Полунормальное распределение - Half-normal distribution - Wikipedia

Полунормальное распределение

Функция плотности вероятности ${\displaystyle \sigma =1}$
Кумулятивная функция распределения ${\displaystyle \sigma =1}$
Параметры	${\displaystyle \sigma >0}$ — (шкала )
Поддерживать	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad x>0}$
CDF	${\displaystyle F(x;\sigma )=\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$
Квантиль	${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(F)}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}$
Медиана	${\displaystyle \sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)}$
Режим	${\displaystyle 0}$
Дисперсия	${\displaystyle \sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(4-\pi )}{(\pi -2)^{3/2}}}\approx 0.9952717}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {8(\pi -3)}{(\pi -2)^{2}}}}$
Энтропия	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)-1}$

В теории вероятностей и статистике полунормальное распределение это частный случай сложенное нормальное распределение.

Позволять ${\displaystyle X}$ следовать обычным нормальное распределение, ${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$, тогда ${\displaystyle Y=|X|}$ следует полунормальному распределению. Таким образом, полунормальное распределение представляет собой складку в среднем от обычного нормального распределения с нулевым средним.

Характеристики

С использованием ${\displaystyle \sigma }$ параметризация нормального распределения, функция плотности вероятности (PDF) полунормального определяется выражением

${\displaystyle f_{Y}(y;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad y\geq 0,}$

куда ${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}$.

В качестве альтернативы можно использовать параметризацию с масштабированной точностью (обратная дисперсии) (чтобы избежать проблем, если ${\displaystyle \sigma }$ близка к нулю), полученная положением ${\displaystyle \theta ={\frac {\sqrt {\pi }}{\sigma {\sqrt {2}}}}}$, то функция плотности вероятности дан кем-то

${\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\frac {2\theta }{\pi }}\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}}{\pi }}\right)\quad y\geq 0,}$

куда ${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }}}$.

В кумулятивная функция распределения (CDF) определяется как

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )=\int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,dx}$

Использование замены переменных ${\displaystyle z=x/({\sqrt {2}}\sigma )}$, CDF можно записать как

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp \left(-z^{2}\right)dz=\operatorname {erf} \left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

где erf - это функция ошибки, стандартная функция во многих математических программных пакетах.

Функция квантиля (или обратная функция CDF) записывается:

${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(F)}$

куда ${\displaystyle 0\leq F\leq 1}$ и ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}}$ это функция обратной ошибки

Тогда ожидание выражается как

${\displaystyle E[Y]=\sigma {\sqrt {2/\pi }},}$

Дисперсия определяется как

${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right).}$

Поскольку это пропорционально дисперсии σ² из Икс, σ можно рассматривать как масштабный параметр нового распределения.

Дифференциальная энтропия полунормального распределения ровно на один бит меньше дифференциальной энтропии нормального распределения с нулевым средним и тем же вторым моментом около 0. Это можно понять интуитивно, поскольку оператор величины уменьшает информацию на один бит (если вероятность распределение на его входе четное). В качестве альтернативы, поскольку полунормальное распределение всегда положительно, один бит, который потребуется для записи того, была ли стандартная нормальная случайная величина положительной (скажем, 1) или отрицательной (скажем, 0), больше не требуется. Таким образом,

${\displaystyle h(Y)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left({\frac {\pi e\sigma ^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)-1.}$

Приложения

Полунормальное распределение обычно используется как априорное распределение вероятностей за отклонение параметры в Байесовский вывод Приложения.^[1][2]

Оценка параметров

Данные числа ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$ полученный из полунормального распределения, неизвестный параметр ${\displaystyle \sigma }$ этого распределения можно оценить методом максимальная вероятность, давая

${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

Смещение равно

${\displaystyle b\equiv \operatorname {E} {\bigg [}\;({\hat {\sigma }}_{\mathrm {mle} }-\sigma )\;{\bigg ]}=-{\frac {\sigma }{4n}}}$

что дает оценщик максимального правдоподобия с поправкой на смещение

${\displaystyle {\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}^{*}={\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}-{\hat {b\,}}.}$

Связанные дистрибутивы

• Распределение является частным случаем сложенное нормальное распределение с μ = 0.
• Оно также совпадает с нормальным распределением с нулевым средним, усеченным снизу в нуле (см. усеченное нормальное распределение )
• Если Y имеет полунормальное распределение, то (Y/σ)² имеет распределение хи-квадрат с 1 степенью свободы, т.е. Y/σ имеет распределение ци с 1 степенью свободы.
• Полунормальное распределение - это частный случай обобщенное гамма-распределение с d = 1, п = 2, а = ${\displaystyle {\sqrt {2}}\sigma }$.
• Если Y имеет полунормальное распределение, Y ^-2 имеет Распределение Леви
• В Распределение Рэлея является многомерным обобщением полунормального распределения.

Смотрите также

• половина-т распределение
• усеченное нормальное распределение
• сложенное нормальное распределение
• выпрямленное гауссово распределение

Рекомендации

1. Гельман, А. (2006), "Априорные распределения параметров дисперсии в иерархических моделях", Байесовский анализ, 1 (3): 515–534, Дои:10.1214 / 06-ba117a
2. Röver, C .; Бендер, Р .; Dias, S .; Schmid, C.H .; Schmidli, H .; Sturtz, S .; Вебер, С .; Friede, T. (2020), О малоинформативных априорных распределениях для параметра неоднородности в метаанализе байесовских случайных эффектов, arXiv:2007.08352

дальнейшее чтение

• Leone, F.C .; Нельсон, Л. С .; Ноттингем, Р. Б. (1961), "Сложенное нормальное распределение", Технометрика, 3 (4): 543–550, Дои:10.2307/1266560, HDL:2027 / mdp.39015095248541, JSTOR  1266560

внешняя ссылка

• Полунормальное распределение в MathWorld

(обратите внимание, что MathWorld использует параметр ${\displaystyle \theta ={\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\pi /2}}}$