Раздача риса - Rice distribution - Wikipedia

В 2D-плоскости выберите фиксированную точку на расстоянии ν от происхождения. Создайте распределение 2D-точек с центром в этой точке, где Икс и у координаты выбираются независимо от Гауссово распределение со стандартным отклонением σ (синяя область). Если р - расстояние от этих точек до начала координат, тогда р имеет распределение риса.

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle \nu \geq 0}$, Расстояние между опорной точкой и центром распределения двумерный, ${\displaystyle \sigma \geq 0}$, распространять
Поддерживать	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)}$
CDF	${\displaystyle 1-Q_{1}\left({\frac {\nu }{\sigma }},{\frac {x}{\sigma }}\right)}$ куда Q1 это Q-функция Маркума
Иметь в виду	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$
Дисперсия	${\displaystyle 2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-{\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}L_{1/2}^{2}\left({\frac {-\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
Асимметрия	(сложно)
Бывший. эксцесс	(сложно)

В теория вероятности, то Раздача риса или же Райское распределение (или, реже, Распределение риса) это распределение вероятностей величины циркулярно-симметричной двумерная нормальная случайная величина, возможно, с ненулевым средним (нецентральным). Он был назван в честь Стивен О. Райс.

Характеристика

В функция плотности вероятности является

${\displaystyle f(x\mid \nu ,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right),}$

куда я₀(z) является модифицированным Функция Бесселя первого рода с нулевым порядком.

В контексте Rician увядание, дистрибутив также часто переписывается с использованием Параметр формы ${\displaystyle K={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$, определяемый как отношение вкладов мощности от трассы прямой видимости к остальным многолучевым путям, и Масштабный параметр ${\displaystyle \Omega =\nu ^{2}+2\sigma ^{2}}$, определяемая как общая мощность, полученная на всех путях.^[1]

В характеристическая функция распределения Райса задается как:^[2][3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{X}(t\mid \nu ,\sigma )=\exp \left(-{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)&\left[\Psi _{2}\left(1;1,{\frac {1}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right.\\[8pt]&\left.{}+i{\sqrt {2}}\sigma t\Psi _{2}\left({\frac {3}{2}};1,{\frac {3}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)}$ один из Конфлюэнтные гипергеометрические функции Хорна с двумя переменными и сходящаяся для всех конечных значений ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Выдается:^[4][5]

${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}},}$

куда

${\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\cdots (x+n-1)={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}$

это возрастающий факториал.

Характеристики

Моменты

Первые несколько сырые моменты находятся:

${\displaystyle \mu _{1}^{'}=\sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$

${\displaystyle \mu _{2}^{'}=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}\,}$

${\displaystyle \mu _{3}^{'}=3\sigma ^{3}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{3/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$

${\displaystyle \mu _{4}^{'}=8\sigma ^{4}+8\sigma ^{2}\nu ^{2}+\nu ^{4}\,}$

${\displaystyle \mu _{5}^{'}=15\sigma ^{5}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{5/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$

${\displaystyle \mu _{6}^{'}=48\sigma ^{6}+72\sigma ^{4}\nu ^{2}+18\sigma ^{2}\nu ^{4}+\nu ^{6}\,}$

и, в общем, сырые моменты даются

${\displaystyle \mu _{k}^{'}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1\!+\!k/2)\,L_{k/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).\,}$

Здесь L_q(Икс) обозначает Полином Лагерра:

${\displaystyle L_{q}(x)=L_{q}^{(0)}(x)=M(-q,1,x)=\,_{1}F_{1}(-q;1;x)}$

куда ${\displaystyle M(a,b,z)=_{1}F_{1}(a;b;z)}$ это конфлюэнтная гипергеометрическая функция первого вида. Когда k четно, необработанные моменты становятся простыми полиномами от σ и ν, как в примерах выше.

По делу q = 1/2:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1/2}(x)&=\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}};1;x\right)\\&=e^{x/2}\left[\left(1-x\right)I_{0}\left(-{\frac {x}{2}}\right)-xI_{1}\left(-{\frac {x}{2}}\right)\right].\end{aligned}}}$

Второй центральный момент, то отклонение, является

${\displaystyle \mu _{2}=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-(\pi \sigma ^{2}/2)\,L_{1/2}^{2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle L_{1/2}^{2}(\cdot )}$ обозначает квадрат полинома Лагерра ${\displaystyle L_{1/2}(\cdot )}$, а не обобщенный многочлен Лагерра ${\displaystyle L_{1/2}^{(2)}(\cdot ).}$

Связанные дистрибутивы

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(|\nu |,\sigma \right)}$ если ${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ куда ${\displaystyle X\sim N\left(\nu \cos \theta ,\sigma ^{2}\right)}$ и ${\displaystyle Y\sim N\left(\nu \sin \theta ,\sigma ^{2}\right)}$ являются статистически независимыми нормальными случайными величинами и ${\displaystyle \theta }$ - любое действительное число.
• Другой случай, когда ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$ происходит из следующих шагов:

1. Создать ${\displaystyle P}$ иметь распределение Пуассона с параметром (также означает, для Пуассона) ${\displaystyle \lambda ={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.}$

2. Создать ${\displaystyle X}$ иметь распределение хи-квадрат с 2п + 2 степени свободы.

3. Установить ${\displaystyle R=\sigma {\sqrt {X}}.}$

• Если ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$ тогда ${\displaystyle R^{2}}$ имеет нецентральное распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы и параметром нецентральности ${\displaystyle \nu ^{2}}$.
• Если ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$ тогда ${\displaystyle R}$ имеет нецентральное распределение ци с двумя степенями свободы и параметром нецентральности ${\displaystyle \nu }$.
• Если ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$ тогда ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$, т.е. для частного случая распределения Райса, задаваемого формулой ${\displaystyle \nu =0}$, распределение принимает вид Распределение Рэлея, для которого дисперсия ${\displaystyle \mu _{2}={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$.
• Если ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$ тогда ${\displaystyle R^{2}}$ имеет экспоненциальное распределение.^[6]
• Если ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$ тогда ${\displaystyle 1/R}$ имеет обратное райсовское распределение.^[7]

• В сложенное нормальное распределение является одномерным частным случаем распределения Райса.

Предельные случаи

При больших значениях аргумента полином Лагерра принимает вид^[8]

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }L_{\nu }(x)={\frac {|x|^{\nu }}{\Gamma (1+\nu )}}.}$

Видно, что как ν становится большим или σ становится малым, среднее значение становится ν и дисперсия становится σ².

Переход к гауссовскому приближению происходит следующим образом. Из теории функций Бесселя имеем

${\displaystyle I_{\alpha }(z)\rightarrow {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+\cdots \right){\text{ as }}z\rightarrow \infty }$

Итак, в целом ${\displaystyle x\nu /\sigma ^{2}}$ область, асимптотическое разложение рисовского распределения:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,\nu ,\sigma )={}&{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)\\{\text{ is }}\\&{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{2\pi x\nu }}}\exp \left({\frac {2x\nu }{2\sigma ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma ^{2}}{8x\nu }}+\cdots \right)\\\rightarrow {}&{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\nu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {x}{\nu }}},\;\;\;{\text{ as }}{\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\rightarrow \infty \end{aligned}}}$

Более того, когда плотность сосредоточена вокруг ${\textstyle \nu }$ и ${\textstyle |x-\nu |\ll \sigma }$ из-за показателя Гаусса мы также можем написать ${\displaystyle {\sqrt {\frac {x}{\nu }}}\approx 1}$ и, наконец, получить нормальное приближение

${\displaystyle f(x,\nu ,\sigma )\approx {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\nu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),\;\;\;{\frac {\nu }{\sigma }}\gg 1}$

Приближение становится пригодным для ${\displaystyle {\frac {\nu }{\sigma }}>3}$

Оценка параметров (метод инверсии Коая)

Существует три различных метода оценки параметров распределения Райса (1) метод моментов,^{[9][10][11][12]} (2) метод максимального правдоподобия,^{[9][10][11][13]} и (3) метод наименьших квадратов.^{[нужна цитата ]} В первых двух методах интерес заключается в оценке параметров распределения ν и σ на основе выборки данных. Это можно сделать, используя метод моментов, например, выборочное среднее и стандартное отклонение выборки. Среднее значение выборки является оценкой μ₁^' а стандартное отклонение выборки является оценкой μ₂^1/2.

Ниже приводится эффективный метод, известный как «техника инверсии Коая».^[14] для решения оценочные уравнения на основе выборочного среднего и выборочного стандартного отклонения одновременно. Этот метод инверсии также известен как фиксированная точка формула SNR. Более ранние работы^[9][15] по методу моментов обычно используют метод поиска корней для решения проблемы, который неэффективен.

Во-первых, отношение выборочного среднего к стандартному отклонению выборки определяется как р, т.е. ${\displaystyle r=\mu _{1}^{'}/\mu _{2}^{1/2}}$. Формула фиксированной точки для отношения сигнал / шум выражается как

${\displaystyle g(\theta )={\sqrt {\xi {(\theta )}\left[1+r^{2}\right]-2}},}$

куда ${\displaystyle \theta }$ - отношение параметров, т.е. ${\displaystyle \theta ={\frac {\nu }{\sigma }}}$, и ${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$ дан кем-то:

${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}=2+\theta ^{2}-{\frac {\pi }{8}}\exp {(-\theta ^{2}/2)}\left[(2+\theta ^{2})I_{0}(\theta ^{2}/4)+\theta ^{2}I_{1}(\theta ^{2}/4)\right]^{2},}$

куда ${\displaystyle I_{0}}$ и ${\displaystyle I_{1}}$ находятся модифицированные функции Бесселя первого рода.

Обратите внимание, что ${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$ коэффициент масштабирования ${\displaystyle \sigma }$ и связан с ${\displaystyle \mu _{2}}$ к:

${\displaystyle \mu _{2}=\xi {\left(\theta \right)}\sigma ^{2}.\,}$

Чтобы найти фиксированную точку, ${\displaystyle \theta ^{*}}$, из ${\displaystyle g}$, выбирается начальное решение, ${\displaystyle {\theta }_{0}}$, что больше нижней границы, равной ${\displaystyle {\theta }_{\mathrm {lowerbound} }=0}$ и происходит, когда ${\displaystyle r={\sqrt {\pi /(4-\pi )}}}$^[14] (Обратите внимание, что это ${\displaystyle r=\mu _{1}^{'}/\mu _{2}^{1/2}}$ распределения Рэлея). Это обеспечивает отправную точку для итерации, в которой используется функциональная композиция,^{[требуется разъяснение ]} и это продолжается до тех пор, пока ${\displaystyle \left|g^{i}\left(\theta _{0}\right)-\theta _{i-1}\right|}$ меньше некоторого небольшого положительного значения. Здесь, ${\displaystyle g^{i}}$ обозначает композицию той же функции, ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle i}$ раз. На практике мы связываем финальную ${\displaystyle \theta _{n}}$ для некоторого целого числа ${\displaystyle n}$ как неподвижная точка, ${\displaystyle \theta ^{*}}$, т.е. ${\displaystyle \theta ^{*}=g\left(\theta ^{*}\right)}$.

Как только фиксированная точка найдена, оценки ${\displaystyle \nu }$ и ${\displaystyle \sigma }$ находятся с помощью функции масштабирования, ${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$, следующее:

${\displaystyle \sigma ={\frac {\mu _{2}^{1/2}}{\sqrt {\xi \left(\theta ^{*}\right)}}},}$

и

${\displaystyle \nu ={\sqrt {\left(\mu _{1}^{'~2}+\left(\xi \left(\theta ^{*}\right)-2\right)\sigma ^{2}\right)}}.}$

Чтобы еще больше ускорить итерацию, можно использовать метод поиска корней Ньютона.^[14] Этот конкретный подход очень эффективен.

Приложения

• В Евклидова норма из двумерный циркулярно-симметричный нормально распределенный случайный вектор.
• Rician увядание (за многолучевые помехи ))
• Влияние ошибки прицеливания на стрельбу по цели.^[16]

Смотрите также

Многомерная модель Rician используется при анализе разнесенных приемников в радиосвязи.^[17][18].

• Распределение Рэлея
• Стивен О. Райс (1907–1986)

Примечания

1. Абди, А. и Тепеделенлиоглу, Ч. и Каве, М., и Гианнакис, Г., "Об оценке параметра K для распределения замираний Райса. ", Письма по коммуникациям IEEE, Март 2001 г., стр. 92–94
2. Лю 2007 (в одной из вырожденных гипергеометрических функций Хорна с двумя переменными).
3. Аннамалай 2000 (в сумме бесконечного ряда).
4. Эрдели 1953.
5. Шривастава 1985.
6. Ричардс, М.А., Распределение риса для RCS, Технологический институт Джорджии (сентябрь 2006 г.)
7. Джонс, Джессика Л., Джойс Маклафлин и Дэниел Ренци. «Распределение шума на изображении скорости поперечной волны, вычисленное с использованием времени прихода в фиксированные пространственные положения»., Обратные задачи 33.5 (2017): 055012.
8. Абрамовиц и Стегун (1968) §13.5.1
9. Талукдар и др. 1991 г.
10. Bonny et al. 1996 г.
11. Sijbers et al. 1998 г.
12. ден Деккер и Сиджберс 2014
13. Варадараджан и Халдар 2015
14. Koay et al. 2006 (известная как формула фиксированной точки SNR).
15. Абди 2001
16. «Баллистипедия». Получено 4 мая 2014.
17. Болье, Норман С; Хемачандра, Касун (сентябрь 2011 г.). "Новые представления для двумерного рисовского распределения". Транзакции IEEE по коммуникациям. 59 (11): 2951–2954. Дои:10.1109 / TCOMM.2011.092011.090171.
18. Дхармаванса, Пратхапасингхе; Раджатева, Нандана; Телламбура, Чинтананда (март 2009 г.). «Представление новой серии для трехвариантного нецентрального распределения хи-квадрат» (PDF). Транзакции IEEE по коммуникациям. 57 (3): 665–675. CiteSeerX  10.1.1.582.533. Дои:10.1109 / TCOMM.2009.03.070083.

Рекомендации

• Абрамовиц М. и Стегун И. А. (ред.), Справочник по математическим функциям, Национальное бюро стандартов, 1964 г .; переизданный Dover Publications, 1965. ISBN  0-486-61272-4
• Райс, С.О., Математический анализ случайного шума. Технический журнал Bell System 24 (1945) 46–156.
• И. Солтани Бозчалой и Мин Лян (20 ноября 2007 г.). «Подход на основе индекса плавности к выбору вейвлет-параметров при устранении шумов и обнаружении неисправностей». Журнал звука и вибрации. 308 (1–2): 253–254. Bibcode:2007JSV ... 308..246B. Дои:10.1016 / j.jsv.2007.07.038.
• Ван, Донг; Чжоу, Цян; Цуй, Квок-Люн (2017). «О распределении модуля вейвлет-коэффициентов Габора и верхней границе безразмерного индекса гладкости в случае аддитивных гауссовских шумов: еще раз». Журнал звука и вибрации. 395: 393–400. Дои:10.1016 / j.jsv.2017.02.013.
• Лю X. и Hanzo L., Единый точный анализ производительности BER асинхронных систем DS-CDMA с использованием модуляции BPSK по каналам с замиранием, IEEE Transactions on Wireless Communications, Volume 6, Issue 10, October 2007, pp. 3504–3509.
• Аннамалай А., Телламбура К. и Бхаргава В. К., Характеристики разнесенного приемника с равным усилением в беспроводных каналах, IEEE Transactions on Communications, Volume 48, October 2000, pp. 1732–1745.
• Эрдели, А., Магнус, В., Оберхеттингер, Ф. и Трикоми, Ф. Г., Высшие трансцендентные функции, том 1. McGraw-Hill Book Company Inc., 1953 год.
• Шривастава Х. М., Карлссон П. В. Кратные гауссовские гипергеометрические ряды. Эллис Хорвуд Лтд., 1985 г.
• Сиджберс Дж., Ден Деккер А. Дж., Шеундерс П. и Ван Дайк Д., «Оценка максимального правдоподобия параметров Райсовского распределения», IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 17, № 3. С. 357–361, (1998).
• Варадараджан Д. и Халдар Дж. П., "Основа" мажоризация-минимизация "для изображений MR Rician и Non-Central Chi", IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 34, нет. 10. С. 2191–2202, (2015)
• den Dekker, A.J., и Sijbers, J (декабрь 2014 г.). «Распределение данных на магнитно-резонансных изображениях: обзор». Physica Medica. 30 (7): 725–741. Дои:10.1016 / j.ejmp.2014.05.002. PMID  25059432.
• Коай, К.Г. и Basser, P.J., Аналитически точная схема коррекции для выделения сигнала из МР-сигналов с шумом, Журнал магнитного резонанса, том 179, выпуск 2, стр. 317–322, (2006)
• Абди, А., Тепеделенлиоглу, К., Каве, М., и Гианнакис, Г. Об оценке параметра K для распределения замираний Райса, IEEE Communications Letters, Volume 5, Number 3, March 2001, pp. 92–94.
• Талукдар, К.К., и Лоуинг, Уильям Д. (март 1991 г.). «Оценка параметров распределения Райса». Журнал Акустического общества Америки. 89 (3): 1193–1197. Bibcode:1991ASAJ ... 89.1193T. Дои:10.1121/1.400532.
• Бонни, Дж. М., Рену, Дж. П., и Занка, М. (ноябрь 1996 г.). «Оптимальное измерение величины и фазы по данным MR». Журнал магнитного резонанса, серия B. 113 (2): 136–144. Bibcode:1996JMRB..113..136B. Дои:10.1006 / jmrb.1996.0166. PMID  8954899.

внешняя ссылка

• Код MATLAB для распределения Rice / Rician (PDF, среднее и дисперсия, а также создание случайных выборок)