Распределение Скеллама - Skellam distribution

Скеллам

Вероятностная функция масс Примеры функции массы вероятности для распределения Скеллама. По горизонтальной оси отложен индекс k. (Функция определена только при целочисленных значениях k. Соединительные линии не указывают на непрерывность.)
Параметры	${\displaystyle \mu _{1}\geq 0,~~\mu _{2}\geq 0}$
Поддерживать	${\displaystyle \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}}$
PMF	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}\!+\!\mu _{2})}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k/2}\!\!I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$
Иметь в виду	${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}\,}$
Медиана	Нет данных
Дисперсия	${\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}\,}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{3/2}}}}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle 3+1/(\mu _{1}+\mu _{2})\,}$
MGF	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{t}+\mu _{2}e^{-t}}}$
CF	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{it}+\mu _{2}e^{-it}}}$

В Распределение Скеллама это дискретное распределение вероятностей разницы ${\displaystyle N_{1}-N_{2}}$ из двух статистически независимый случайные переменные ${\displaystyle N_{1}}$ и ${\displaystyle N_{2},}$ каждый Распределенный по Пуассону с соответствующими ожидаемые значения ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$. Это полезно при описании статистики разницы двух изображений с помощью простых фотонный шум, а также описание точечный спред распределение по видам спорта, где все набранные очки равны, например бейсбол, хоккей и футбольный.

Распределение также применимо к частному случаю разности зависимых пуассоновских случайных величин, но только к очевидному случаю, когда две переменные имеют общий аддитивный случайный вклад, который нейтрализуется разностью: подробности см. В Karlis & Ntzoufras (2003) и приложение.

В функция массы вероятности для распределения Скеллама для разницы ${\displaystyle K=N_{1}-N_{2}}$ между двумя независимыми случайными величинами с распределением Пуассона со средними ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$ дан кем-то:

${\displaystyle p(k;\mu _{1},\mu _{2})=\Pr\{K=k\}=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$

куда я_k(z) это модифицированная функция Бесселя первого вида. С k это целое число, которое я_k(z)=я_{| k |}(z).

Вывод

В функция массы вероятности из Распределенный по Пуассону случайная величина со средним значением μ определяется выражением

${\displaystyle p(k;\mu )={\mu ^{k} \over k!}e^{-\mu }.\,}$

за ${\displaystyle k\geq 0}$ (и ноль в противном случае). Функция вероятности и массы Скеллама для разности двух независимых отсчетов ${\displaystyle K=N_{1}-N_{2}}$ это свертка двух распределений Пуассона: (Скеллам, 1946)

${\displaystyle {\begin{aligned}p(k;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }p(k+n;\mu _{1})p(n;\mu _{2})\\&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\sum _{n=\max(0,-k)}^{\infty }{{\mu _{1}^{k+n}\mu _{2}^{n}} \over {n!(k+n)!}}\end{aligned}}}$

Поскольку распределение Пуассона равно нулю для отрицательных значений счетчика ${\displaystyle (p(N<0;\mu )=0)}$, вторая сумма берется только для тех слагаемых, где ${\displaystyle n\geq 0}$ и ${\displaystyle n+k\geq 0}$. Можно показать, что из приведенной выше суммы следует, что

${\displaystyle {\frac {p(k;\mu _{1},\mu _{2})}{p(-k;\mu _{1},\mu _{2})}}=\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k}}$

так что:

${\displaystyle p(k;\mu _{1},\mu _{2})=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{|k|}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$

куда я _k(z) - это модифицированная функция Бесселя первого вида. Особый случай для ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}(=\mu )}$ дает Ирвин (1937):

${\displaystyle p\left(k;\mu ,\mu \right)=e^{-2\mu }I_{|k|}(2\mu ).}$

Используя предельные значения модифицированной функции Бесселя для малых аргументов, мы можем восстановить распределение Пуассона как частный случай распределения Скеллама для ${\displaystyle \mu _{2}=0}$.

Характеристики

Поскольку это дискретная функция вероятности, функция массы вероятности Скеллама нормирована:

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})=1.}$

Мы знаем, что функция, производящая вероятность (pgf) для распределение Пуассона является:

${\displaystyle G\left(t;\mu \right)=e^{\mu (t-1)}.}$

Отсюда следует, что pgf, ${\displaystyle G(t;\mu _{1},\mu _{2})}$, для функции массы вероятности Скеллама будет:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(t;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})t^{k}\\[4pt]&=G\left(t;\mu _{1}\right)G\left(1/t;\mu _{2}\right)\\[4pt]&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}t+\mu _{2}/t}.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что форма функция, генерирующая вероятность подразумевает, что распределение сумм или разностей любого числа независимых переменных, распределенных по Скелламу, снова является распределением по Скелламу. Иногда утверждается, что любая линейная комбинация двух распределенных переменных Скеллама снова распределена по Скелламу, но это явно неверно, поскольку любой множитель, кроме ${\displaystyle \pm 1}$ изменит поддерживать распределения и изменить схему моменты таким образом, который не может удовлетворить ни одно распределение Скеллама.

В момент-производящая функция дан кем-то:

${\displaystyle M\left(t;\mu _{1},\mu _{2}\right)=G(e^{t};\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,m_{k}}$

что дает сырые моменты м_k . Определять:

${\displaystyle \Delta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mu _{1}-\mu _{2}\,}$

${\displaystyle \mu \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (\mu _{1}+\mu _{2})/2.\,}$

Тогда сырые моменты м_k находятся

${\displaystyle m_{1}=\left.\Delta \right.\,}$

${\displaystyle m_{2}=\left.2\mu +\Delta ^{2}\right.\,}$

${\displaystyle m_{3}=\left.\Delta (1+6\mu +\Delta ^{2})\right.\,}$

В центральные моменты M _k находятся

${\displaystyle M_{2}=\left.2\mu \right.,\,}$

${\displaystyle M_{3}=\left.\Delta \right.,\,}$

${\displaystyle M_{4}=\left.2\mu +12\mu ^{2}\right..\,}$

В иметь в виду, отклонение, перекос, и избыток эксцесса соответственно:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (n)&=\Delta ,\\[4pt]\sigma ^{2}&=2\mu ,\\[4pt]\gamma _{1}&=\Delta /(2\mu )^{3/2},\\[4pt]\gamma _{2}&=1/2.\end{aligned}}}$

В кумулянт-производящая функция дан кем-то:

${\displaystyle K(t;\mu _{1},\mu _{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \ln(M(t;\mu _{1},\mu _{2}))=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,\kappa _{k}}$

что дает кумулянты:

${\displaystyle \kappa _{2k}=\left.2\mu \right.}$

${\displaystyle \kappa _{2k+1}=\left.\Delta \right..}$

В частном случае, когда μ₁ = μ₂,асимптотическое разложение из модифицированная функция Бесселя первого рода дает для больших μ:

${\displaystyle p(k;\mu ,\mu )\sim {1 \over {\sqrt {4\pi \mu }}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\{4k^{2}-1^{2}\}\{4k^{2}-3^{2}\}\cdots \{4k^{2}-(2n-1)^{2}\} \over n!\,2^{3n}\,(2\mu )^{n}}\right].}$

(Абрамовиц и Стегун 1972, стр. 377). Кроме того, в этом частном случае, когда k также большой, и порядок квадратного корня из 2μ, распределение стремится к нормальное распределение:

${\displaystyle p(k;\mu ,\mu )\sim {e^{-k^{2}/4\mu } \over {\sqrt {4\pi \mu }}}.}$

Эти частные результаты легко распространяются на более общий случай различных средних.

Границы веса выше нуля

Если ${\displaystyle X\sim \operatorname {Skellam} (\mu _{1},\mu _{2})}$, с ${\displaystyle \mu _{1}<\mu _{2}}$, тогда

${\displaystyle {\frac {\exp(-({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}})^{2})}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{4\mu _{1}\mu _{2}}}\leq \Pr\{X\geq 0\}\leq \exp(-({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}})^{2})}$

Подробности можно найти в Распределение Пуассона # гонки Пуассона

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А., ред. (Июнь 1965 г.). Справочник математических функций с формулами, графиками и математическими таблицами (Несокращенное и неизменное издание [der Ausg.] 1964, 5. Dover Printing ed.). Dover Publications. С. 374–378. ISBN  0486612724. Получено 27 сентября 2012.
• Ирвин, Дж. О. (1937) "Распределение частот разницы между двумя независимыми переменными, следуя одному и тому же распределению Пуассона". Журнал Королевского статистического общества: Серия A, 100 (3), 415–416. JSTOR  2980526
• Карлис Д. и Нцуфрас И. (2003) "Анализ спортивных данных с использованием двумерных моделей Пуассона". Журнал Королевского статистического общества, серия D, 52 (3), 381–393. Дои:10.1111/1467-9884.00366
• Карлис Д. и Нцуфрас И. (2006). Байесовский анализ различий данных подсчета. Статистика в медицине, 25, 1885–1905. [1]
• Скеллам, Дж. Г. (1946) «Распределение частот разницы между двумя переменными Пуассона, принадлежащими разным популяциям». Журнал Королевского статистического общества, серия A, 109 (3), 296. JSTOR  2981372