевая последовательность становится бесконечно малой по принципам Коши и Лазар Карно терминология.

Нестандартный анализ позволяет строго относиться к бесконечно малым. Статья автора Ямасита (2007) содержит библиографию по современным дельта-функциям Дирака в контексте бесконечно обогащенного континуума, обеспечиваемого гиперреалы. Здесь дельта Дирака может быть задана фактической функцией, имеющей свойство, что для каждой реальной функции F надо ${displaystyle int F(x)delta _{alpha }(x)=F(0)}$ как ожидалось Фурье и Коши.

Гребень Дирака

Основная статья: Гребень Дирака

Гребень Дирака - это бесконечная серия дельта-функций Дирака, расположенных на интервалах Т

Так называемая однородная «последовательность импульсов» дельта-мер Дирака, известная как Гребень Дирака, или как распределение Шаха, создает отбор проб функция, часто используемая в цифровая обработка сигналов (DSP) и анализ сигналов в дискретном времени. Гребень Дирака задается как бесконечная сумма, предел которой понимается в смысле распределения,

${displaystyle operatorname {III} (x)=sum _{n=-infty }^{infty }delta (x-n),}$

который представляет собой последовательность точечных масс в каждом из целых чисел.

С точностью до общей нормализующей константы гребенка Дирака равна своему собственному преобразованию Фурье. Это важно, потому что если ${displaystyle f}$ есть ли Функция Шварца, то периодизация из ${displaystyle f}$ дается сверткой

${displaystyle (f*operatorname {III} )(x)=sum _{n=-infty }^{infty }f(x-n).}$

Особенно,

${displaystyle (f*operatorname {III} )^{wedge }={widehat {f}}{widehat {operatorname {III} }}={widehat {f}}operatorname {III} }$

это именно Формула суммирования Пуассона.^[70]В более общем плане эта формула остается верной, если ${displaystyle f}$ умеренное распределение быстрого спуска или, что то же самое, если ${displaystyle {widehat {f}}}$ представляет собой медленно растущую обычную функцию в пространстве умеренных распределений.

Теорема Сохоцкого – Племеля.

В Теорема Сохоцкого – Племеля., важное в квантовой механике, связывает дельта-функцию с распределением p.v. 1 /Икс, то Главное значение Коши функции 1 /Икс, определяется

${displaystyle leftlangle operatorname {p.v.} {frac {1}{x}},varphi ightangle =lim _{varepsilon o 0^{+}}int _{|x|>varepsilon }{frac {varphi (x)}{x}},dx.}$

Формула Сохоцкого гласит, что^[71]

${displaystyle lim _{varepsilon o 0^{+}}{frac {1}{xpm ivarepsilon }}=operatorname {p.v.} {frac {1}{x}}mp ipi delta (x),}$

Здесь предел понимается в смысле распределения, что для всех гладких функций с компактным носителем ж,

${displaystyle lim _{varepsilon o 0^{+}}int _{-infty }^{infty }{frac {f(x)}{xpm ivarepsilon }},dx=mp ipi f(0)+lim _{varepsilon o 0^{+}}int _{|x|>varepsilon }{frac {f(x)}{x}},dx.}$

Связь с дельтой Кронекера

В Дельта Кронекера δ_ij количество определяется

${displaystyle delta _{ij}={egin{cases}1&i=j�&iot =jend{cases}}}$

для всех целых чисел я, j. Тогда эта функция удовлетворяет следующему аналогу свойства просеивания: если ${displaystyle (a_{i})_{iin mathbf {Z} }}$ есть ли дважды бесконечная последовательность, тогда

${displaystyle sum _{i=-infty }^{infty }a_{i}delta _{ik}=a_{k}.}$

Точно так же для любой действительной или комплексной непрерывной функции ж на р, дельта Дирака удовлетворяет свойству просеивания

${displaystyle int _{-infty }^{infty }f(x)delta (x-x_{0}),dx=f(x_{0}).}$

Это демонстрирует дельта-функцию Кронекера как дискретный аналог дельта-функции Дирака.^[72]

Приложения

Теория вероятности

В теория вероятности и статистика, дельта-функция Дирака часто используется для представления дискретное распределение, или частично дискретный, частично непрерывное распространение, используя функция плотности вероятности (который обычно используется для представления абсолютно непрерывных распределений). Например, функция плотности вероятности ж(Икс) дискретного распределения, состоящего из точек Икс = {Икс₁, ..., Икс_п}, с соответствующими вероятностями п₁, ..., п_п, можно записать как

${displaystyle f(x)=sum _{i=1}^{n}p_{i}delta (x-x_{i}).}$

В качестве другого примера рассмотрим распределение, которое в 6/10 случаев возвращает стандартный нормальное распределение, а в 4/10 случаев возвращается точно значение 3,5 (т.е. частично непрерывный, частично дискретный распределение смеси ). Функция плотности этого распределения может быть записана как

${displaystyle f(x)=0.6,{frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-{frac {x^{2}}{2}}}+0.4,delta (x-3.5).}$

Дельта-функция также используется для представления результирующей функции плотности вероятности случайной величины, которая преобразуется непрерывной дифференцируемой функцией. Если Y = g (Икс) - непрерывная дифференцируемая функция, то плотность Y можно записать как

${displaystyle f_{Y}(y)=int _{-infty }^{+infty }f_{X}(x)delta (y-g(x))dx.}$

Дельта-функция также используется совершенно по-другому для представления местное время из диффузионный процесс (подобно Броуновское движение ). Местное время случайного процесса B(т) дан кем-то

${displaystyle ell (x,t)=int _{0}^{t}delta (x-B(s)),ds}$

и представляет собой количество времени, которое процесс проводит в точке Икс в пределах процесса. Точнее, в одном измерении этот интеграл можно записать

${displaystyle ell (x,t)=lim _{varepsilon o 0^{+}}{frac {1}{2varepsilon }}int _{0}^{t}mathbf {1} _{[x-varepsilon ,x+varepsilon ]}(B(s)),ds}$

куда 1_{[Икс−ε, Икс+ε]} это индикаторная функция интервала [Икс−ε, Икс+ε].

Квантовая механика

Дельта-функция целесообразна в квантовая механика. В волновая функция частицы дает амплитуду вероятности нахождения частицы в заданной области пространства. Волновые функции считаются элементами гильбертова пространства L² из квадратично интегрируемые функции, а полная вероятность найти частицу в пределах заданного интервала представляет собой интеграл от величины волновой функции, возведенной в квадрат на интервале. Множество {φ_п} волновых функций ортонормированы, если они нормированы

${displaystyle langle varphi _{n}mid varphi _{m}angle =delta _{nm}}$

куда δ здесь имеется в виду дельта Кронекера. Набор ортонормированных волновых функций является полным в пространстве квадратично интегрируемых функций, если любая волновая функция ψ можно выразить как комбинацию φ_п:

${displaystyle psi =sum c_{n}varphi _{n},}$

с ${displaystyle c_{n}=langle varphi _{n}|psi angle }$. Полные ортонормированные системы волновых функций естественно возникают как собственные функции из Гамильтониан (из связанная система ) в квантовой механике, которая измеряет уровни энергии, которые называются собственными значениями. Набор собственных значений в этом случае известен как спектр гамильтониана. В обозначение бюстгальтера, так как над, это равенство означает разрешение тождества:

${displaystyle I=sum |varphi _{n}angle langle varphi _{n}|.}$

Здесь собственные значения предполагаются дискретными, но набор собственных значений наблюдаемый может быть непрерывным, а не дискретным. Примером может служить наблюдаемая позиция, Qψ(Икс) = Иксψ (Икс). Спектр положения (в одном измерении) представляет собой всю действительную линию и называется непрерывный спектр. Однако, в отличие от гамильтониана, оператор положения не имеет собственных функций. Обычный способ преодолеть этот недостаток - расширить класс доступных функций, допустив также распределения: то есть заменить гильбертово пространство квантовой механики подходящим оснащенное гильбертово пространство.^[73] В этом контексте оператор позиции имеет полный набор собственных распределений, помеченных точками у реальной линии, заданной

${displaystyle varphi _{y}(x)=delta (x-y).}$

Собственные функции положения обозначаются ${displaystyle varphi _{y}=|yangle }$ в нотации Дирака и известны как собственные состояния положения.

Аналогичные соображения применимы к собственным состояниям оператор импульса, или любой другой самосопряженный неограниченный оператор п на гильбертовом пространстве, если спектр п непрерывна и нет вырожденных собственных значений. В этом случае существует множество действительных чисел Ω (спектр) и набор φ_у распределений, индексированных элементами Ω, таких, что

${displaystyle Pvarphi _{y}=yvarphi _{y}.}$

То есть, φ_у являются собственными векторами п. Если собственные векторы нормированы так, что

${displaystyle langle varphi _{y},varphi _{y'}angle =delta (y-y')}$

в смысле распределения, то для любой пробной функции ψ

${displaystyle psi (x)=int _{Omega }c(y)varphi _{y}(x),dy}$

куда

${displaystyle c(y)=langle psi ,varphi _{y}angle .}$

То есть, как и в дискретном случае, есть разрешение тождества

${displaystyle I=int _{Omega }|varphi _{y}angle ,langle varphi _{y}|,dy}$

где операторнозначный интеграл снова понимается в слабом смысле. Если спектр п имеет как непрерывную, так и дискретную части, то разрешение тождества включает суммирование по дискретному спектру и интеграл по непрерывному спектру.

У дельта-функции также есть много других специализированных приложений в квантовой механике, таких как дельта-потенциал модели для одиночной и двойной потенциальной ямы.

Строительная механика

Дельта-функцию можно использовать в строительная механика для описания переходных нагрузок или точечных нагрузок, действующих на конструкции. Управляющее уравнение простого система масса-пружина возбужденный внезапной силой импульс я вовремя т = 0 можно записать

${displaystyle m{frac {mathrm {d} ^{2}xi }{mathrm {d} t^{2}}}+kxi =Idelta (t),}$

куда м - масса, ξ - прогиб и k то жесткость пружины.

Еще один пример: уравнение статического прогиба тонкого луч согласно Теория Эйлера – Бернулли,

${displaystyle EI{frac {mathrm {d} ^{4}w}{mathrm {d} x^{4}}}=q(x),}$

куда EI это жесткость на изгиб луча, ш то отклонение, Икс пространственная координата и q(Икс) распределение нагрузки. Если балка нагружена точечной силой F в Икс = Икс₀, распределение нагрузки записывается

${displaystyle q(x)=Fdelta (x-x_{0}).}$

Поскольку интеграция дельта-функции приводит к Ступенчатая функция Хевисайда, следует, что статический прогиб тонкой балки, подверженной множественным точечным нагрузкам, описывается набором кусочно многочлены.

Также точка момент действие на балку можно описать дельта-функциями. Рассмотрим две противоположные точечные силы F На расстоянии d Кроме. Затем они производят момент M = Fd воздействуя на балку. Теперь пусть расстояние d подходить к предел ноль, а M остается постоянным. Распределение нагрузки с учетом момента, действующего по часовой стрелке при Икс = 0, записывается

${displaystyle {egin{aligned}q(x)&=lim _{d o 0}{Big (}Fdelta (x)-Fdelta (x-d){Big )}[4pt]&=lim _{d o 0}left({frac {M}{d}}delta (x)-{frac {M}{d}}delta (x-d)ight)[4pt]&=Mlim _{d o 0}{frac {delta (x)-delta (x-d)}{d}}[4pt]&=Mdelta '(x).end{aligned}}}$

Таким образом, точечные моменты могут быть представлены производная дельта-функции. Интегрирование уравнения балки снова приводит к кусочному многочлен прогиб.

Смотрите также

• Атом (теория меры)
• Дельта-потенциал
• Мера Дирака
• Фундаментальное решение
• Функция Грина
• Лапласиан индикатора

Примечания

1. Арфкен и Вебер 2000, п. 84
2. Дирак 1958, §15 δ функция, стр. 58
3. Гельфанд и Шилов 1966–1968, Том I, §1.1
4. Гельфанд и Шилов 1966–1968, Том I, §1.3
5. Шварц 1950, п. 3
6. Bracewell 1986, Глава 5
7. Чжао, J.-C., ред., Методы определения фазовой диаграммы (Амстердам: Эльзевир, 2007), п. 174.
8. Ж. Б. Фурье (1822). Аналитическая теория тепла (Английский перевод Александра Фримена, изд. 1878 г.). Университетское издательство. п.408., ср. п. 449 и стр. 546–551. Оригинальный французский текст можно найти здесь.
9. Хикосабуро Комацу (2002). «Гиперфункции Фурье и псевдодифференциальные операторы Хевисайда». В Такахиро Каваи; Кейко Фудзита (ред.). Микролокальный анализ и комплексный анализ Фурье. World Scientific. п.200. ISBN  978-981-238-161-3.
10. Тын Мьинт-У .; Локенат Дебнат (2007). Линейные дифференциальные уравнения с частными производными для ученых и инженеров (4-е изд.). Springer. п.4. ISBN  978-0-8176-4393-5.
11. Локенат Дебнат; Дамбару Бхатта (2007). Интегральные преобразования и их приложения (2-е изд.). CRC Press. п.2. ISBN  978-1-58488-575-7.
12. Айвор Граттан-Гиннесс (2009). Свертки во французской математике, 1800–1840: от исчисления и механики к математическому анализу и математической физике, том 2. Birkhäuser. п. 653. ISBN  978-3-7643-2238-0.
13. См., Например, Des intégrales doubles qui se présentent sous une forme indéterminèe
14. Драгиша Митрович; Дарко Жубринич (1998). Основы прикладного функционального анализа: распределения, пространства Соболева. CRC Press. п. 62. ISBN  978-0-582-24694-2.
15. Манфред Крахт; Эрвин Крейсциг (1989). «О сингулярных интегральных операторах и обобщениях». В Фемистокле М. Рассиас (ред.). Разделы математического анализа: Том, посвященный памяти А.Л. Коши. World Scientific. п. 553. ISBN  978-9971-5-0666-7.
16. Лаугвиц 1989, п. 230
17. Более полный исторический отчет можно найти в ван дер Поль и Бреммер 1987, §V.4.
18. Дирак 1958, §15
19. Гельфанд и Шилов 1966–1968, Том I, §1.1, с. 1
20. Рудин 1966, §1.20 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFRudin1966 (помощь)^{[требуется полная цитата ]}
21. Хьюитт и Стромберг, 1963 г., §19.61
22. Дриггеры 2003, п. 2321. См. Также Bracewell 1986, Глава 5 для другой интерпретации. Существуют и другие соглашения о присвоении нулевого значения функции Хевисайда, и некоторые из них не согласуются с тем, что следует ниже.
23. Хьюитт и Стромберг, 1963 г., §9.19
24. Хазевинкель, М., Энциклопедия математики, Vol. 10 (Берлин /Гейдельберг: Springer, 1989), п. 41 год.
25. Стрихарц 1994, §2.2
26. Хёрмандер 1983, Теорема 2.1.5
27. Хёрмандер 1983, §3.1
28. Стрихарц 1994, §2.3; Хёрмандер 1983, §8.2
29. Дьедонне 1972, §17.3.3
30. Кранц, С.Г., & Паркс, Х., Теория геометрической интеграции (Бостон: Биркхойзер, 2008), стр. 67–69.
31. Федерер 1969, §2.5.19
32. Стрихарц 1994, Проблема 2.6.2
33. Владимиров 1971, Глава 2, Пример 3 (d)
34. Ротвитт, К., и Тайдеманд-Лихтенберг, П., Нелинейная оптика: принципы и приложения (Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, 2015), п. 276.
35. Вайсштейн, Эрик В. «Просеивание собственности». MathWorld.
36. Каррис, С. Т., Сигналы и системы с приложениями MATLAB (Фремонт, Калифорния: Oxford Publications, 2003), п. 15.
37. Роден, М. С., Введение в теорию коммуникации (Оксфорд: Pergamon Press, 1972), п. 40.
38. Гельфанд и Шилов 1966–1968, Vol. 1, §II.2.5
39. Возможна дальнейшая доработка, а именно погружения, хотя для этого требуется более сложная формула замены переменных.
40. Хёрмандер 1983, §6.1
41. Ланге 2012, стр.29–30
42. Гельфанд и Шилов 1966–1968, п. 212
43. В некоторых соглашениях о преобразовании Фурье.
44. Bracewell 1986
45. Гельфанд и Шилов 1966–1968, п. 26
46. Гельфанд и Шилов 1966–1968, §2.1
47. Вайсштейн, Эрик В. «Дублетная функция». MathWorld.
48. Свойство следует путем применения тестовой функции и интегрирования по частям.
49. "Комментарий Gugo82 к дистрибутивной производной дельты Дирака". matematicamente.it. 12 сентября 2010 г.
50. Хёрмандер 1983, п. 56
51. Хёрмандер 1983, п. 56; Рудин 1991, Теорема 6.25
52. Штайн и Вайс, 1971 г., Теорема 1.18
53. Рудин 1991, §II.6.31
54. В общем, нужно только η = η₁ иметь интегрируемую радиально-симметричную убывающую перестановку.
55. Сайчев и Войчинский 1997, §1.1 «Дельта-функция» глазами физика и инженера, стр. 3
56. Милованович, Г.В., & Рассиас, М. Т., ред., Аналитическая теория чисел, теория приближений и специальные функции: в честь Хари М. Шриваставы (Берлин / Гейдельберг: Springer, 2014), п. 748.
57. Штайн и Вайс, 1971 г., §I.1
58. Мадер, Х.М., изд., Статистика в вулканологии (Геологическое общество Лондона, 2006), п. 81 год.
59. Валле и Соарес 2004, §7.2
60. Хёрмандер 1983, §7.8
61. Смотрите также Курант и Гильберт, 1962 г., §14.
62. Lang 1997, п. 312
63. В терминологии Ланг (1997), ядро ​​Фейера является последовательностью Дирака, а ядро ​​Дирихле - нет.
64. Хазевинкель, М., изд., Энциклопедия математики (Дордрехт / Бостон / Лондон: Kluwer Academic Publishers, 1995), п. 357.
65. Оформление этого раздела в обозначениях бра – кет можно найти в (Левин 2002, Координатные волновые функции и полнота, стр. = 109ff)
66. Дэвис и Томсон 2000, Совершенные операторы, стр.344
67. Дэвис и Томсон 2000, Уравнение 8.9.11, стр. 344
68. де ла Мадрид, Бом и Гаделла 2002
69. Видеть Лаугвиц (1989).
70. Кордова 1988; Хёрмандер 1983, §7.2
71. Владимиров 1971, §5.7
72. Хартманн 1997, стр. 154–155
73. Ишем 1995, §6.2

Рекомендации

• Аратын, Хенрик; Расинариу, Константин (2006), Краткий курс математических методов с Maple, World Scientific, ISBN  978-981-256-461-0.
• Арфкен, Г.Б.; Вебер, Х. Дж. (2000), Математические методы для физиков (5-е изд.), Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, ISBN  978-0-12-059825-0.
• Брейсуэлл, Р. Н. (1986), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw-Hill.
• Кордова, А. (1988), "La formule sommatoire de Poisson", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 306: 373–376.
• Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид (1962), Методы математической физики, Том II, Wiley-Interscience.
• Дэвис, Говард Тед; Томсон, Кендалл Т. (2000), Линейная алгебра и линейные операторы в технике с приложениями в системе Mathematica, Academic Press, ISBN  978-0-12-206349-7
• Дьедонне, Жан (1976), Трактат по анализу. Vol. II, Нью-Йорк: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN  978-0-12-215502-4, МИСТЕР  0530406.
• Дьедонне, Жан (1972), Трактат по анализу. Vol. III, Бостон, Массачусетс: Academic Press, МИСТЕР  0350769
• Дирак, Поль (1958), Принципы квантовой механики (4-е изд.), Оксфорд в Clarendon Press, ISBN  978-0-19-852011-5.
• Дриггеры, Рональд Г. (2003), Энциклопедия оптической инженерии, CRC Press, ISBN  978-0-8247-0940-2.
• Duistermaat, Hans; Колк (2010), Распространения: теория и приложения, Springer.
• Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 153, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xiv + 676, ISBN  978-3-540-60656-7, МИСТЕР  0257325.
• Гэннон, Терри (2008), «Алгебры вершинных операторов», Принстонский компаньон по математике, Princeton University Press.
• Гельфанд, И.М.; Шилов, Г. Э. (1966–1968), Обобщенные функции, 1–5, Academic Press.
• Хартманн, Уильям М. (1997), Сигналы, звук и ощущения, Спрингер, ISBN  978-1-56396-283-7.
• Хьюитт, Э; Стромберг, К. (1963), Реальный и абстрактный анализ, Springer-Verlag.
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I, Grundl. Математика. Wissenschaft., 256, Спрингер, Дои:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN  978-3-540-12104-6, МИСТЕР  0717035.
• Ишем, К. Дж. (1995), Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы, Imperial College Press, ISBN  978-81-7764-190-5.
• Джон, Фриц (1955), Плоские волны и сферические средства применительно к уравнениям в частных производных, Interscience Publishers, Нью-Йорк-Лондон, МИСТЕР  0075429.
• Ланг, Серж (1997), Бакалавриат анализ, Тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4757-2698-5, ISBN  978-0-387-94841-6, МИСТЕР  1476913.
• Ланге, Рутгер-Ян (2012), "Теория потенциала, интегралы по путям и лапласиан индикатора", Журнал физики высоких энергий, 2012 (11): 29–30, arXiv:1302.0864, Bibcode:2012JHEP ... 11..032L, Дои:10.1007 / JHEP11 (2012) 032, S2CID  56188533.
• Лаугвиц, Д. (1989), «Определенные значения бесконечных сумм: аспекты основ анализа бесконечно малых около 1820 года», Arch. Hist. Exact Sci., 39 (3): 195–245, Дои:10.1007 / BF00329867, S2CID  120890300.
• Левин, Франк С. (2002), "Координатно-пространственные волновые функции и полнота", Введение в квантовую теорию, Cambridge University Press, стр.109.ff, ISBN  978-0-521-59841-5
• Li, Y.T .; Вонг, Р. (2008), "Интегральные и серийные представления дельта-функции Дирака", Commun. Pure Appl. Анальный., 7 (2): 229–247, arXiv:1303.1943, Дои:10.3934 / cpaa.2008.7.229, МИСТЕР  2373214, S2CID  119319140.
• де ла Мадрид, Р .; Bohm, A .; Гаделла, М. (2002), "Обработка непрерывного спектра в оснастке гильбертовым пространством", Fortschr. Phys., 50 (2): 185–216, arXiv:Quant-ph / 0109154, Bibcode:2002ФорФ..50..185Д, Дои:10.1002 / 1521-3978 (200203) 50: 2 <185 :: AID-PROP185> 3.0.CO; 2-S.
• МакМахон, Д. (2005-11-22), "Введение в пространство состояний" (PDF), Демистификация квантовой механики, самообучающее руководство, Demystified Series, New York: McGraw-Hill, p. 108, Дои:10.1036/0071455469, ISBN  978-0-07-145546-6, получено 2008-03-17.
• ван дер Поль, Балт .; Бреммер, Х. (1987), Оперативный расчет (3-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN  978-0-8284-0327-6, МИСТЕР  0904873.
• Рудин, В. (1991), Функциональный анализ (2-е изд.), Макгроу-Хилл, ISBN  978-0-07-054236-5.
• Валле, Оливье; Соарес, Мануэль (2004), Функции Эйри и приложения к физике, Лондон: Imperial College Press.
• Сайчев А И; Войчинский, Войбор Анджей (1997), «Глава 1: Основные определения и операции», Распределения в физических и технических науках: распределительное и фрактальное исчисление, интегральные преобразования и вейвлеты, Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-3924-2
• Шварц, Л. (1950), Теория распределений, 1, Германн.
• Шварц, Л. (1951), Теория распределений, 2, Германн.
• Штейн, Элиас; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-08078-9.
• Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье, CRC Press, ISBN  978-0-8493-8273-4.
• Владимиров, В. С. (1971), Уравнения математической физики, Марсель Деккер, ISBN  978-0-8247-1713-1.
• Вайсштейн, Эрик В. «Дельта-функция». MathWorld.
• Ямасита, Х. (2006), "Точечный анализ скалярных полей: нестандартный подход", Журнал математической физики, 47 (9): 092301, Bibcode:2006JMP .... 47i2301Y, Дои:10.1063/1.2339017
• Ямасита, Х. (2007), "Комментарий к" Точечный анализ скалярных полей: нестандартный подход "[J. Math. Phys. 47, 092301 (2006)]", Журнал математической физики, 48 (8): 084101, Bibcode:2007JMP .... 48х4101Y, Дои:10.1063/1.2771422

внешняя ссылка

• «Дельта-функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Видеоурок на KhanAcademy.org
• Дельта-функция Дирака, учебник по дельта-функции Дирака.
• Видео-лекции - Лекция 23, лекция Артур Мэттак.
• Дельта-мера Дирака - это гиперфункция
• Мы показываем существование единственного решения и анализируем приближение конечных элементов, когда исходный член является дельта-мерой Дирака.
• Нелебеговы меры на мере Р. Лебега-Стилтьеса, дельта-мера Дирака.