Нецентральное распределение ци - Noncentral chi distribution

Нецентральная ци

Параметры	${\displaystyle k>0\,}$ степени свободы ${\displaystyle \lambda >0\,}$
Поддерживать	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}$
PDF	${\displaystyle {\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)}$
CDF	${\displaystyle 1-Q_{\frac {k}{2}}\left(\lambda ,x\right)}$ с Q-функция Маркума ${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)\,}$
Дисперсия	${\displaystyle k+\lambda ^{2}-\mu ^{2}}$, куда ${\displaystyle \mu }$ это среднее

В теория вероятности и статистика, то нецентральное распределение ци это нецентральное обобщение из распределение ци.

Определение

Если ${\displaystyle X_{i}}$ находятся k независимый, нормально распределенный случайные величины со средними значениями ${\displaystyle \mu _{i}}$ и отклонения ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$, то статистика

${\displaystyle Z={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

распределяется согласно нецентральному распределению ци. Нецентральное распределение ци имеет два параметра: ${\displaystyle k}$ который определяет количество степени свободы (т.е. количество ${\displaystyle X_{i}}$), и ${\displaystyle \lambda }$ что связано со средним значением случайных величин ${\displaystyle X_{i}}$ к:

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Характеристики

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (PDF):

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)}$

куда ${\displaystyle I_{\nu }(z)}$ это модифицированный Функция Бесселя первого вида.

Сырые моменты

Первые несколько сырых моменты находятся:

${\displaystyle \mu _{1}^{'}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \mu _{2}^{'}=k+\lambda ^{2}}$

${\displaystyle \mu _{3}^{'}=3{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{3/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \mu _{4}^{'}=(k+\lambda ^{2})^{2}+2(k+2\lambda ^{2})}$

куда ${\displaystyle L_{n}^{(a)}(z)}$ это Функция Лагерра. Обратите внимание, что 2${\displaystyle n}$-й момент такой же, как и ${\displaystyle n}$й момент нецентральное распределение хи-квадрат с ${\displaystyle \lambda }$ заменяется ${\displaystyle \lambda ^{2}}$.

Двумерное нецентральное распределение ци

Позволять ${\displaystyle X_{j}=(X_{1j},X_{2j}),j=1,2,\dots n}$, быть набором п независимые и одинаково распределенные двумерный нормальный случайные векторы с маргинальными распределениями ${\displaystyle N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,2}$, корреляция ${\displaystyle \rho }$, и средний вектор и ковариационная матрица

${\displaystyle E(X_{j})=\mu =(\mu _{1},\mu _{2})^{T},\qquad \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}},}$

с ${\displaystyle \Sigma }$ положительно определенный. Определять

${\displaystyle U=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{1j}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\right]^{1/2},\qquad V=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{2j}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right]^{1/2}.}$

Тогда совместное распределение U, V центральное или нецентральное двумерное распределение хи с п степени свободы.^[1][2]Если один или оба ${\displaystyle \mu _{1}\neq 0}$ или же ${\displaystyle \mu _{2}\neq 0}$ это распределение является нецентральным двумерным распределением хи.

Связанные дистрибутивы

• Если ${\displaystyle X}$ - случайная величина с нецентральным распределением хи, случайная величина ${\displaystyle X^{2}}$ будет иметь нецентральное распределение хи-квадрат. Другие связанные дистрибутивы можно увидеть там.
• Если ${\displaystyle X}$ является чи распространены: ${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$ тогда ${\displaystyle X}$ также нецентрально распределена ци: ${\displaystyle X\sim NC\chi _{k}(0)}$. Другими словами, распределение ци является частным случаем нецентрального распределения хи (т. е. с нулевым параметром нецентральности).
• Нецентральное распределение хи с 2 степенями свободы эквивалентно Раздача риса с ${\displaystyle \sigma =1}$.
• Если Икс следует нецентральному распределению хи с 1 степенью свободы и параметром нецентральности λ, тогда σИкс следует за сложенное нормальное распределение параметры которого равны σλ и σ² для любого значения σ.

Рекомендации

1. Мараката Кришнан (1967). «Нецентральное двумерное распределение ци». SIAM Обзор. 9 (4): 708–714. Дои:10.1137/1009111.
2. П. Р. Кришнайя, П. Хагис младший и Л. Стейнберг (1963). «Примечание о двумерном распределении ци». SIAM Обзор. 5: 140–144. Дои:10.1137/1005034. JSTOR  2027477.