(a, b, 0) класс распределений - (a,b,0) class of distributions

В теория вероятности, распределение дискретная случайная величина N чьи значения являются неотрицательными целыми числами, называется членом (а, б, 0) класс распределений если это функция массы вероятности подчиняется

${\displaystyle {\frac {p_{k}}{p_{k-1}}}=a+{\frac {b}{k}},\qquad k=1,2,3,\dots }$

где ${\displaystyle p_{k}=P(N=k)}$ (при условии ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ существуют и реальны).

Есть только три дискретных распределения, которые удовлетворяют полной форме этого отношения: Пуассон, биномиальный и отрицательный бином раздачи. Это также три дискретных распределения среди шести членов группы. натуральное экспоненциальное семейство с квадратичными дисперсионными функциями (NEF – QVF).

Более общие распределения можно определить, зафиксировав некоторые начальные значения п_j и применение рекурсии для определения последующих значений. Это может быть полезно для подгонки распределений к эмпирическим данным. Однако доступны некоторые другие хорошо известные распределения, если указанная выше рекурсия должна выполняться только для ограниченного диапазона значений k:^[1] например логарифмическое распределение и дискретный равномерное распределение.

(а, б, 0) класс распределений имеет важные приложения в актуарная наука в контексте моделей потерь.^[2]

Характеристики

Sundt^[3] доказал, что только биномиальное распределение, то распределение Пуассона и отрицательное биномиальное распределение принадлежат к этому классу распределений, причем каждое распределение представлено разными знакамиа. Кроме того, это было показано Fackler^[4] что существует универсальная формула для всех трех распределений, называемая (объединенная) Panjer distribution.

Более обычные параметры этих распределений определяются как а иб. Свойства этих распределений по отношению к настоящему классу распределений обобщены в следующей таблице. Обратите внимание, что ${\displaystyle W_{N}(x)\,}$ обозначает функция, производящая вероятность.

Распределение	${\displaystyle P[N=k]\,}$	${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle b\,}$	${\displaystyle p_{0}\,}$	${\displaystyle W_{N}(x)\,}$	${\displaystyle E[N]\,}$	${\displaystyle Var(N)\,}$
Биномиальный	${\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$	${\displaystyle {\frac {-p}{1-p}}}$	${\displaystyle {\frac {p(n+1)}{1-p}}}$	${\displaystyle (1-p)^{n}\,}$	${\displaystyle (px+(1-p))^{n}\,}$	${\displaystyle np\,}$	${\displaystyle np(1-p)\,}$
Пуассон	${\displaystyle e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \lambda \,}$	${\displaystyle e^{-\lambda }\,}$	${\displaystyle e^{\lambda (x-1)}\,}$	${\displaystyle \lambda \,}$	${\displaystyle \lambda \,}$
Отрицательный бином	${\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}\,}$	${\displaystyle 1-p\,}$	${\displaystyle (1-p)(r-1)\,}$	${\displaystyle p^{r}\,}$	${\displaystyle \left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}\,}$	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}\,}$	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}\,}$
Распределение Panjer	${\displaystyle \left(1+{\frac {\lambda }{\alpha }}\right)^{-\alpha }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\prod _{i=0}^{k-1}{\frac {\alpha +i}{\alpha +\lambda }}\,}$	${\displaystyle {\frac {\lambda }{\alpha +\lambda }}\,}$	${\displaystyle {\frac {(\alpha -1)\lambda }{\alpha +\lambda }}\,}$	${\displaystyle \left(1+{\frac {\lambda }{\alpha }}\right)^{-\alpha }\,}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {\lambda }{\alpha }}(x-1)\right)^{-\alpha }\,}$	${\displaystyle \lambda \,}$	${\displaystyle \lambda \left(1+{\frac {\lambda }{\alpha }}\right)\,}$

Отметим, что распределение Панджера сводится к распределению Пуассона в предельном случае ${\displaystyle \alpha \rightarrow \pm \infty }$; оно совпадает с отрицательным биномиальным распределением для положительных конечных действительных чисел ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} _{>0}}$, и он равен биномиальному распределению для отрицательных целых чисел ${\displaystyle -\alpha \in \mathbb {Z} }$.

Сюжет

Простой способ быстро определить, взята ли данная выборка из распределения из (а,б, 0) представляет собой график отношения двух последовательных наблюдаемых данных (умноженных на константу) против Икс-ось.

Умножая обе части рекурсивной формулы на ${\displaystyle k}$, ты получаешь

${\displaystyle k\,{\frac {p_{k}}{p_{k-1}}}=ak+b,}$

что показывает, что левая часть, очевидно, является линейной функцией ${\displaystyle k}$. При использовании образца ${\displaystyle n}$ данные, приближение ${\displaystyle p_{k}}$нужно сделать. Если ${\displaystyle n_{k}}$ представляет количество наблюдений, имеющих значение ${\displaystyle k}$, тогда ${\displaystyle {\hat {p}}_{k}={\frac {n_{k}}{n}}}$ является беспристрастный оценщик истинного ${\displaystyle p_{k}}$.

Следовательно, если наблюдается линейный тренд, то можно предположить, что данные взяты из (а,б, 0) распределение. Более того, склон функции будет параметром ${\displaystyle a}$, а ордината в начале координат будет ${\displaystyle b}$.

Смотрите также

• Рекурсия Панджера

Рекомендации

1. Hess, Klaus Th .; Левальд, Анетт; Шмидт, Клаус Д. (2002). "Расширение рекурсии Панджера" (PDF). Бюллетень АСТИН. 32 (2): 283–297. Дои:10.2143 / AST.32.2.1030. В архиве (PDF) из оригинала 20.06.2009. Получено 2009-06-18.
2. Клагман, Стюарт; Панджер, Гарри; Гордон, Уиллмот (2004). Модели потерь: от данных к решениям. Серии по вероятности и статистике (2-е изд.). Нью-Джерси: Уайли. ISBN  978-0-471-21577-6.
3. Сундт, Бьёрн; Джуэлл, Уильям С. (1981). «Дальнейшие результаты по рекурсивному вычислению составных распределений» (PDF). Бюллетень АСТИН. 12 (1): 27–39. Дои:10.1017 / S0515036100006802.
4. Факлер, Майкл (2009). «Объединение класса Панджера - одна формула для пуассоновского, биномиального и отрицательного биномиального распределения» (PDF). Коллоквиум АСТИН. Международная актуарная ассоциация.