Круговое равномерное распределение - Circular uniform distribution

В теория вероятности и направленная статистика, а круговое равномерное распределение - распределение вероятностей на единичной окружности, плотность которого одинакова для всех углов.

Описание

В функция плотности вероятности (pdf) кругового равномерного распределения:

${\displaystyle f_{UC}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}.}$

В терминах круговой переменной ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$ круговые моменты кругового равномерного распределения равны нулю, за исключением ${\displaystyle m_{0}}$:

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\delta _{n}}$

куда ${\displaystyle \delta _{n}}$ это Дельта Кронекера символ.

Средний угол не определен, а длина среднего результата равна нулю.

${\displaystyle R=|\langle z^{n}\rangle |=0\,}$

Распределение среднего

Выборочное среднее для набора N измерения ${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$ полученный из кругового равномерного распределения определяется как:

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}={\overline {C}}+i{\overline {S}}={\overline {R}}e^{i{\overline {\theta }}}}$

где средние синус и косинус равны:^[1]

${\displaystyle {\overline {C}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n})\qquad \qquad {\overline {S}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})}$

и средняя результирующая длина:

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}=|{\overline {z}}|^{2}={\overline {C}}^{2}+{\overline {S}}^{2}}$

а средний угол равен:

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\mathrm {Arg} ({\overline {z}}).\,}$

Среднее значение для кругового равномерного распределения будет сосредоточено около нуля, становясь более концентрированным по мере того, как N увеличивается. Распределение выборочного среднего для равномерного распределения определяется как:^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}d\theta _{n}=P({\overline {R}})P({\overline {\theta }})\,d{\overline {R}}\,d{\overline {\theta }}}$

куда ${\displaystyle \Gamma \,}$ состоит из интервалов ${\displaystyle 2\pi }$ в переменных, при условии, что ${\displaystyle {\overline {R}}}$ и ${\displaystyle {\overline {\theta }}}$ постоянны, или, альтернативно, что ${\displaystyle {\overline {C}}}$ и ${\displaystyle {\overline {S}}}$ постоянны. Распределение угла${\displaystyle P({\overline {\theta }})}$ единообразно

${\displaystyle P({\overline {\theta }})={\frac {1}{2\pi }}}$

и распределение ${\displaystyle {\overline {R}}}$ дан кем-то:^[2]

${\displaystyle P_{N}({\overline {R}})=N^{2}{\overline {R}}\int _{0}^{\infty }J_{0}(N{\overline {R}}\,t)J_{0}(t)^{N}t\,dt}$

10 000-точечное моделирование методом Монте-Карло распределения выборочного среднего кругового равномерного распределения дляN = 3

куда ${\displaystyle J_{0}}$ это Функция Бесселя нулевого порядка. Для указанного выше интеграла нет известного общего аналитического решения, и его трудно оценить из-за большого количества колебаний подынтегральной функции. На рисунке показано моделирование распределения среднего значения для N = 3 методом Монте-Карло на 10000 точек.

Для некоторых особых случаев указанный выше интеграл может быть вычислен:

${\displaystyle P_{2}({\overline {R}})={\frac {2}{\pi {\sqrt {1-{\overline {R}}^{2}}}}}.}$

Для больших N, распределение среднего может быть определено из центральная предельная теорема для направленной статистики. Поскольку углы распределены равномерно, отдельные синусы и косинусы углов будут распределены следующим образом:

${\displaystyle P(u)du={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}}$

куда ${\displaystyle u=\cos \theta _{n}\,}$ или же ${\displaystyle \sin \theta _{n}\,}$. Следовательно, они будут иметь нулевое среднее значение и дисперсию 1/2. По центральной предельной теореме в пределе больших N, ${\displaystyle {\overline {C}}\,}$ и ${\displaystyle {\overline {S}}\,}$, являясь суммой большого количества i.i.d s, будет обычно распределены с нулевым средним и дисперсией ${\displaystyle 1/2N}$. Средняя результирующая длина ${\displaystyle {\overline {R}}\,}$, являясь квадратным корнем из суммы двух нормально распределенных переменных, будет Чи-распределенный с двумя степенями свободы (т.е.С распределением Рэлея ) и дисперсия ${\displaystyle 1/2N}$:

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }P_{N}({\overline {R}})=2N{\overline {R}}\,e^{-N{\overline {R}}^{2}}.}$

Энтропия

Дифференциал информационная энтропия равномерного распределения просто

${\displaystyle H_{U}=-\int _{\Gamma }{\frac {1}{2\pi }}\ln \left({\frac {1}{2\pi }}\right)\,d\theta =\ln(2\pi )}$

куда ${\displaystyle \Gamma }$ любой интервал длины ${\displaystyle 2\pi }$. Это максимальная энтропия, которую может иметь любое круговое распределение.

Смотрите также

• Распространение в оболочке

Рекомендации

1. «Формирование диаграммы направленности для радиолокационных приложений с использованием случайных массивов с круговым сужением - публикация конференции IEEE». Дои:10.1109 / RADAR.2017.7944181. S2CID  38429370.
2. Джаммаламадака, С. Рао; Сенгупта, А. (2001). Темы циркулярной статистики. Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-02-3778-3.