Распределение Бореля - Borel distribution

Распределение Бореля

Параметры	${\displaystyle \mu \in [0,1]}$
Поддержка	${\displaystyle n\in \{1,2,3,\ldots \}}$
PMF	${\displaystyle {\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {1}{1-\mu }}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\mu }{(1-\mu )^{3}}}}$

В Распределение Бореля это дискретное распределение вероятностей, возникающие в контекстах, включая ветвящиеся процессы и теория массового обслуживания. Он назван в честь французского математика. Эмиль Борель.

Если количество потомства, которое имеет организм, равно Распределенный по Пуассону, и если среднее количество потомков каждого организма не превышает 1, то потомки каждой особи в конечном итоге вымрут. Число потомков, которое в конечном итоге имеет индивидуум в этой ситуации, является случайной величиной, распределенной согласно распределению Бореля.

Определение

Дискретный случайная переменная Икс  считается, что имеет распределение Бореля^[1][2]с параметром μ ∈ [0,1], если функция массы вероятности из Икс дан кем-то

${\displaystyle P_{\mu }(n)=\Pr(X=n)={\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!}}}$

для п = 1, 2, 3 ....

Интерпретация процессов деривации и ветвления

Если Ветвящийся процесс Гальтона – Ватсона имеет общее потомство Пуассон со средним μ, то общее количество особей в ветвящемся процессе имеет борелевское распределение с параметромμ.

Позволять Икс  - общее количество особей в ветвящемся процессе Гальтона – Ватсона. Тогда соответствие между общим размером процесса ветвления и временем попадания в связанный случайная прогулка^[3][4][5] дает

${\displaystyle \Pr(X=n)={\frac {1}{n}}\Pr(S_{n}=n-1)}$

где S_п = Y₁ + … + Y_п, и Y₁ … Y_п находятся независимые одинаково распределенные случайные величины общее распределение которого является потомком ветвящегося процесса. В случае, когда это общее распределение является пуассоновским со средним μ, случайная величинаS_п имеет распределение Пуассона со средним мкн, что приводит к функции масс распределения Бореля, приведенной выше.

Поскольку м-е поколение ветвящегося процесса имеет средний размер μ^м − 1, среднее значение Икс  является

${\displaystyle 1+\mu +\mu ^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-\mu }}.}$

Интерпретация теории массового обслуживания

В M / D / 1 очередь со скоростью прибытия μ и общее время обслуживания 1, распределение типичного периода занятости очереди является борелевским с параметром μ.^[6]

Свойства

Если п_μ(п) - вероятностная функция массы борелевского (μ) случайная величина, то функция массп^∗
_μ(п) смещенной по размеру выборки из распределения (то есть функции масс, пропорциональной нП_μ(п) )дан кем-то

${\displaystyle P_{\mu }^{*}(n)=(1-\mu ){\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{(n-1)!}}.}$

Олдос и Питман ^[7]покажи это

${\displaystyle P_{\mu }(n)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\mu }P_{\lambda }^{*}(n)\,d\lambda .}$

На словах это говорит о том, что борель (μ) случайная величина имеет то же распределение, что и борелевский (μU) случайная величина, где U имеет равномерное распределение на [0,1].

Это соотношение приводит к различным полезным формулам, включая

${\displaystyle \operatorname {E} \left({\frac {1}{X}}\right)=1-{\frac {\mu }{2}}.}$

Распределение Бореля – Таннера

В Распределение Бореля – Таннера обобщает распределение Бореля. k быть положительным целым числом. Если Икс₁, Икс₂,  … Икс_kнезависимы, и каждый имеет распределение Бореля с параметром μ, то их сумма W = Икс₁ + Икс₂ + … + Икс_k имеет распределение Бореля – Таннера с параметрами μ и k.^[2][6][8]Это дает распределение общего числа особей в процессе Пуассона – Гальтона – Ватсона, начиная с k людей в первом поколении, или времени, необходимого для опустошения очереди M / D / 1, начиная с k вакансии в очереди. Дело k = 1 - это просто распределение Бореля, приведенное выше.

Обобщая приведенное выше соответствие случайных блужданий для k = 1,^[4][5]

${\displaystyle \Pr(W=n)={\frac {k}{n}}\Pr(S_{n}=n-k)}$

где S_п имеет распределение Пуассона со средним nμВ результате функция массы вероятности имеет вид

${\displaystyle \Pr(W=n)={\frac {k}{n}}{\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-k}}{(n-k)!}}}$

для п = k, k + 1, ... .

использованная литература

1. Борель, Эмиль (1942). "Sur l'emploi du théorème de Bernoulli для средства облегчения расчета бесконечного числа коэффициентов. Применение в решении проблемы анализа и определения". C. R. Acad. Sci. 214: 452–456.
2. Таннер, Дж. К. (1961). «Вывод распределения Бореля». Биометрика. 48 (1–2): 222–224. Дои:10.1093 / biomet / 48.1-2.222. JSTOR  2333154.
3. Оттер, Р. (1949). «Мультипликативный процесс». Анналы математической статистики. 20 (2): 206–224. Дои:10.1214 / aoms / 1177730031.
4. Дуасс, Мейер (1969). «Полное потомство в процессе ветвления и связанное с ним случайное блуждание». Журнал прикладной теории вероятностей. 6 (3): 682–686. Дои:10.2307/3212112. JSTOR  3212112.
5. Питман, Джим (1997). «Перечень деревьев и лесов, связанных с ветвящимися процессами и случайными блужданиями» (PDF). Микроразведка в дискретной вероятности: семинар DIMACS (41).
6. Haight, F.A .; Брейер, М.А. (1960). «Распределение Бореля-Таннера». Биометрика. 47 (1–2): 143–150. Дои:10.1093 / biomet / 47.1-2.143. JSTOR  2332966.
7. Aldous, D .; Питман, Дж. (1998). «Трехзначные цепи Маркова, полученные из процессов Гальтона-Ватсона» (PDF). Annales de l'Institut Henri Poincaré B. 34 (5): 637. Bibcode:1998AIHPB..34..637A. CiteSeerX  10.1.1.30.9545. Дои:10.1016 / S0246-0203 (98) 80003-4.
8. Таннер, Дж. К. (1953). «Проблема интерференции двух очередей». Биометрика. 40 (1–2): 58–69. Дои:10.1093 / biomet / 40.1-2.58. JSTOR  2333097.

внешние ссылки

• Распределение Бореля-Таннера в системе Mathematica.