Q-функция Маркума - Marcum Q-function

В статистика, то Маркум-Q-функция ${\displaystyle Q_{M}}$ определяется как

${\displaystyle Q_{M}(a,b)=\int _{b}^{\infty }x\left({\frac {x}{a}}\right)^{M-1}\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{M-1}(ax)\,dx}$

или как

${\displaystyle Q_{M}(a,b)=\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\sum _{k=1-M}^{\infty }\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}I_{k}(ab)}$

с модифицированная функция Бесселя ${\displaystyle I_{M-1}}$ порядкаM - 1. Q-функция Marcum используется, например, как кумулятивная функция распределения (точнее, как функция выживания ) за нецентральная ци, нецентральный хи-квадрат и Распределение риса.

Для нецелых значений M, Q-функция Marcum может быть определена как^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{M}(a,b)&=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k}{\frac {\gamma (M+k,{\frac {b^{2}}{2}})}{k!\Gamma (M+k)}}\\[6pt]&=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k}{\frac {P(M+k,{\frac {b^{2}}{2}})}{k!}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle P(s,x)}$ это регуляризованная гамма-функция.

Q-функция Маркума монотонный и бревенчатый.^[2]

Рекомендации

• Маркум, Дж. И. (1950) "Таблица Q-функций". Меморандум об исследованиях RAND ВВС США M-339. Санта-Моника, Калифорния: Rand Corporation, 1 января 1950 г.
• Наттолл, Альберт Х. (1975): Некоторые интегралы, содержащие Q_M Функция, IEEE Transactions по теории информации, 21(1), 95–96, ISSN  0018-9448
• Вайсштейн, Эрик В. Q-функция Marcum. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. [1]

1. А. Аннамалай, К. Телламбура и Джон Матыжас (2009) Новый поворот в обобщенной Q-функции Маркума Q_M(а, б) с дробным порядком M и его приложения., 2009 6-я конференция IEEE Consumer Communications and Networking Conference, 1–5, ISBN  978-1-4244-2308-8
2. Инь Сунь, Арпад Барич и Шидонг Чжоу (2010) О монотонности, логовогнутости и узких границах обобщенных Q-функций Маркума и Наттолла. IEEE Transactions по теории информации, 56(3), 1166–1186, ISSN  0018-9448