Марченко – Пастур раздача - Marchenko–Pastur distribution

График распределения Марченко-Пастура для различных значений лямбды

В математической теории случайные матрицы, то Марченко – Пастур раздача, или же Марченко – Пастур закон, описывает асимптотический поведение сингулярные значения большой прямоугольной случайные матрицы. Теорема названа в честь украинец математики Владимир Марченко и Леонид Пастур доказавший этот результат в 1967 г.

Если ${\displaystyle X}$ обозначает ${\displaystyle m\times n}$ случайная матрица, элементы которой являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами со средним 0 и дисперсией ${\displaystyle \sigma ^{2}<\infty }$, позволять

${\displaystyle Y_{n}={\frac {1}{n}}XX^{T}}$

и разреши ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\dots ,\,\lambda _{m}}$ быть собственные значения из ${\displaystyle Y_{n}}$ (рассматривается как случайные переменные ). Наконец, рассмотрим случайную меру

${\displaystyle \mu _{m}(A)={\frac {1}{m}}\#\left\{\lambda _{j}\in A\right\},\quad A\subset \mathbb {R} .}$

Теорема. Предположить, что ${\displaystyle m,\,n\,\to \,\infty }$ так что соотношение ${\displaystyle m/n\,\to \,\lambda \in (0,+\infty )}$. потом ${\displaystyle \mu _{m}\,\to \,\mu }$ (в слабая * топология в распределение ), куда

${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}(1-{\frac {1}{\lambda }})\mathbf {1} _{0\in A}+\nu (A),&{\text{if }}\lambda >1\\\nu (A),&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1,\end{cases}}}$

и

${\displaystyle d\nu (x)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}{\frac {\sqrt {(\lambda _{+}-x)(x-\lambda _{-})}}{\lambda x}}\,\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{-},\lambda _{+}]}\,dx}$

с

${\displaystyle \lambda _{\pm }=\sigma ^{2}(1\pm {\sqrt {\lambda }})^{2}.}$

Закон Марченко – Пастура также возникает как свободный закон Пуассона в свободной теории вероятностей, имея коэффициент ${\displaystyle 1/\lambda }$ и размер прыжка ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Некоторые трансформации этого закона

Преобразование Коши (которое является отрицательным Преобразование Стилтьеса ), когда ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$, дан кем-то

${\displaystyle G_{\mu }(z)={\frac {z+\lambda -1-{\sqrt {(z-\lambda -1)^{2}-4\lambda }}}{2\lambda z}}}$

Это дает ${\displaystyle R}$-преобразование:

${\displaystyle R_{\mu }(z)={\frac {1}{1-\lambda z}}}$

Приложение к корреляционным матрицам

Применительно к корреляционным матрицам ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$ и ${\displaystyle \lambda =m/n}$ что приводит к оценке

${\displaystyle \lambda _{\pm }=\left(1\pm {\sqrt {\frac {m}{n}}}\right)^{2}.}$

Поэтому часто предполагается, что собственные значения корреляционных матриц меньше, чем ${\displaystyle \lambda _{+}}$ случайно, а значения выше, чем ${\displaystyle \lambda _{+}}$ являются важными общими факторами. Например, получение корреляционной матрицы годичного ряда (т. Е. 252 торговых дня) из 10 доходностей акций даст ${\displaystyle \lambda _{+}=\left(1+{\sqrt {\frac {10}{252}}}\right)^{2}\approx 1.43}$. Из 10 собственных значений корреляционной матрицы только значения выше 1,43 будут считаться значимыми.

Смотрите также

• Распределение полукруга Вигнера
• Распределение Трейси – Уидома

Рекомендации

• Götze, F .; Тихомиров, А. (2004). «Скорость сходимости по вероятности к закону Марченко – Пастура». Бернулли. 10 (3): 503–548. Дои:10.3150 / bj / 1089206408.
• Марченко, В. А .; Пастур, Л. А. (1967). "Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц" [Распределение собственных значений для некоторых наборов случайных матриц]. Мат. Сб. Н.С. (на русском). 72 (114:4): 507–536. Дои:10.1070 / SM1967v001n04ABEH001994. Ссылка на pdf русскоязычной версии в свободном доступе
• Nica, A .; Спайчер, Р. (2006). Лекции по комбинаторике свободной теории вероятностей. Cambridge Univ. Нажмите. стр.204, 368. ISBN  0-521-85852-6. Ссылка на бесплатное скачивание Еще один сайт бесплатного доступа