Распределение гиперболического секанса - Hyperbolic secant distribution

гиперболический секанс

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	никто
Поддержка	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\;\operatorname {sech} \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\!}$
CDF	${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\arctan \!\left[\exp \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\right]\!}$
Значить	${\displaystyle 0}$
Медиана	${\displaystyle 0}$
Режим	${\displaystyle 0}$
Дисперсия	${\displaystyle 1}$
Асимметрия	${\displaystyle 0}$
Ex. эксцесс	${\displaystyle 2}$
Энтропия	4/π K ${\displaystyle \;\approx 1.16624}$
MGF	${\displaystyle \sec(t)\!}$ для ${\displaystyle |t|<{\frac {\pi }{2}}\!}$
CF	${\displaystyle \operatorname {sech} (t)\!}$ для ${\displaystyle |t|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

В теория вероятности и статистика, то гиперболическое секущее распределение является непрерывным распределение вероятностей чья функция плотности вероятности и характеристическая функция пропорциональны гиперболическая секущая функция. Гиперболическая секущая функция эквивалентна обратной гиперболический косинус, поэтому это распределение также называют обратное распределение.

Обобщение распределения приводит к Распределение Мейкснера, также известный как Естественное экспоненциальное семейство - обобщенный гиперболический секанс или Распределение NEF-GHS.

Объяснение

А случайная переменная следует гиперболическому секущему распределению, если его функция плотности вероятности (pdf) может быть связана со следующей стандартной формой функции плотности посредством преобразования местоположения и сдвига:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\;\operatorname {sech} \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\!,}$

где "sech" обозначает функцию гиперболического секанса. кумулятивная функция распределения (cdf) стандартного дистрибутива - это масштабированная и сдвинутая версия Функция Гудермана,

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan \!\left[\operatorname {sinh} \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\right]\!,}$

${\displaystyle ={\frac {2}{\pi }}\arctan \!\left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\right]\!.}$

где "арктан" - это обратная (круговая) касательная функция Обратный cdf (или квантильная функция) равен

${\displaystyle F^{-1}(p)=-{\frac {2}{\pi }}\,\operatorname {arcsinh} \!\left[\cot(\pi \,p)\right]\!,}$

${\displaystyle ={\frac {2}{\pi }}\,\ln \!\left[\tan \left({\frac {\pi }{2}}\,p\right)\right]\!.}$

где "arcsinh" - это функция обратного гиперболического синуса а "раскладушка" - это (круговая) функция котангенса.

Распределение гиперболического секанса имеет много общих свойств со стандартным нормальное распределение: симметричен единице отклонение и ноль значить, медиана и Режим, а его pdf пропорционален его характеристической функции. Однако распределение гиперболического секанса лептокуртика; то есть у него более острый пик около своего среднего значения и более тяжелые хвосты по сравнению со стандартным нормальным распределением.

Джонсон и др. (1995)^[1](p147) помещает это распределение в контекст класса обобщенных форм логистическая дистрибуция, но используйте другую параметризацию стандартного распределения, чем здесь. Дин (2014)^[2] показывает три случая распределения гиперболического секанса в статистическом моделировании и выводе.

Обобщения

Свертка

Учитывая (масштабированную) сумму ${\displaystyle r}$ независимые и одинаково распределенные случайные величины с гиперболическим секансом:

${\displaystyle X={\frac {1}{\sqrt {r}}}\;(X_{1}+X_{2}+\;...\;+X_{r})}$

тогда в пределе ${\displaystyle r\to \infty }$ распределение ${\displaystyle X}$ будет стремиться к нормальному распределению ${\displaystyle N(0,1)}$, в соответствии с Центральная предельная теорема.

Это позволяет определить удобное семейство распределений со свойствами, промежуточными между гиперболическим секансом и нормальным распределением, управляемым параметром формы. ${\displaystyle r}$, который может быть расширен до нецелочисленных значений с помощью характеристическая функция

${\displaystyle \varphi (t)={\big (}\operatorname {sech} (t/{\sqrt {r}}){\big )}^{r}}$

Моменты можно легко вычислить по характеристической функции. Избыток эксцесс оказывается ${\displaystyle 2/r}$.

Перекос

А перекошенный форму распределения можно получить, умножив на экспоненциальную ${\displaystyle e^{\theta x},|{\theta }|<{\pi }/2}$ и нормализуя, чтобы дать распределение

${\displaystyle f(x)=\cos \theta \;{\frac {e^{\theta x}}{2\operatorname {cosh} ({\frac {\pi x}{2}})}}}$

где значение параметра ${\displaystyle \theta =0}$ соответствует исходной раздаче.

Расположение и масштаб

Распределение (и его обобщения) также можно тривиально сдвинуть и масштабировать обычным способом, чтобы получить соответствующее семья в масштабе местности

Все вышеперечисленное

Разрешение всех четырех вышеперечисленных настроек дает распределение с четырьмя параметрами, управляющими формой, перекосом, положением и масштабом соответственно, которые называются либо Распределение Мейкснера^[3] после Йозеф Мейкснер кто первым исследовал семью, или Распределение NEF-GHS (Естественная экспоненциальная семья - Распределение обобщенного гиперболического секанса).

Лосев (1989) независимо изучил асимметричную (наклонную) кривую ${\displaystyle h(x)={\frac {1}{\exp(-ax)+\exp(bx)}}}$, который использует всего два параметра ${\displaystyle a,b}$. Они должны быть как положительными, так и отрицательными, с ${\displaystyle a=b}$ будучи секансом, и ${\displaystyle h(x)^{r}}$ являясь его дальнейшей видоизмененной формой.^[4]

В финансовая математика Распределение Мейкснера использовалось для моделирования негауссовского движения цен акций с приложениями, включая ценообразование опционов.

использованная литература

1. Джонсон, Норман Л .; Коц, Самуэль; Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения. 2. ISBN  978-0-471-58494-0.
2. Дин, П. (2014). «Три вхождения распределения гиперболо-секанса». Американский статистик. 68: 32–35. CiteSeerX  10.1.1.755.3298. Дои:10.1080/00031305.2013.867902.
3. MeixnerДистрибьюция, Язык Wolfram Language документация. Доступ 9 июня 2020 г.
4. Лосев, А. (1989). «Новая форма линии для подгонки пиков рентгеновских фотоэлектронов». Поверхностный и интерфейсный анализ. 14 (12): 845–849. Дои:10.1002 / sia.740141207.

• Батен, В. Д. (1934). "Вероятностный закон для суммы п независимые переменные, каждая из которых подчиняется закону ${\displaystyle (2h)^{-1}\operatorname {sech} (\pi x/2h)}$". Бюллетень Американского математического общества. 40 (4): 284–290. Дои:10.1090 / S0002-9904-1934-05852-X.
• Талацко, Дж. (1956). «Распределения привилегий и их роль в теории стохастических переменных Винера». Trabajos de Estadistica. 7 (2): 159–174. Дои:10.1007 / BF03003994.
• Деврой, Люк (1986). Неравномерная генерация случайных переменных. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Раздел IX.7.2.
• Смит, Г.К. (1994). «Заметка о моделировании взаимных корреляций: гиперболическая секущая регрессия» (PDF). Биометрика. 81 (2): 396–402. Дои:10.1093 / biomet / 81.2.396.
• Маттиас Дж. Фишер (2013), Обобщенные гиперболические секущие распределения: с приложениями к финансам, Springer. ISBN  3642451381. Google Книги