Гостиницы Т-квадратное распределение - Hotellings T-squared distribution - Wikipedia

«Многовариантное тестирование» перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Многовариантное тестирование (значения).

Ти Хотеллинга² распределение

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	п - размерность случайных величин м - в зависимости от размера выборки
Поддерживать	${\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}$ если ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$ иначе.

В статистика, особенно в проверка гипотезы, то Хотеллинга Т-квадратное распределение (Т²), предложено Гарольд Хотеллинг,^[1] это многомерное распределение вероятностей это тесно связано с F-распределение и наиболее примечателен тем, что возникает как распределение набора статистика выборки которые являются естественным обобщением статистики, лежащей в основе Студенты т-распределение.

В Хотеллинга т-квадратная статистика (т²) является обобщением Студенты т-статистический что используется в многомерный проверка гипотезы.^[2]

Распределение

Мотивация

Распределение возникает в многомерная статистика в начинании тесты различий между (многомерными) средними для разных популяций, где тесты для одномерных задач будут использовать т-тест Дистрибутив назван в честь Гарольд Хотеллинг, который разработал его как обобщение студенческого т-распределение.^[1]

Определение

Если вектор ${\displaystyle d}$ является Многомерное распределение по Гауссу с нулевым средним и единицей измерения ковариационная матрица ${\displaystyle N(\mathbf {0} _{p},\mathbf {I} _{p,p})}$ и ${\displaystyle M}$ это ${\displaystyle p\times p}$ матрица с единицей масштабная матрица и м степени свободы с Распределение Уишарта ${\displaystyle W(\mathbf {I} _{p,p},m)}$, то Квадратичная форма ${\displaystyle md^{T}M^{-1}d}$ имеет распределение Хотеллинга, ${\displaystyle T^{2}(p,m)}$, с параметром ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle m}$.^[3]

Если случайная величина Икс имеет Хотеллинг Т-квадратное распределение, ${\displaystyle X\sim T_{p,m}^{2}}$, тогда:^[1]

${\displaystyle {\frac {m-p+1}{pm}}X\sim F_{p,m-p+1}}$

куда ${\displaystyle F_{p,m-p+1}}$ это F-распределение с параметрами п и м − п + 1.

Прогнозирование статистики t-квадрат

Позволять ${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}}$ быть выборочная ковариация:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'}$

где мы обозначаем транспонировать по апостроф. Можно показать, что ${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}}$ это положительный (полу) определенный матрица и ${\displaystyle (n-1){\hat {\mathbf {\Sigma } }}}$ следует за п-variate Распределение Уишарта с п−1 степени свободы.^[4] Примерная ковариационная матрица среднего значения имеет вид ${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\overline {\mathbf {x} }}={\hat {\mathbf {\Sigma } }}/n}$.^{[требуется разъяснение ]}

В Хотеллинга т-квадратная статистика тогда определяется как:^[5]

${\displaystyle t^{2}=({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\overline {\mathbf {x} }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }}),}$

который пропорционален расстояние между выборочным средним и ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$. Из-за этого следует ожидать, что статистика будет принимать низкие значения, если ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\cong {\boldsymbol {\mu }}}$, и высокие значения, если они разные.

От распределение,

${\displaystyle t^{2}\sim T_{p,n-1}^{2}={\frac {p(n-1)}{n-p}}F_{p,n-p},}$

куда ${\displaystyle F_{p,n-p}}$ это F-распределение с параметрами п и п − п. Чтобы рассчитать п-ценить (не связано с п здесь переменная), обратите внимание, что распределение ${\displaystyle t^{2}}$ эквивалентно означает, что

${\displaystyle {\frac {n-p}{p(n-1)}}t^{2}\sim F_{p,n-p}.}$

Затем используйте количество слева, чтобы оценить п-значение, соответствующее образцу, которое происходит от F-распределение. А область доверия также может быть определено с использованием аналогичной логики.

Мотивация

Дальнейшая информация: Многомерное нормальное распределение § Интервал

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}$ обозначить п-вариантное нормальное распределение с место расположения ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ и известный ковариация ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$. Позволять

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}$

быть п независимые одинаково распределенные (iid) случайные переменные, который можно представить как ${\displaystyle p\times 1}$ векторы-столбцы действительных чисел. Определять

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n}}{n}}}$

быть выборочное среднее с ковариацией ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }_{\bar {\mathbf {x} }}={\mathbf {\Sigma } }/n}$. Можно показать, что

${\displaystyle ({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {\Sigma } }_{\bar {\mathbf {x} }}^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})\sim \chi _{p}^{2},}$

куда ${\displaystyle \chi _{p}^{2}}$ это распределение хи-квадрат с п степени свободы.^[6]

Доказательство —

Чтобы показать это, используйте тот факт, что ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } }/n)}$и получить характеристическая функция случайной величины ${\displaystyle \mathbf {y} =({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {\Sigma } }_{\bar {\mathbf {x} }}^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})=({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'({\mathbf {\Sigma } }/n)^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}$. Как обычно, пусть ${\displaystyle |\cdot |}$ обозначить детерминант аргумента, как в ${\displaystyle |{\boldsymbol {\Sigma }}|}$.

По определению характеристической функции имеем:^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{\mathbf {y} }(\theta )&=\operatorname {E} e^{i\theta \mathbf {y} },\\[5pt]&=\operatorname {E} e^{i\theta ({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'({\mathbf {\Sigma } }/n)^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}\\[5pt]&=\int e^{i\theta ({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'n{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}(2\pi )^{-p/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}\,e^{-(1/2)({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'n{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}\cdots dx_{p}\end{aligned}}}$

Внутри интеграла две экспоненты, поэтому, умножая экспоненты, мы складываем показатели вместе, получая:

${\displaystyle {\begin{aligned}&=\int (2\pi )^{-p/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}\,e^{-(1/2)({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'n({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}\cdots dx_{p}\end{aligned}}}$

Теперь возьмем термин ${\displaystyle |{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}}$ от интеграла, и умножьте все на тождество ${\displaystyle I=|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{1/2}\;\cdot \;|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{-1/2}}$, поместив одну из них внутрь интеграла:

${\displaystyle {\begin{aligned}&=|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{1/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}\int (2\pi )^{-p/2}|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{-1/2}\,e^{-(1/2)n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}\cdots dx_{p}\end{aligned}}}$

Но член внутри интеграла - это в точности функция плотности вероятности многомерное нормальное распределение с ковариационной матрицей ${\displaystyle ({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n=\left[n({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})\right]^{-1}}$ и значит ${\displaystyle \mu }$, поэтому при интеграции по всем ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{p}}$, он должен уступить ${\displaystyle 1}$ согласно аксиомы вероятности.^{[требуется разъяснение ]} Таким образом, мы получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}&=\left|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}\cdot {\frac {1}{n}}\right|^{1/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}\\&=\left|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}\cdot {\frac {1}{\cancel {n}}}\cdot {\cancel {n}}\cdot {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\right|^{1/2}\\&=\left|\left[({\cancel {{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}}-2i\theta {\cancel {{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}}){\cancel {\boldsymbol {\Sigma }}}\right]^{-1}\right|^{1/2}\\&=|\mathbf {I} _{p}-2i\theta \mathbf {I} _{p}|^{-1/2}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle I_{p}}$ является единичной матрицей размерности ${\displaystyle p}$. Наконец, вычисляя определитель, получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}&=(1-2i\theta )^{-p/2}\end{aligned}}}$

которая является характеристической функцией для распределение хи-квадрат с ${\displaystyle p}$ степени свободы. ${\displaystyle \;\;\;\blacksquare }$

Статистика по двум выборкам

Если ${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n_{x}}\sim N_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {V} })}$ и ${\displaystyle {\mathbf {y} }_{1},\dots ,{\mathbf {y} }_{n_{y}}\sim N_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {V} })}$, с образцами независимо взят из двух независимый многомерные нормальные распределения с тем же средним значением и ковариацией, и мы определяем

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}={\frac {1}{n_{x}}}\sum _{i=1}^{n_{x}}\mathbf {x} _{i}\qquad {\overline {\mathbf {y} }}={\frac {1}{n_{y}}}\sum _{i=1}^{n_{y}}\mathbf {y} _{i}}$

как означает образец, и

${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {x} }={\frac {1}{n_{x}-1}}\sum _{i=1}^{n_{x}}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {y} }={\frac {1}{n_{y}-1}}\sum _{i=1}^{n_{y}}(\mathbf {y} _{i}-{\overline {\mathbf {y} }})(\mathbf {y} _{i}-{\overline {\mathbf {y} }})'}$

как соответствующие выборочные ковариационные матрицы. потом

${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}={\frac {(n_{x}-1){\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {x} }+(n_{y}-1){\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {y} }}{n_{x}+n_{y}-2}}}$

беспристрастный объединенная матрица ковариаций оценка (расширение совокупная дисперсия ).

Наконец, Двухвыборка Хотеллинга т-квадратная статистика является

${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{x}n_{y}}{n_{x}+n_{y}}}({\overline {\mathbf {x} }}-{\overline {\mathbf {y} }})'{\hat {\mathbf {\Sigma } }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\overline {\mathbf {y} }})\sim T^{2}(p,n_{x}+n_{y}-2)}$

Связанные понятия

Его можно связать с F-распределением следующим образом:^[4]

${\displaystyle {\frac {n_{x}+n_{y}-p-1}{(n_{x}+n_{y}-2)p}}t^{2}\sim F(p,n_{x}+n_{y}-1-p).}$

Ненулевое распределение этой статистики - это нецентральное F-распределение (отношение нецентральный хи-квадрат случайная величина и независимый центральный Хи-квадрат случайная переменная)

${\displaystyle {\frac {n_{x}+n_{y}-p-1}{(n_{x}+n_{y}-2)p}}t^{2}\sim F(p,n_{x}+n_{y}-1-p;\delta ),}$

с

${\displaystyle \delta ={\frac {n_{x}n_{y}}{n_{x}+n_{y}}}{\boldsymbol {\nu }}'\mathbf {V} ^{-1}{\boldsymbol {\nu }},}$

куда ${\displaystyle {\boldsymbol {\nu }}=\mathbf {{\overline {x}}-{\overline {y}}} }$ - вектор разницы между средними значениями населения.

В случае двух переменных формула красиво упрощается, позволяя понять, как корреляция ${\displaystyle \rho }$, между переменными влияет ${\displaystyle t^{2}}$. Если мы определим

${\displaystyle d_{1}={\overline {x}}_{1}-{\overline {y}}_{1},\qquad d_{2}={\overline {x}}_{2}-{\overline {y}}_{2}}$

и

${\displaystyle s_{1}={\sqrt {W_{11}}}\qquad s_{2}={\sqrt {W_{22}}}\qquad \rho =W_{12}/(s_{1}s_{2})=W_{21}/(s_{1}s_{2})}$

тогда

${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{x}n_{y}}{(n_{x}+n_{y})(1-r^{2})}}\left[\left({\frac {d_{1}}{s_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {d_{2}}{s_{2}}}\right)^{2}-2\rho \left({\frac {d_{1}}{s_{1}}}\right)\left({\frac {d_{2}}{s_{2}}}\right)\right]}$

Таким образом, если различия в двух строках вектора ${\displaystyle ({\overline {\mathbf {x} }}-{\overline {\mathbf {y} }})}$ одного знака, как правило, ${\displaystyle t^{2}}$ становится меньше как ${\displaystyle \rho }$ становится более позитивным. Если различия противоположного знака ${\displaystyle t^{2}}$ становится больше как ${\displaystyle \rho }$ становится более позитивным.

Одномерный частный случай можно найти в T-критерий Велча.

В литературе были предложены более надежные и мощные тесты, чем двухвыборочный тест Хотеллинга, см., Например, тесты на основе расстояния между точками, которые могут применяться также, когда количество переменных сравнимо или даже больше, чем количество испытуемых.^[8][9]

Смотрите также

• Студенты т-тест в одномерной статистике
• Студенты т-распределение в одномерной теории вероятностей
• Многомерное распределение студентов
• F-распределение (обычно представлены в виде таблиц или доступны в программных библиотеках и, следовательно, используются для тестирования Т-квадратная статистика с использованием отношения, указанного выше)
• Лямбда-распределение Уилкса (в многомерная статистика, Уилкса Λ принадлежит Хотеллингу Т² в качестве Снедекора F должен Студенты т в одномерной статистике)

Рекомендации

1. Хотеллинг, Х. (1931). «Обобщение коэффициента Стьюдента». Анналы математической статистики. 2 (3): 360–378. Дои:10.1214 / aoms / 1177732979.
2. Johnson, R.A .; Wichern, D.W. (2002). Прикладной многомерный статистический анализ. 5. Зал Прентис.
3. Эрик В. Вайсштейн, MathWorld
4. Mardia, K. V .; Kent, J. T .; Бибби, Дж. М. (1979). Многомерный анализ. Академическая пресса. ISBN  978-0-12-471250-8.
5. «6.5.4.3. Отель Хотеллинга Т в квадрате ".
6. Конец главы 4.2. Джонсон, Р.А. И Уичерн, Д. (2002)
7. Биллингсли, П. (1995). «26. Характеристические функции». Вероятность и мера (3-е изд.). Вайли. ISBN  978-0-471-00710-4.
8. Мароцци, М. (2016). «Многовариантные тесты на основе межточечных расстояний с приложением к магнитно-резонансной томографии». Статистические методы в медицинских исследованиях. 25 (6): 2593–2610. Дои:10.1177/0962280214529104. PMID  24740998.
9. Мароцци, М. (2015). «Многофакторные многомерные тесты для многомерных исследований методом случай-контроль с малым размером выборки». Статистика в медицине. 34 (9): 1511–1526. Дои:10.1002 / sim.6418. PMID  25630579.

внешняя ссылка

• Прохоров, А. (2001) [1994], Т²-распределение "Хотеллинг" Т²-распределение", Энциклопедия математики, EMS Press