Гамбель раздача - Gumbel distribution

Гамбель

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle \mu ,}$ место расположения (настоящий ) ${\displaystyle \beta >0,}$ шкала (настоящий)
Поддерживать	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}e^{-(z+e^{-z})}}$ куда ${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\beta }}}$
CDF	${\displaystyle e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}}$
Иметь в виду	${\displaystyle \mu +\beta \gamma }$ куда ${\displaystyle \gamma }$ это Константа Эйлера – Маскерони
Медиана	${\displaystyle \mu -\beta \ln(\ln 2)}$
Режим	${\displaystyle \mu }$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\beta ^{2}}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1.14}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {12}{5}}}$
Энтропия	${\displaystyle \ln(\beta )+\gamma +1}$
MGF	${\displaystyle \Gamma (1-\beta t)e^{\mu t}}$
CF	${\displaystyle \Gamma (1-i\beta t)e^{i\mu t}}$

В теория вероятности и статистика, то Распределение Гамбеля (обобщенное распределение экстремальных значений, тип I) используется для моделирования распределения максимума (или минимума) ряда выборок различных распределений.

Это распределение можно использовать для представления распределения максимального уровня реки в конкретном году, если существует список максимальных значений за последние десять лет. Это полезно для прогнозирования вероятности возникновения сильного землетрясения, наводнения или другого стихийного бедствия. Потенциальная применимость распределения Гамбеля для представления распределения максимумов связана с теория экстремальных ценностей, что указывает на то, что, вероятно, будет полезно, если распределение базовых данных выборки будет нормального или экспоненциального типа. В этой статье распределение Гамбеля используется для моделирования распределения максимального значения.. Чтобы смоделировать минимальное значение, используйте отрицательное из исходных значений.

Распределение Гумбеля является частным случаем обобщенное распределение экстремальных значений (также известное как распределение Фишера-Типпета). Он также известен как бревно-Распределение Вейбулла и двойное экспоненциальное распределение (термин, который иногда используется для обозначения Распределение Лапласа ). Это связано с Распределение Гомперца: когда его плотность сначала отражается относительно начала координат, а затем ограничивается положительной полупрямой, получается функция Гомперца.

в скрытая переменная формулировка полиномиальный логит модель - общее в дискретный выбор теория - ошибки скрытых переменных следуют распределению Гамбеля. Это полезно, потому что разница двух распределенных по Гамбелю случайные переменные имеет логистическая дистрибуция.

Распределение Gumbel названо в честь Эмиль Юлиус Гамбель (1891–1966) на основе его оригинальных статей, описывающих распределение.^[1][2]

Определения

В кумулятивная функция распределения распределения Гамбеля составляет

${\displaystyle F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}.\,}$

Стандартная раздача Gumbel

Стандартное распределение Гумбеля - это случай, когда ${\displaystyle \mu =0}$ и ${\displaystyle \beta =1}$ с кумулятивной функцией распределения

${\displaystyle F(x)=e^{-e^{(-x)}}\,}$

и функция плотности вероятности

${\displaystyle f(x)=e^{-(x+e^{-x})}.}$

В этом случае режим 0, медиана ${\displaystyle -\ln(\ln(2))\approx 0.3665}$, среднее значение ${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$ (в Константа Эйлера – Маскерони ), а стандартное отклонение равно ${\displaystyle \pi /{\sqrt {6}}\approx 1.2825.}$

Кумулянты для n> 1 равны

${\displaystyle \kappa _{n}=(n-1)!\zeta (n).}$

Характеристики

Режим - μ, а медиана - ${\displaystyle \mu -\beta \ln \left(\ln 2\right),}$ и среднее значение дается

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu +\gamma \beta }$,

куда ${\displaystyle \gamma }$ это Постоянная Эйлера-Маскерони.

Стандартное отклонение ${\displaystyle \sigma }$ является ${\displaystyle \beta \pi /{\sqrt {6}}}$ следовательно ${\displaystyle \beta =\sigma {\sqrt {6}}/\pi \approx 0.78\sigma .}$ ^[3]

В режиме, где ${\displaystyle x=\mu }$, значение ${\displaystyle F(x;\mu ,\beta )}$ становится ${\displaystyle e^{-1}\approx 0.37}$, независимо от стоимости ${\displaystyle \beta .}$

Связанные дистрибутивы

• Если ${\displaystyle X}$ имеет распределение Гумбеля, то условное распределение Y = −X при условии Y положительно, или, что то же самое, при условии, что Икс отрицательный, имеет Распределение Гомперца. Cdf грамм из Y относится к F, cdf Икс, по формуле ${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq -y|X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)}$ за у> 0. Следовательно, плотности связаны соотношением ${\displaystyle g(y)=f(-y)/F(0)}$: the Плотность Гомперца пропорциональна плотности отраженного гамбеля, ограниченная положительной полупрямой.^[4]
• Если Икс - экспоненциально распределенная переменная со средним значением 1, то −log (Икс) имеет стандартную раздачу Gumbel.
• Если ${\displaystyle X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )}$ и ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )}$ тогда ${\displaystyle X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\,}$ (видеть Логистическая дистрибуция ).
• Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )}$ тогда ${\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\,}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle E(X+Y)=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =E\left(\mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\right)}$.

Теория, связанная с обобщенное многомерное гамма-распределение предоставляет многовариантную версию распределения Гамбеля.

Возникновение и приложения

Распределительная арматура с группа уверенности кумулятивного распределения Гамбеля до максимальных однодневных осадков в октябре.^[5]

Гамбель показал, что максимальное значение (или последнее статистика заказов ) в образце случайная переменная после экспоненциальное распределение минус натуральный логарифм размера выборки ^[6] приближается к распределению Гамбеля с увеличением размера выборки.^[7]

В гидрология, поэтому распределение Гамбеля используется для анализа таких переменных, как месячные и годовые максимальные значения суточных осадков и объемов речного стока,^[3] а также для описания засух.^[8]

Гамбель также показал, что оценщик ​^р⁄_(п+1) для вероятности события - где р - порядковый номер наблюдаемого значения в ряду данных и п это общее количество наблюдений - это объективный оценщик из кумулятивная вероятность вокруг Режим распределения. Поэтому эту оценку часто используют в качестве положение на графике.

В теория чисел, распределение Гумбеля приближает количество членов в случайном разделение целого числа^[9] а также размеры максимальных основные промежутки и максимальные промежутки между основные созвездия.^[10]

В машинное обучение, распределение Гамбеля иногда используется для генерации выборок из категориальное распределение.^[11]

Вычислительные методы

Бумага вероятностей

Лист миллиметровой бумаги с распределением Гамбеля.

Во времена, предшествующие программному обеспечению, для описания распределения Гамбеля использовалась вероятностная бумага (см. Иллюстрацию). Работа основана на линеаризации кумулятивной функции распределения. ${\displaystyle F}$ :

${\displaystyle -\ln[-\ln(F)]=(x-\mu )/\beta }$

В статье горизонтальная ось построена в двойном логарифмическом масштабе. Вертикальная ось линейная. Построив ${\displaystyle F}$ на горизонтальной оси бумаги и ${\displaystyle x}$-переменная по вертикальной оси, распределение представлено прямой линией с наклоном 1${\displaystyle /\beta }$. Когда распределительная арматура программное обеспечение как CumFreq стало доступно, задача построения графика распределения была упрощена, как показано в следующем разделе.

Генерация Гамбеля варьируется

Поскольку функция квантиля (обратная кумулятивная функция распределения ), ${\displaystyle Q(p)}$, распределения Гамбеля определяется выражением

${\displaystyle Q(p)=\mu -\beta \ln(-\ln(p)),}$

разнообразный ${\displaystyle Q(U)}$ имеет распределение Гумбеля с параметрами ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \beta }$ когда случайное изменение ${\displaystyle U}$ взят из равномерное распределение на интервале ${\displaystyle (0,1)}$.

Смотрите также

• Распределение гамбелей типа 1
• Распределение Гамбеля Тип-2
• Теория экстремальных ценностей
• Обобщенное распределение экстремальных значений
• Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко.
• Эмиль Юлиус Гамбель

Рекомендации

1. Гамбель, Э.Дж. (1935), "Les valeurs extrêmes des distributions statistiques" (PDF), Annales de l'Institut Анри Пуанкаре, 5 (2): 115–158
2. Гамбель Э.Дж. (1941). «Период возврата паводковых потоков». Анналы математической статистики, 12, 163–190.
3. Остербан, Р.Дж. (1994). «Глава 6 Частотный и регрессионный анализ» (PDF). В Ритземе Х. (ред.). Принципы и применение дренажа, Публикация 16. Вагенинген, Нидерланды: Международный институт мелиорации и улучшения земель (ILRI). стр.175–224. ISBN  90-70754-33-9.
4. Willemse, W.J .; Каас, Р. (2007). «Рациональная реконструкция моделей смертности, основанных на дряхлости, путем обобщения закона смертности Гомперца» (PDF). Страхование: математика и экономика. 40 (3): 468. Дои:10.1016 / j.insmatheco.2006.07.003.
5. CumFreq, программа для аппроксимации распределения вероятностей
6. [https://math.stackexchange.com/questions/3527556/gumbel-distribution-and-exponential-distribution?noredirect=1#comment7669633_3527556 user49229, Распределение Гумбеля и экспоненциальное распределение]
7. Гамбель, Э.Дж. (1954). Статистическая теория экстремальных значений и некоторые практические приложения. Прикладная математика. 33 (1-е изд.). Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов. КАК В  Б0007ДШГ4.
8. Берк, Элеонора Дж .; Перри, Ричард Х. Дж .; Браун, Саймон Дж. (2010). «Экстремальный анализ засухи в Великобритании и прогнозы изменений в будущем». Журнал гидрологии. 388 (1–2): 131–143. Bibcode:2010JHyd..388..131B. Дои:10.1016 / j.jhydrol.2010.04.035.
9. Эрдеш, Пауль; Ленер, Джозеф (1941). «Распределение количества слагаемых в разбиениях натурального числа». Математический журнал герцога. 8 (2): 335. Дои:10.1215 / S0012-7094-41-00826-8.
10. Курбатов, А. (2013). «Максимальные промежутки между простыми наборами k: статистический подход». Журнал целочисленных последовательностей. 16. arXiv:1301.2242. Bibcode:2013arXiv1301.2242K. Статья 13.5.2.
11. Адамс, Райан. «Уловка Гамбеля-Макса для дискретных распределений».

внешняя ссылка