Распределение Накагами - Nakagami distribution - Wikipedia

Накагами

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle m{\text{ or }}\mu \geq 0.5}$ форма (настоящий ) ${\displaystyle \Omega {\text{ or }}\omega >0}$ распространение (реальный)
Поддерживать	${\displaystyle x>0\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\Omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\gamma \left(m,{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}{\Gamma (m)}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\left({\frac {\Omega }{m}}\right)^{1/2}}$
Медиана	Нет простой закрытой формы
Режим	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({\frac {(2m-1)\Omega }{m}}\right)^{1/2}}$
Дисперсия	${\displaystyle \Omega \left(1-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\right)^{2}\right)}$

В Распределение Накагами или Накагамим распределение это распределение вероятностей связанный с гамма-распределение. Семейство распределений Накагами имеет два параметра: параметр формы ${\displaystyle m\geq 1/2}$ и второй параметр, регулирующий разброс ${\displaystyle \Omega >0}$.

Характеристика

Его функция плотности вероятности (pdf) - это^[1]

${\displaystyle f(x;\,m,\Omega )={\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\Omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right),\forall x\geq 0.}$

куда ${\displaystyle (m\geq 1/2,{\text{ and }}\Omega >0)}$

Его кумулятивная функция распределения является^[1]

${\displaystyle F(x;\,m,\Omega )=P\left(m,{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}$

куда п является регуляризованным (нижним) неполная гамма-функция.

Параметризация

Параметры ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle \Omega }$ находятся^[2]

${\displaystyle m={\frac {\left(\operatorname {E} \left[X^{2}\right]\right)^{2}}{\operatorname {Var} \left[X^{2}\right]}},}$

и

${\displaystyle \Omega =\operatorname {E} \left[X^{2}\right].}$

Оценка параметров

Альтернативный способ подобрать распределение - перепараметрировать ${\displaystyle \Omega }$ и м в качестве σ = Ω /м им.^[3]

Данный независимый наблюдения ${\textstyle X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n}}$ из распределения Накагами функция правдоподобия равна

${\displaystyle L(\sigma ,m)=\left({\frac {2}{\Gamma (m)\sigma ^{m}}}\right)^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2m-1}\exp \left(-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\sigma }}\right).}$

Его логарифм

${\displaystyle \ell (\sigma ,m)=\log L(\sigma ,m)=-n\log \Gamma (m)-nm\log \sigma +(2m-1)\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\sigma }}.}$

Следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \ell }{\partial \sigma }}={\frac {-nm\sigma +\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\sigma ^{2}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial \ell }{\partial m}}=-n{\frac {\Gamma '(m)}{\Gamma (m)}}-n\log \sigma +2\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}.\end{aligned}}}$

Эти производные исчезают только при

${\displaystyle \sigma ={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{nm}}}$

и ценность м для которого производная по м исчезает численными методами, включая Метод Ньютона – Рафсона.

Можно показать, что в критической точке достигается глобальный максимум, поэтому критическая точка - это оценка максимального правдоподобия (м,σ). Из-за эквивалентность оценки максимального правдоподобия, тогда также получается MLE для Ω.

Поколение

Распределение Накагами связано с гамма-распределение В частности, учитывая случайную величину ${\displaystyle Y\,\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )}$, можно получить случайную величину ${\displaystyle X\,\sim {\textrm {Nakagami}}(m,\Omega )}$, установив ${\displaystyle k=m}$, ${\displaystyle \theta =\Omega /m}$, и извлечение квадратного корня из ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle X={\sqrt {Y}}.\,}$

В качестве альтернативы дистрибутив Накагами ${\displaystyle f(y;\,m,\Omega )}$ может быть получен из распределение ци с параметром ${\displaystyle k}$ установлен в ${\displaystyle 2m}$ с последующим масштабным преобразованием случайных величин. То есть случайная величина Накагами ${\displaystyle X}$ генерируется простым масштабным преобразованием случайной величины с распределением Хи ${\displaystyle Y\sim \chi (2m)}$ как показано ниже.

${\displaystyle X={\sqrt {(\Omega /2m)Y}}.}$

Для хи-распределения степени свободы ${\displaystyle 2m}$ должно быть целым числом, но для Накагами ${\displaystyle m}$ может быть любым действительным числом больше 1/2. Это критическое различие, и, соответственно, Накагами-м рассматривается как обобщение хи-распределения, подобно гамма-распределению, рассматриваемому как обобщение распределений хи-квадрат.

История и приложения

Распределение Накагами относительно новое, оно было впервые предложено в 1960 году.^[4] Он был использован для моделирования затухания беспроводной сигналы прохождение нескольких путей ^[5] и изучить влияние угасание каналы беспроводной связи.^[6]

Связанные дистрибутивы

• Ограничение м к единичному интервалу (q = m; 0 < q <1) определяет Накагами-q распространение, также известное как Распределение Хойта.^[7][8][9]

"The радиус вокруг истинного среднего в двумерный нормальный случайная величина, переписанная на полярные координаты (радиус и угол) следует распределению Хойта. Эквивалентно модуль из сложный нормальный случайная величина. "

Рекомендации

1. Лоуренсон, Дэйв (1994). "Накагами Дистрибьюшн". Моделирование распространения радиоканалов в помещении методами трассировки лучей. Получено 2007-08-04.
2. Р. Колар, Р. Джирик, Дж. Ян (2004) «Оценочное сравнение параметра Накагами-м и его применение в эхокардиографии», Радиотехника, 13 (1), 8–12
3. Митра, Рангет; Мишра, Амит Кумар; Чубиса, Тарун (2012). "Оценка максимального правдоподобия параметров распределения Накагами-м". Международная конференция по связи, устройствам и интеллектуальным системам (CODIS), 2012 г.: 9–12.
4. Накагами, М. (1960) «М-распределение, общая формула интенсивности быстрого замирания». В Уильяме К. Хоффмане, редакторе, Статистические методы распространения радиоволн: материалы симпозиума, состоявшегося 18–20 июня 1958 г.С. 3–36. Пергамон Пресс., Дои:10.1016 / B978-0-08-009306-2.50005-4
5. Парсонс, Дж. Д. (1992) Канал распространения мобильного радио. Нью-Йорк: Вили.
6. Рамон Санчес-Иборра; Мария-Долорес Кано; Хоан Гарсиа-Аро (2013). Оценка качества QoE в трафике VoIP при затухании каналов. Всемирный конгресс по компьютерным и информационным технологиям (WCCIT). С. 1–6. Дои:10.1109 / WCCIT.2013.6618721. ISBN  978-1-4799-0462-4.
7. Пэрис, Дж. Ф. (2009). «Функция распределения Накагами-q (Хойта) с приложениями». Письма об электронике. 45 (4): 210. Дои:10.1049 / el: 20093427.
8. «ХойтДистрибьюшн».
9. "НакагамиДистрибьюшн".