Релятивистское распределение Брейта – Вигнера - Relativistic Breit–Wigner distribution

В релятивистское распределение Брейта – Вигнера (после формулы ядерного резонанса 1936 г.^[1] из Грегори Брейт и Юджин Вигнер ) является непрерывным распределение вероятностей со следующими функция плотности вероятности,^[2]

${\displaystyle f(E)={\frac {k}{\left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2}}}~,}$

куда k - константа пропорциональности, равная

${\displaystyle k={\frac {2{\sqrt {2}}M\Gamma \gamma }{\pi {\sqrt {M^{2}+\gamma }}}}~~~~}$ с ${\displaystyle ~~~~\gamma ={\sqrt {M^{2}\left(M^{2}+\Gamma ^{2}\right)}}~.}$

(Это уравнение записано с использованием натуральные единицы, час = c = 1.)

Чаще всего используется для моделирования резонансы (нестабильные частицы) в физика высоких энергий. В этом случае, E это центр массы энергия который производит резонанс, M это масса резонанса, Γ - ширина резонанса (или ширина распада ), связанных с его средняя продолжительность жизни в соответствии с τ = 1 / Γ. (С учетом единиц измерения формула τ = час/ Γ.)

использование

Вероятность возникновения резонанса при данной энергии E пропорционально ж (E), так что график скорости образования нестабильной частицы как функции энергии отслеживает форму релятивистского распределения Брейта – Вигнера. Обратите внимание, что для значений E от максимума на M такой, что |E² − M²| = MΓ, (следовательно |E − M| = Γ / 2 за M ≫ Γ), распространение ж ослабло до половины своего максимального значения, что оправдывает название Γ, ширина на полувысоте.

В пределе исчезающей ширины, Γ → 0, частица становится устойчивой как лоренцево распределение ж бесконечно точит до 2Mδ(E² − M²).

Вообще говоря, Γ также может быть функцией E; эта зависимость обычно важна только тогда, когда Γ не мала по сравнению с M и фазовое пространство -зависимость ширины необходимо учитывать. (Например, при распаде ро-мезон в пару пионы.) Фактор M² который умножает Γ² также следует заменить на E² (или же E ⁴/M²и т. д.) при широком резонансе.^[3]

Форма релятивистского распределения Брейта – Вигнера возникает из пропагатор нестабильной частицы,^[4] знаменатель которого имеет вид п² − M² + яΓ. (Здесь, п² это квадрат четырехимпульсный переносится этой частицей в рассматриваемой древовидной диаграмме Фейнмана.) Тогда пропагатор в его системе покоя пропорционален квантово-механическая амплитуда для распада, используемого для восстановления этого резонанса,

${\displaystyle {\frac {\sqrt {k}}{\left(E^{2}-M^{2}\right)+iM\Gamma }}~.}$

Результирующее распределение вероятностей пропорционально абсолютному квадрату амплитуды, поэтому тогда вышеупомянутое релятивистское распределение Брейта – Вигнера для функции плотности вероятности.

Форма этого распределения аналогична амплитуде решения классического уравнения движения для управляемый гармонический генератор демпфированный и управляемый синусоидальный внешняя сила. Имеет стандарт резонанс форма Лоренца, или Распределение Коши, но включает релятивистские переменные s = п², здесь =E². Распределение является решением дифференциального уравнения для квадрата амплитуды относительно амплитуды. энергия энергия (частота) в таком классическом вынужденном осцилляторе,

${\displaystyle f'({\text{E}})\left(\left({\text{E}}^{2}-M^{2}\right)^{2}+\Gamma ^{2}M^{2}\right)-4{\text{E}}f({\text{E}})(M-{\text{E}})({\text{E}}+M)=0,}$

с

${\displaystyle f(M)={\frac {k}{\Gamma ^{2}M^{2}}}.~}$

Дальнейшая информация: Распределение Коши

Гауссово уширение

В эксперименте падающий луч, вызывающий резонанс, всегда имеет некоторый разброс энергии вокруг центрального значения. Обычно это Гауссово / нормальное распределение. Результирующая форма резонанса в этом случае определяется выражением свертка распределения Брейта-Вигнера и гауссова распределения,

${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k}{(E'^{2}-M^{2})^{2}+(M\Gamma )^{2}}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(E'-E)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dE'.}$

Эту функцию можно упростить ^[5] вводя новые переменные,

${\displaystyle t={\frac {E-E'}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{1}={\frac {E-M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{2}={\frac {E+M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad a={\frac {k\pi }{2\sigma ^{2}}},}$

чтобы получить

${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )={\frac {H_{2}(a,u_{1},u_{2})}{\sigma ^{2}2{\sqrt {\pi }}}},}$

где релятивистская функция уширения линии ^[5] имеет следующее определение,

${\displaystyle H_{2}(a,u_{1},u_{2})={\frac {a}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{(u_{1}-t)^{2}(u_{2}-t)^{2}+a^{2}}}dt.}$

${\displaystyle H_{2}}$ является релятивистским аналогом аналогичной функции уширения линии ^[6] для Профиль Voigt используется в спектроскопии (см. также раздел 7.19 ^[7]).

Рекомендации

1. Breit, G .; Вигнер, Э. (1936). «Захват медленных нейтронов». Физический обзор. 49 (7): 519. Bibcode:1936ПхРв ... 49..519Б. Дои:10.1103 / PhysRev.49.519.
2. Видеть Pythia 6.4 Физика и руководство (стр. 98 и далее) для обсуждения ширины частиц в ПИФИЯ руководство. Обратите внимание, что это распределение обычно представляется как функция квадрата энергии.
3. Bohm, A .; Сато, Ю. (2005). «Релятивистские резонансы: их массы, ширина, время жизни, суперпозиция и причинная эволюция». Физический обзор D. 71 (8). arXiv:hep-ph / 0412106. Bibcode:2005ПхРвД..71х5018Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.71.085018.
4. Браун, Л. С. (1994). Квантовая теория поля, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0521469463 , Глава 6.3.
5. Kycia, Radosław A .; Ядах, Станислав (15.07.2018). «Релятивистский профиль Фойгта для нестабильных частиц в физике высоких энергий». Журнал математического анализа и приложений. 463 (2): 1040–1051. arXiv:1711.09304. Дои:10.1016 / j.jmaa.2018.03.065. ISSN  0022-247X.
6. Finn, G.D .; Магглстоун, Д. (1965-02-01). «Таблицы функции уширения линии H (a, υ)». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 129 (2): 221–235. Дои:10.1093 / mnras / 129.2.221. ISSN  0035-8711.
7. Справочник NIST по математическим функциям. Олвер, Фрэнк У. Дж., 1924 г. - Национальный институт стандартов и технологий (США). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. 2010 г. ISBN  978-0-521-19225-5. OCLC  502037224.