Студенты т-распределение - Students t-distribution - Wikipedia

Эта статья о математике студенческого т-распределение. О его использовании в статистике см. T-критерий Стьюдента.

Студенты т

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle \nu >0}$ степени свободы (настоящий )
Поддерживать	${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$
PDF	${\displaystyle \textstyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!}$
CDF	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}}$ куда 2F1 это гипергеометрическая функция
Иметь в виду	0 для ${\displaystyle \nu >1}$, иначе неопределенный
Медиана	0
Режим	0
Дисперсия	${\displaystyle \textstyle {\frac {\nu }{\nu -2}}}$ за ${\displaystyle \nu >2}$, ∞ для ${\displaystyle 1<\nu \leq 2}$, иначе неопределенный
Асимметрия	0 для ${\displaystyle \nu >3}$, иначе неопределенный
Бывший. эксцесс	${\displaystyle \textstyle {\frac {6}{\nu -4}}}$ за ${\displaystyle \nu >4}$, ∞ для ${\displaystyle 2<\nu \leq 4}$, иначе неопределенный
Энтропия	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi \left({\frac {1+\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right]\\[0.5em]+\ln {\left[{\sqrt {\nu }}B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]}\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{matrix}}}$ ψ: функция дигаммы, B: бета-функция
MGF	неопределенный
CF	${\displaystyle \textstyle {\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)\cdot \left({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}}}$ за ${\displaystyle \nu >0}$ ${\displaystyle K_{\nu }(x)}$: модифицированная функция Бесселя второго рода[1]

В вероятность и статистика, Студенты т-распределение (или просто т-распределение) - любой член семейства непрерывных распределения вероятностей которые возникают при оценке иметь в виду из обычно -распределенный численность населения в ситуациях, когда размер образца мало, а население стандартное отклонение неизвестно. Его разработал английский статистик. Уильям Сили Госсет под псевдонимом «Студент».

В т-распределение играет роль в ряде широко используемых статистических анализов, включая Студенты т-тест для оценки Статистическая значимость разницы между двумя выборочными средними, построение доверительные интервалы для разницы между двумя средними значениями совокупности и линейным регрессивный анализ. Студенты т-распределение также возникает в Байесовский анализ данных из нормальной семьи.

Если взять образец ${\displaystyle n}$ наблюдения от нормальное распределение, то т-распространение с ${\displaystyle \nu =n-1}$ степени свободы может быть определено как распределение местоположения выборочного среднего относительно истинного среднего, деленное на стандартное отклонение выборки, после умножения на стандартизирующий член. ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Таким образом, т-распределение может быть использовано для построения доверительный интервал для истинного среднего.

В т-распределение симметричное и колоколообразное, как у нормальное распределение, но имеет более тяжелые хвосты, а это означает, что он более склонен к получению значений, далеко выходящих за пределы его среднего. Это делает его полезным для понимания статистического поведения определенных типов соотношений случайных величин, в которых вариация знаменателя усиливается и может давать выпадающие значения, когда знаменатель отношения приближается к нулю. Студенты т-распределение - частный случай обобщенное гиперболическое распределение.

История и этимология

Статистик Уильям Сили Госсет, известный как «Студент»

В статистике т-распределение было впервые получено как апостериорное распределение в 1876 г. Helmert^[2][3][4] и Люрот.^[5][6][7] В т-распределение также появилось в более общем виде как Пирсон Тип IV распространение в Карл Пирсон Бумага 1895 года.^[8]

В англоязычной литературе дистрибутив получил свое название от Уильям Сили Госсет газета 1908 года в Биометрика под псевдонимом «Студент».^[9] Госсет работал в Пивоварня Guinness в Дублин, Ирландия, и интересовался проблемами малых образцов - например, химическими свойствами ячменя, где размер выборки может составлять всего 3. Одна версия происхождения псевдонима состоит в том, что работодатель Госсета предпочитал персоналу использовать псевдонимы при публикации научных документы вместо своего настоящего имени, поэтому он использовал имя «Студент», чтобы скрыть свою личность. Другая версия заключается в том, что Guinness не хотел, чтобы их конкуренты знали, что они используют т-тест на определение качества сырья.^[10][11]

В статье Госсета это распределение называется «частотным распределением стандартных отклонений выборок, взятых из нормальной совокупности». Это стало хорошо известно благодаря работе Рональд Фишер, который назвал распределение "Распределение Стьюдента" и представил тестовое значение буквой т.^[12][13]

Как распределение Стьюдента возникает из выборки

Позволять ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ быть независимо и идентично взятым из распределения ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$, т.е. это образец размером ${\displaystyle n}$ из нормально распределенной популяции с ожидаемым средним значением ${\displaystyle \mu }$ и дисперсия ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Позволять

${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

быть выборочным средним и пусть

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}$

быть (С поправкой на Бесселя ) выборочная дисперсия. Тогда случайная величина

${\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$

имеет стандартное нормальное распределение (то есть нормальное с ожидаемым средним 0 и дисперсией 1), а случайная величина

${\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}},}$

куда ${\displaystyle S}$ был заменен на ${\displaystyle \sigma }$, имеет студенческую т-распространение с ${\displaystyle n-1}$ степени свободы. Числитель и знаменатель в предыдущем выражении являются независимыми случайными величинами, несмотря на то, что они основаны на одной и той же выборке. ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$.

Определение

Функция плотности вероятности

Студенты т-распределение имеет функция плотности вероятности данный

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{\!-{\frac {\nu +1}{2}}},\!}$

куда ${\displaystyle \nu }$ это количество степени свободы и ${\displaystyle \Gamma }$ это гамма-функция. Это также можно записать как

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{\!-{\frac {\nu +1}{2}}}\!,}$

где B - Бета-функция. В частности, для целочисленных степеней свободы ${\displaystyle \nu }$ у нас есть:

За ${\displaystyle \nu >1}$ четное,

${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4\cdot 2\,}}\cdot }$

За ${\displaystyle \nu >1}$ странный,

${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5\cdot 3\,}}\cdot \!}$

Функция плотности вероятности: симметричный, а его общая форма напоминает форму колокола нормально распределенный переменная со средним 0 и дисперсией 1, за исключением того, что она немного ниже и шире. С ростом числа степеней свободы т-распределение приближается к нормальному со средним 0 и дисперсией 1. По этой причине ${\displaystyle {\nu }}$ также известен как параметр нормальности.^[14]

На следующих изображениях показана плотность т-распределение для увеличения значений ${\displaystyle \nu }$. Нормальное распределение показано синей линией для сравнения. Обратите внимание, что т-распределение (красная линия) становится ближе к нормальному распределению, поскольку ${\displaystyle \nu }$ увеличивается.

Плотность т-распределение (красный) для 1, 2, 3, 5, 10 и 30 степеней свободы по сравнению со стандартным нормальным распределением (синий).
Предыдущие графики показаны зеленым цветом.

1 степень свободы	2 степени свободы	3 степени свободы
5 степеней свободы	10 степеней свободы	30 степеней свободы

Кумулятивная функция распределения

В кумулятивная функция распределения можно записать в терминах я, регуляризованныйнеполная бета-функция. За т > 0,^[15]

${\displaystyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=1-{\tfrac {1}{2}}I_{x(t)}\left({\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {1}{2}}\right),}$

куда

${\displaystyle x(t)={\frac {\nu }{t^{2}+\nu }}.}$

Другие значения были бы получены симметрией. Альтернативная формула, действующая для ${\displaystyle t^{2}<\nu }$, является^[15]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\,du={\tfrac {1}{2}}+t{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(\nu +1)\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\tfrac {\nu }{2}}\right)}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}(\nu +1);{\tfrac {3}{2}};-{\tfrac {t^{2}}{\nu }}\right),}$

куда ₂F₁ частный случай гипергеометрическая функция.

Для получения информации о его обратной кумулятивной функции распределения см. функция квантили § t-распределение Стьюдента.

Особые случаи

Определенные значения ${\displaystyle \nu }$ придать особенно простую форму.

• ${\displaystyle \nu =1}$

Функция распределения:

${\displaystyle F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan(t).}$

Функция плотности:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{\pi (1+t^{2})}}.}$

Видеть Распределение Коши

• ${\displaystyle \nu =2}$

Функция распределения:

${\displaystyle F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\frac {t}{2{\sqrt {2}}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{2}}}}}}.}$

Функция плотности:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}\left(1+{\frac {t^{2}}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

• ${\displaystyle \nu =3}$

Функция распределения:

${\displaystyle F(t)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\left[{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {t}{1+{\frac {t^{2}}{3}}}}+\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)\right]}.}$

Функция плотности:

${\displaystyle f(t)={\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\left(1+{\frac {t^{2}}{3}}\right)^{2}}}.}$

• ${\displaystyle \nu =4}$

Функция распределения:

${\displaystyle F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}{\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{4}}}}}{\left[1-{\frac {1}{12}}{\frac {t^{2}}{1+{\frac {t^{2}}{4}}}}\right]}.}$

Функция плотности:

${\displaystyle f(t)={\frac {3}{8\left(1+{\frac {t^{2}}{4}}\right)^{\frac {5}{2}}}}.}$

• ${\displaystyle \nu =5}$

Функция распределения:

${\displaystyle F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\left[{\frac {t}{{\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\left(1+{\frac {2}{3\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\right)+\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {5}}}\right)\right]}.}$

Функция плотности:

${\displaystyle f(t)={\frac {8}{3\pi {\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)^{3}}}.}$

• ${\displaystyle \nu =\infty }$

Функция распределения:

${\displaystyle F(t)={\frac {1}{2}}{\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {t}{\sqrt {2}}}\right)\right]}.}$

Видеть Функция ошибки

Функция плотности:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}.}$

Видеть Нормальное распределение

Как т-распространение возникает

Выборочное распределение

Позволять ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$ быть числами, наблюдаемыми в выборке из непрерывно распределенной совокупности с ожидаемым значением ${\displaystyle \mu }$. Среднее значение выборки и выборочная дисперсия даны:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}},\\s^{2}&={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}.\end{aligned}}}$

Результирующий t-значение является

${\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu }{s/{\sqrt {n}}}}.}$

В т-распространение с ${\displaystyle n-1}$ степени свободы выборочное распределение из т-значение, когда образцы состоят из независимые одинаково распределенные наблюдения от нормально распределенный численность населения. Таким образом, для целей вывода т полезный "основное количество "в случае, когда среднее значение и дисперсия ${\displaystyle (\mu ,\sigma ^{2})}$ - неизвестные параметры популяции в том смысле, что т-значение имеет распределение вероятностей, которое не зависит ни от ${\displaystyle \mu }$ ни ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Байесовский вывод

Основная статья: Байесовский вывод

В байесовской статистике a (масштабированный, сдвинутый) т-распределение возникает как предельное распределение неизвестного среднего нормального распределения, когда зависимость от неизвестной дисперсии исключена:^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mu \mid D,I)=&\int p(\mu ,\sigma ^{2}\mid D,I)\,d\sigma ^{2}\\=&\int p(\mu \mid D,\sigma ^{2},I)\,p(\sigma ^{2}\mid D,I)\,d\sigma ^{2},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle D}$ обозначает данные ${\displaystyle \{x_{i}\}}$, и ${\displaystyle I}$ представляет любую другую информацию, которая могла быть использована для создания модели. Таким образом, распределение компаундирование условного распределения ${\displaystyle \mu }$ учитывая данные и ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ с маргинальным распределением ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ учитывая данные.

С ${\displaystyle n}$ точки данных, если малоинформативный, или квартира, расположение и масштаб приоры ${\displaystyle p(\mu \mid \sigma ^{2},I)={\text{const}}}$ и ${\displaystyle p(\sigma ^{2}\mid I)\propto 1/\sigma ^{2}}$ в качестве μ и σ², тогда Теорема Байеса дает

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mu \mid D,\sigma ^{2},I)&\sim N({\bar {x}},\sigma ^{2}/n),\\p(\sigma ^{2}\mid D,I)&\sim \operatorname {Scale-inv-} \chi ^{2}(\nu ,s^{2}),\end{aligned}}}$

нормальное распределение и масштабированное обратное распределение хи-квадрат соответственно, где ${\displaystyle \nu =n-1}$ и

${\displaystyle s^{2}=\sum {\frac {(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}.}$

Таким образом, интеграл маргинализации становится

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mu \mid D,I)&\propto \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}n(\mu -{\bar {x}})^{2}\right)\cdot \sigma ^{-\nu -2}\exp(-\nu s^{2}/2\sigma ^{2})\,d\sigma ^{2}\\&\propto \int _{0}^{\infty }\sigma ^{-\nu -3}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(n(\mu -{\bar {x}})^{2}+\nu s^{2}\right)\right)\,d\sigma ^{2}.\end{aligned}}}$

Это можно оценить, подставив ${\displaystyle z=A/2\sigma ^{2}}$, куда ${\displaystyle A=n(\mu -{\bar {x}})^{2}+\nu s^{2}}$, давая

${\displaystyle dz=-{\frac {A}{2\sigma ^{4}}}\,d\sigma ^{2},}$

так

${\displaystyle p(\mu \mid D,I)\propto A^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\int _{0}^{\infty }z^{(\nu -1)/2}\exp(-z)\,dz.}$

Но z интеграл теперь является стандартом Гамма-интеграл, который оценивается как константа, оставляя

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mu \mid D,I)&\propto A^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\\&\propto \left(1+{\frac {n(\mu -{\bar {x}})^{2}}{\nu s^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}.\end{aligned}}}$

Это форма т-распределение с явным масштабированием и сдвигом, которое будет рассмотрено более подробно в следующем разделе ниже. Его можно отнести к стандартизированным т-распределение заменой

${\displaystyle t={\frac {\mu -{\bar {x}}}{s/{\sqrt {n}}}}.}$

Приведенный выше вывод был представлен для случая неинформативных априорных значений для ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \sigma ^{2}}$; но будет очевидно, что любые априорные значения, которые приводят к нормальному распределению, объединенному с масштабированным обратным распределением хи-квадрат, приведут к т-распределение с масштабированием и сдвигом для ${\displaystyle P(\mu \mid D,I)}$, хотя параметр масштабирования, соответствующий ${\displaystyle {\frac {s^{2}}{n}}}$ выше будет зависеть как предварительная информация, так и данные, а не только данные, как указано выше.

Характеристика

Как распределение тестовой статистики

Студенты т-распространение с ${\displaystyle \nu }$ степеней свободы можно определить как распределение случайная переменная Т с^[15][17]

${\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=Z{\sqrt {\frac {\nu }{V}}},}$

куда

• Z стандартный нормальный с ожидаемое значение 0 и дисперсия 1;
• V имеет распределение хи-квадрат с ${\displaystyle \nu }$ степени свободы;
• Z и V находятся независимый;

Другое распределение определяется как распределение случайной величины, определенной для данной постоянной μ формулой

${\displaystyle (Z+\mu ){\sqrt {\frac {\nu }{V}}}.}$

Эта случайная величина имеет нецентральный т-распределение с параметр нецентральности μ. Это распределение важно при изучении мощность из студентов т-тест.

Вывод

Предполагать Икс₁, ..., Икс_п находятся независимый реализации нормально распределенной случайной величины Икс, который имеет математическое ожидание μ и отклонение σ². Позволять

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})}$

быть выборочным средним, и

${\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}_{n}\right)^{2}}$

быть беспристрастной оценкой отклонения от выборки. Можно показать, что случайная величина

${\displaystyle V=(n-1){\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}}$

имеет распределение хи-квадрат с ${\displaystyle \nu =n-1}$ степени свободы (по Теорема Кохрана ).^[18] Нетрудно показать, что величина

${\displaystyle Z=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}}$

нормально распределяется со средним 0 и дисперсией 1, поскольку выборочное среднее ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ нормально распределен со средним μ и дисперсией σ²/п. Более того, можно показать, что эти две случайные величины (нормально распределенная Z и хи-квадрат с распределением V) независимы. как следствие^{[требуется разъяснение ]} то основное количество

${\textstyle T\equiv {\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{S_{n}}},}$

который отличается от Z в том, что точное стандартное отклонение σ заменяется случайной величиной S_п, имеет студенческую т-распределение, как определено выше. Обратите внимание, что неизвестная дисперсия совокупности σ² не появляется в Т, так как он был и в числителе, и в знаменателе, поэтому он был отменен. Госсет интуитивно получил функция плотности вероятности указано выше, с ${\displaystyle \nu }$ равно п - 1, и Фишер доказал это в 1925 году.^[12]

Распределение тестовой статистики Т зависит от ${\displaystyle \nu }$, но не μ или σ; отсутствие зависимости от μ и σ - вот что делает т-распределение важно как в теории, так и на практике.

Как максимальное распределение энтропии

Студенты т-распределение распределение вероятностей максимальной энтропии для случайной вариации Икс для которого ${\displaystyle \operatorname {E} (\ln(\nu +X^{2}))}$ фиксированный.^{[19][требуется разъяснение ][нужен лучший источник ]}

Характеристики

Моменты

За ${\displaystyle \nu >1}$, то сырые моменты из т-распределение

${\displaystyle \operatorname {E} (T^{k})={\begin{cases}0&k{\text{ odd}},\quad 0<k<\nu \\{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left[\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {\nu -k}{2}}\right)\nu ^{\frac {k}{2}}\right]&k{\text{ even}},\quad 0<k<\nu .\\\end{cases}}}$

Моменты порядка ${\displaystyle \nu }$ или выше не существует.^[20]

Срок для ${\displaystyle 0<k<\nu }$, k даже, можно упростить, используя свойства гамма-функция к

${\displaystyle \operatorname {E} (T^{k})=\nu ^{\frac {k}{2}}\,\prod _{i=1}^{k/2}{\frac {2i-1}{\nu -2i}}\qquad k{\text{ even}},\quad 0<k<\nu .}$

Для т-распространение с ${\displaystyle \nu }$ степени свободы, ожидаемое значение равно 0, если ${\displaystyle \nu >1}$, и это отклонение является ${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}}$ если ${\displaystyle \nu >2}$. В перекос равно 0, если ${\displaystyle \nu >3}$ и избыточный эксцесс является ${\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}}$ если ${\displaystyle \nu >4}$.

Отбор проб Монте-Карло

Существуют различные подходы к построению случайных выборок из критериев Стьюдента. т-распределение. Вопрос зависит от того, требуются ли образцы на автономной основе или они должны быть построены с применением квантильная функция к униформа образцы; например, в многомерных приложениях на основе связочная зависимость.^{[нужна цитата ]} В случае автономного отбора проб расширение Метод Бокса – Мюллера и это полярная форма легко развертывается.^[21] Его достоинство заключается в том, что он одинаково хорошо применим ко всем действительно положительным степени свободы, ν, в то время как многие другие методы-кандидаты терпят неудачу, если ν близко к нулю.^[21]

Интеграл функции плотности вероятности Стьюдента и п-ценить

Функция А(т | ν) - интеграл от функции плотности вероятности Стьюдента, ж(т) между -т и т, за т ≥ 0. Это дает вероятность того, что значение т меньше, чем рассчитанное на основе данных наблюдений, может произойти случайно. Следовательно, функция А(т | ν) может использоваться при проверке того, является ли разница между средними значениями двух наборов данных статистически значимой, путем вычисления соответствующего значения т и вероятность его появления, если два набора данных были взяты из одной и той же совокупности. Это используется в различных ситуациях, особенно в т-тесты. Для статистики т, с ν степени свободы, А(т | ν) - вероятность того, что т было бы меньше наблюдаемого значения, если бы два средних значения были одинаковыми (при условии, что меньшее среднее вычитается из большего, так что т ≥ 0). Его легко вычислить из кумулятивная функция распределения F_ν(т) из т-распределение:

${\displaystyle A(t\mid \nu )=F_{\nu }(t)-F_{\nu }(-t)=1-I_{\frac {\nu }{\nu +t^{2}}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$

куда я_Икс регуляризованный неполная бета-функция (а, б).

Для проверки статистических гипотез эта функция используется для построения п-ценить.

Обобщенная студенческая т-распределение

По параметру масштабирования ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ или же ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$

Распределение Стьюдента можно обобщить до трех параметров семья в масштабе местности, представляя параметр местоположения ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ и масштабный параметр ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$, через отношение

${\displaystyle X={\hat {\mu }}+{\hat {\sigma }}T}$

или же

${\displaystyle T={\frac {X-{\hat {\mu }}}{\hat {\sigma }}}}$

Это означает, что ${\displaystyle {\frac {x-{\hat {\mu }}}{\hat {\sigma }}}}$ имеет классическое распределение Стьюдента с ${\displaystyle \nu }$ степени свободы.

Результирующий нестандартизированный студенческий т-распределение имеет плотность, определяемую:^[22]

${\displaystyle p(x\mid \nu ,{\hat {\mu }},{\hat {\sigma }})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}{\hat {\sigma }}\,}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-{\hat {\mu }}}{\hat {\sigma }}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$

Здесь, ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ делает нет соответствуют стандартное отклонение: это не стандартное отклонение масштабированного т распространение, которое может даже не существовать; и это не стандартное отклонение базового нормальное распределение, что неизвестно. ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ просто устанавливает общее масштабирование распределения. В байесовском выводе маргинального распределения неизвестного нормального среднего ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ над, ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ здесь соответствует количеству ${\displaystyle {s/{\sqrt {n}}}}$, куда

${\displaystyle s^{2}=\sum {\frac {(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}\,}$.

Эквивалентно, распределение можно записать в терминах ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$, квадрат этого масштабного параметра:

${\displaystyle p(x\mid \nu ,{\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu {\hat {\sigma }}^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-{\hat {\mu }})^{2}}{{\hat {\sigma }}^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$

Другие свойства этой версии дистрибутива:^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&={\hat {\mu }}&{\text{ for }}\nu >1\\\operatorname {var} (X)&={\hat {\sigma }}^{2}{\frac {\nu }{\nu -2}}&{\text{ for }}\nu >2\\\operatorname {mode} (X)&={\hat {\mu }}\end{aligned}}}$

Это распределение является результатом компаундирование а Гауссово распределение (нормальное распределение ) с иметь в виду ${\displaystyle \mu }$ и неизвестно отклонение, с обратное гамма-распределение размещены над дисперсией с параметрами ${\displaystyle a=\nu /2}$ и ${\displaystyle b=\nu {\hat {\sigma }}^{2}/2}$. Другими словами, случайная переменная Икс предполагается, что имеет гауссово распределение с неизвестной дисперсией, распределенной как обратная гамма, и тогда дисперсия равна маргинализованный (интегрировано). Причина полезности этой характеристики заключается в том, что обратное гамма-распределение является сопряженный предшествующий распределение дисперсии гауссова распределения. В результате нестандартизированные Студенческие т-распределение естественно возникает во многих задачах байесовского вывода. Смотри ниже.

Эквивалентно, это распределение является результатом сложения гауссова распределения с масштабированное обратное распределение хи-квадрат с параметрами ${\displaystyle \nu }$ и ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$. Распределение масштабированного обратного хи-квадрат точно такое же, как и обратное гамма-распределение, но с другой параметризацией, т. Е. ${\displaystyle \nu =2a,\;{\hat {\sigma }}^{2}={\frac {b}{a}}}$.

С точки зрения параметра обратного масштабирования λ

Альтернатива параметризация в терминах параметра обратного масштабирования ${\displaystyle \lambda }$ (аналогично способу точность - величина, обратная дисперсии), определяемая соотношением ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{{\hat {\sigma }}^{2}}}\,}$. Тогда плотность определяется как:^[23]

${\displaystyle p(x\mid \nu ,{\hat {\mu }},\lambda )={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {\lambda }{\pi \nu }}\right)^{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\lambda (x-{\hat {\mu }})^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}.}$

Другие свойства этой версии дистрибутива:^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&={\hat {\mu }}&&{\text{ for }}\nu >1\\[5pt]\operatorname {var} (X)&={\frac {1}{\lambda }}{\frac {\nu }{\nu -2}}&&{\text{ for }}\nu >2\\[5pt]\operatorname {mode} (X)&={\hat {\mu }}\end{aligned}}}$

Это распределение является результатом компаундирование а Гауссово распределение с иметь в виду ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ и неизвестно точность (обратная отклонение ), с гамма-распределение над точностью с параметрами ${\displaystyle a=\nu /2}$ и ${\displaystyle b=\nu /(2\lambda )}$. Другими словами, случайная величина Икс предполагается, что имеет нормальное распределение с неизвестной точностью, распределяемой как гамма, а затем это маргинализируется по гамма-распределению.

Связанные дистрибутивы

• Если ${\displaystyle X}$ имеет студенческий т-распределение со степенью свободы ${\displaystyle \nu }$ тогда Икс² имеет F-распределение: ${\displaystyle X^{2}\sim \mathrm {F} \left(\nu _{1}=1,\nu _{2}=\nu \right)}$
• В нецентральный т-распределение обобщает т-distribution для включения параметра местоположения. В отличие от нестандартных т-распределения, нецентральные распределения не симметричны (медиана не совпадает с режимом).
• В дискретный студенческий т-распределение определяется его функция массы вероятности в р пропорционально:^[24]

${\displaystyle \prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{(r+j+a)^{2}+b^{2}}}\quad \quad r=\ldots ,-1,0,1,\ldots .}$

Здесь а, б, и k параметры. Это распределение возникает в результате построения системы дискретных распределений, аналогичных распределению Распределения Пирсона для непрерывных распределений.^[25]

• Можно сгенерировать выборки Стьюдента, взяв отношение переменных из нормальное распределение и квадратный корень из χ²-распределение. Если использовать вместо нормального распределения, например, Распределение Ирвина – Холла, мы получаем в целом симметричное 4-параметрическое распределение, которое включает нормаль, униформа, то треугольный, Студент-т и Распределение Коши. Это также более гибко, чем некоторые другие симметричные обобщения нормального распределения.
• т-дистрибутив является экземпляром соотношения распределения

Использует

В частотном статистическом выводе

Студенты т-распределение возникает в различных задачах статистической оценки, где целью является оценка неизвестного параметра, такого как среднее значение, в условиях, когда данные наблюдаются с добавлением ошибки. Если (как почти во всех практических статистических работах) население стандартное отклонение этих ошибок неизвестно и должно быть оценено на основе данных, т-распределение часто используется для учета дополнительной неопределенности, возникающей в результате этой оценки. В большинстве таких задач, если было известно стандартное отклонение ошибок, нормальное распределение будет использоваться вместо т-распределение.

Доверительные интервалы и проверка гипотез две статистические процедуры, в которых квантили выборочного распределения конкретной статистики (например, стандартная оценка ) необходимы. В любой ситуации, когда эта статистика линейная функция из данные, разделенное на обычную оценку стандартного отклонения, полученная величина может быть изменена и центрирована в соответствии с оценкой Стьюдента. т-распределение. Статистический анализ, включающий средние, взвешенные средние и коэффициенты регрессии, все приводит к статистике, имеющей такую ​​форму.

Довольно часто в задачах из учебников стандартное отклонение совокупности рассматривается так, как если бы оно было известно, и тем самым избегает необходимости использовать т-распределение. Эти проблемы обычно бывают двух видов: (1) те, в которых размер выборки настолько велик, что можно рассматривать основанную на данных оценку отклонение как если бы это было достоверно, и (2) те, которые иллюстрируют математические рассуждения, в которых проблема оценки стандартного отклонения временно игнорируется, потому что это не тот момент, который затем объясняет автор или преподаватель.

Проверка гипотезы

Можно показать, что ряд статистических т-распределения для выборок среднего размера под нулевые гипотезы которые представляют интерес, так что т-распределение формирует основу для тестов значимости. Например, распределение Коэффициент ранговой корреляции Спирмена ρ, в нулевом случае (нулевая корреляция) хорошо аппроксимируется т распределение для размеров выборки более 20.^{[нужна цитата ]}

Доверительные интервалы

Предположим, что число А так выбрано, что

${\displaystyle \Pr(-A<T<A)=0.9,}$

когда Т имеет т-распространение с п - 1 степень свободы. По симметрии это то же самое, что сказать, что А удовлетворяет

${\displaystyle \Pr(T<A)=0.95,}$

так А это "95-й процентиль" этого распределения вероятностей, или ${\displaystyle A=t_{(0.05,n-1)}}$. потом

${\displaystyle \Pr \left(-A<{\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}<A\right)=0.9,}$

и это эквивалентно

${\displaystyle \Pr \left({\overline {X}}_{n}-A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}<\mu <{\overline {X}}_{n}+A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\right)=0.9.}$

Следовательно, интервал, конечные точки которого

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}$

составляет 90% доверительный интервал для μ. Следовательно, если мы найдем среднее значение набора наблюдений, которое, как мы можем разумно ожидать, будет иметь нормальное распределение, мы можем использовать т-распределение для проверки того, включают ли доверительные границы этого среднего значения теоретически предсказанное значение, такое как значение, предсказанное на нулевая гипотеза.

Именно этот результат используется в Студенты т-тесты: поскольку разница между средними значениями выборок из двух нормальных распределений сама по себе распределяется нормально, т-распределение можно использовать, чтобы проверить, можно ли обоснованно предположить, что эта разница равна нулю.

Если данные распределены нормально, односторонний (1 - α) -Верхний доверительный предел (ВПД) среднего, можно рассчитать с помощью следующего уравнения:

${\displaystyle \mathrm {UCL} _{1-\alpha }={\overline {X}}_{n}+t_{\alpha ,n-1}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}.}$

Результирующий UCL будет наибольшим средним значением, которое будет иметь место для данного доверительного интервала и размера популяции. Другими словами, ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ будучи средним значением набора наблюдений, вероятность того, что среднее значение распределения уступает UCL_1−α равно доверительной вероятности 1 - α.

Интервалы прогноза

В т-распределение может быть использовано для построения интервал прогноза для ненаблюдаемой выборки из нормального распределения с неизвестным средним значением и дисперсией.

В байесовской статистике

Студенты т-распределение, особенно в его трехпараметрической версии (шкала местоположения), часто возникает в Байесовская статистика в результате его связи с нормальное распределение. Когда бы отклонение нормально распределенного случайная переменная неизвестно и сопряженный предшествующий помещенный над ним, который следует обратное гамма-распределение, результирующий предельное распределение переменной будет следовать за студентом т-распределение. Эквивалентные конструкции с одинаковыми результатами включают сопряженное масштабированное обратное распределение хи-квадрат над дисперсией или сопряженным гамма-распределение над точность. Если неподходящий предварительный пропорционально σ⁻² помещается над дисперсией, т-распространение тоже возникает. Это имеет место независимо от того, известно ли среднее значение нормально распределенной переменной, неизвестно ли распределено в соответствии с сопрягать нормально распределенный предшествующий или неизвестный распределенный согласно неправильному постоянному предшествующему.

Связанные ситуации, которые также вызывают т-распространение бывают:

• В маргинальный апостериорное распределение неизвестного среднего значения нормально распределенной переменной с неизвестным априорным средним и дисперсией в соответствии с описанной выше моделью.
• В предварительное прогнозное распределение и апостериорное прогнозирующее распределение новой нормально распределенной точки данных, когда серия независимые одинаково распределенные наблюдались нормально распределенные точки данных с предварительным средним значением и дисперсией, как в приведенной выше модели.

Надежное параметрическое моделирование

В т-распределение часто используется как альтернатива нормальному распределению в качестве модели данных, которая часто имеет более тяжелые хвосты, чем допускает нормальное распределение; см. например Lange et al.^[26] Классический подход заключался в выявлении выбросы (например, используя Тест Граббса ) и каким-либо образом исключить или уменьшить их вес. Однако не всегда легко выявить выбросы (особенно в высокие размеры ), а т-распределение является естественным выбором модели для таких данных и обеспечивает параметрический подход к надежная статистика.

Байесовское описание можно найти в работе Gelman et al.^[27] Параметр степеней свободы контролирует эксцесс распределения и коррелирует с параметром масштаба. Вероятность может иметь несколько локальных максимумов, и поэтому часто необходимо фиксировать степени свободы на довольно низком значении и оценивать другие параметры, принимая это как заданное. Некоторые авторы^{[нужна цитата ]} Сообщите, что значения от 3 до 9 часто являются хорошим выбором. Венейблс и Рипли^{[нужна цитата ]} предполагают, что значение 5 часто является хорошим выбором.

Студенческий t-процесс

Для практических регресс и прогноз потребностей, были введены t-процессы Стьюдента, которые являются обобщениями t-распределений Стьюдента для функций. T-процесс Стьюдента строится из t-распределений Стьюдента как Гауссовский процесс построен из Гауссовы распределения. Для Гауссовский процесс, все наборы значений имеют многомерное распределение Гаусса. Аналогично, ${\displaystyle X(t)}$ является t-процессом Стьюдента на интервале ${\displaystyle I=[a,b]}$ если соответствующие значения процесса ${\displaystyle X(t_{1}),...,X(t_{n})}$ (${\displaystyle t_{i}\in I}$) иметь совместный многомерное t-распределение Стьюдента.^[28] Эти процессы используются для регрессии, прогнозирования, байесовской оптимизации и связанных с ними задач. Для многомерной регрессии и прогнозирования с несколькими выходами вводятся и используются многомерные t-процессы Стьюдента.^[29]

Таблица выбранных значений

В следующей таблице перечислены значения для т-распределения с ν степенями свободы для диапазона односторонний или же двусторонний критические регионы. Первый столбец - это ν, проценты вверху - это уровни достоверности, а числа в теле таблицы - это ${\displaystyle t_{\alpha ,n-1}}$ факторы, описанные в разделе о доверительные интервалы.

Примечание что последняя строка с бесконечным ν дает критические точки для нормального распределения, поскольку т-распределение с бесконечным числом степеней свободы - нормальное распределение. (Видеть Связанные дистрибутивы над).

Односторонний	75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
Двусторонний	50%	60%	70%	80%	90%	95%	98%	99%	99.5%	99.8%	99.9%
1	1.000	1.376	1.963	3.078	6.314	12.71	31.82	63.66	127.3	318.3	636.6
2	0.816	1.080	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	14.09	22.33	31.60
3	0.765	0.978	1.250	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.21	12.92
4	0.741	0.941	1.190	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	5.598	7.173	8.610
5	0.727	0.920	1.156	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6.869
6	0.718	0.906	1.134	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
7	0.711	0.896	1.119	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
8	0.706	0.889	1.108	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
9	0.703	0.883	1.100	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	3.690	4.297	4.781
10	0.700	0.879	1.093	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	3.581	4.144	4.587
11	0.697	0.876	1.088	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	3.497	4.025	4.437
12	0.695	0.873	1.083	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.428	3.930	4.318
13	0.694	0.870	1.079	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.372	3.852	4.221
14	0.692	0.868	1.076	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.326	3.787	4.140
15	0.691	0.866	1.074	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
16	0.690	0.865	1.071	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.252	3.686	4.015
17	0.689	0.863	1.069	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.222	3.646	3.965
18	0.688	0.862	1.067	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.197	3.610	3.922
19	0.688	0.861	1.066	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.174	3.579	3.883
20	0.687	0.860	1.064	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.153	3.552	3.850
21	0.686	0.859	1.063	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.135	3.527	3.819
22	0.686	0.858	1.061	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.119	3.505	3.792
23	0.685	0.858	1.060	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.104	3.485	3.767
24	0.685	0.857	1.059	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.091	3.467	3.745
25	0.684	0.856	1.058	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.078	3.450	3.725
26	0.684	0.856	1.058	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.067	3.435	3.707
27	0.684	0.855	1.057	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.057	3.421	3.690
28	0.683	0.855	1.056	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.047	3.408	3.674
29	0.683	0.854	1.055	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.038	3.396	3.659
30	0.683	0.854	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.030	3.385	3.646
40	0.681	0.851	1.050	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3.551
50	0.679	0.849	1.047	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	2.937	3.261	3.496
60	0.679	0.848	1.045	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	2.915	3.232	3.460
80	0.678	0.846	1.043	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	2.887	3.195	3.416
100	0.677	0.845	1.042	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	2.871	3.174	3.390
120	0.677	0.845	1.041	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
∞	0.674	0.842	1.036	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	2.807	3.090	3.291
Односторонний	75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
Двусторонний	50%	60%	70%	80%	90%	95%	98%	99%	99.5%	99.8%	99.9%

Расчет доверительного интервала

Скажем, у нас есть выборка с размером 11, выборочным средним 10 и выборочной дисперсией 2. Для 90% достоверности с 10 степенями свободы одностороннее t-значение из таблицы составляет 1,372. Тогда с доверительным интервалом, рассчитанным из

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\pm t_{\alpha ,\nu }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}},}$

мы определяем, что с вероятностью 90% истинное среднее значение находится ниже

${\displaystyle 10+1.372{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=10.585.}$

Другими словами, в 90% случаев, когда верхний порог вычисляется этим методом на основе конкретных выборок, этот верхний порог превышает истинное среднее значение.

И с вероятностью 90% у нас есть истинное среднее значение, лежащее выше

${\displaystyle 10-1.372{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=9.414.}$

Другими словами, в 90% случаев, когда нижний порог вычисляется этим методом на основе конкретных выборок, этот нижний порог находится ниже истинного среднего значения.

Таким образом, при 80% достоверности (рассчитанной из 100% - 2 × (1 - 90%) = 80%) у нас есть истинное среднее значение, лежащее в интервале

${\displaystyle \left(10-1.372{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}},10+1.372{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}\right)=(9.414,10.585).}$

Сказать, что в 80% случаев, когда верхний и нижний пороги вычисляются этим методом на основе данной выборки, истинное среднее значение оказывается как ниже верхнего, так и выше нижнего порога, не то же самое, что утверждать, что существует 80% -ная вероятность того, что истинное среднее значение находится между конкретной парой верхнего и нижнего пороговых значений, рассчитанных этим методом; видеть доверительный интервал и ошибка прокурора.

В настоящее время статистическое программное обеспечение, такое как Язык программирования R, и функции, доступные во многих электронные таблицы вычислить значения т-распределение и его обратное без таблиц.

Смотрите также

• Математический портал

• Z-распределительная таблица
• Распределение хи-квадрат
• F-распределение
• Гамма-распределение
• Сложенныйт и наполовинут распределения
• Хотеллинга Т-квадратное распределение
• Многомерное распределение студентов
• т-статистический
• Тау-распределение, за внутренне студентизированные остатки
• Лямбда-распределение Уилкса
• Распределение Уишарта

Примечания

1. Херст, Саймон. Характеристическая функция распределения Стьюдента, Отчет об исследовании финансовой математики № FMRR006-95, Отчет о статистическом исследовании № SRR044-95 В архиве 18 февраля 2010 г. Wayback Machine
2. Гельмерт FR (1875). "Über die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler". Z. Math. U. Physik. 20: 300–3.
3. Гельмерт FR (1876 г.). "Uber die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und uber einige damit в Zusammenhang stehende Fragen". Z. Math. Phys. 21: 192–218.
4. Гельмерт FR (1876 г.). "Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit" [Точность формулы Петерса для расчета вероятной ошибки наблюдения прямых наблюдений такой же точности] (PDF). Astron. Nachr. (на немецком). 88 (8–9): 113–132. Bibcode:1876AN ..... 88..113H. Дои:10.1002 / asna.18760880802.
5. Люрот Дж (1876 г.). "Vergleichung von zwei Werten des wahrscheinlichen Fehlers". Astron. Nachr. 87 (14): 209–20. Bibcode:1876AN ..... 87..209L. Дои:10.1002 / asna.18760871402.
6. Пфанзагл Дж, Шейнин О (1996). «Исследования по истории вероятности и статистики. XLIV. Предшественник t-распределения». Биометрика. 83 (4): 891–898. Дои:10.1093 / biomet / 83.4.891. МИСТЕР  1766040.
7. Шейнин О. (1995). «Работа Гельмерта по теории ошибок». Arch. Hist. Exact Sci. 49 (1): 73–104. Дои:10.1007 / BF00374700.
8. Пирсон, К. (1895-01-01). "Вклад в математическую теорию эволюции. II. Косые вариации в однородном материале". Философские труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 186: 343–414 (374). Дои:10.1098 / рста.1895.0010. ISSN  1364-503X.
9. "Ученик" [Уильям Сили Госсет ] (1908). «Вероятная ошибка среднего» (PDF). Биометрика. 6 (1): 1–25. Дои:10.1093 / biomet / 6.1.1. HDL:10338.dmlcz / 143545. JSTOR  2331554.
10. Wendl MC (2016). «Псевдонимная слава». Наука. 351 (6280): 1406. Дои:10.1126 / science.351.6280.1406. PMID  27013722.
11. Мортимер Р.Г. (2005). Математика для физической химии (3-е изд.). Берлингтон, Массачусетс: Elsevier. стр.326. ISBN  9780080492889. OCLC  156200058.
12. Фишер Р.А. (1925). «Приложения« Студенческой »раздачи» (PDF). Метрон. 5: 90–104. Архивировано из оригинал (PDF) 5 марта 2016 г.
13. Уолпол Р.Э., Майерс Р., Майерс С. и др. (2006). Вероятность и статистика для инженеров и ученых (7-е изд.). Нью-Дели: Пирсон. п. 237. ISBN  9788177584042. OCLC  818811849.
14. Крушке Ю.К. (2015). Проведение байесовского анализа данных (2-е изд.). Академическая пресса. ISBN  9780124058880. OCLC  959632184.
15. Джонсон Н.Л., Коц С., Балакришнан Н. (1995). «Глава 28». Непрерывные одномерные распределения. 2 (2-е изд.). Вайли. ISBN  9780471584940.
16. Гельман А.Б., Карлин Дж. С., Рубин Д. Б. и др. (1997). Байесовский анализ данных (2-е изд.). Бока-Ратон: Чепмен и Холл. п. 68. ISBN  9780412039911.
17. Hogg RV, Крейг А.Т. (1978). Введение в математическую статистику (4-е изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. КАК В  B010WFO0SA. Разделы 4.4 и 4.8
18. Кокран РГ (1934). «Распределение квадратичных форм в нормальной системе с приложениями к анализу ковариации». Математика. Proc. Camb. Филос. Soc. 30 (2): 178–191. Bibcode:1934PCPS ... 30..178C. Дои:10.1017 / S0305004100016595.
19. Парк С.Ю., Бера АК (2009). «Модель условной гетероскедастичности авторегрессии максимальной энтропии». J. Econom. 150 (2): 219–230. Дои:10.1016 / j.jeconom.2008.12.014.
20. Казелла Г., Бергер Р.Л. (1990). Статистические выводы. Ресурсный центр Даксбери. п. 56. ISBN  9780534119584.
21. Бейли Р.В. (1994). "Полярное генерирование случайных величин с помощью т-Распределение". Математика. Comput. 62 (206): 779–781. Дои:10.2307/2153537. JSTOR  2153537.
22. Джекман, С. (2009). Байесовский анализ для социальных наук. Вайли. п.507. Дои:10.1002/9780470686621. ISBN  9780470011546.
23. Бишоп, К. (2006). Распознавание образов и машинное обучение. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer. ISBN  9780387310732.
24. Ord JK (1972). Семейства частотных распределений. Лондон: Гриффин. ISBN  9780852641378. См. Таблицу 5.1.
25. Орд JK (1972). «Глава 5». Семейства частотных распределений. Лондон: Гриффин. ISBN  9780852641378.
26. Ланге К.Л., Литтл Р.Дж., Тейлор Дж. М. (1989). «Надежное статистическое моделирование с использованием т Распределение" (PDF). Варенье. Стат. Доц. 84 (408): 881–896. Дои:10.1080/01621459.1989.10478852. JSTOR  2290063.
27. Гельман А.Б., Карлин Дж.Б., Стерн Х.С. и др. (2014). «Вычислительно эффективное моделирование цепи Маркова». Байесовский анализ данных. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 293. ISBN  9781439898208.
28. Шах, Амар; Уилсон, Эндрю Гордон; Гахрамани, Зубин (2014). «Студенческие t-процессы как альтернатива гауссовским процессам» (PDF). JMLR. 33 (Материалы 17-й Международной конференции по искусственному интеллекту и статистике (AISTATS) 2014, Рейкьявик, Исландия): 877–885.
29. Чен, Зексун; Ван, Бо; Горбань, Александр Н. (2019). «Многомерная гауссова регрессия и регрессия Стьюдента для прогнозирования с несколькими выходами». Нейронные вычисления и приложения. arXiv:1703.04455. Дои:10.1007 / s00521-019-04687-8.

Рекомендации

• Senn, S .; Ричардсон, В. (1994). "Первый т-тест". Статистика в медицине. 13 (8): 785–803. Дои:10.1002 / sim.4780130802. PMID  8047737.
• Hogg RV, Крейг А.Т. (1978). Введение в математическую статистику (4-е изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. КАК В  B010WFO0SA.
• Venables, W. N .; Рипли, Б. Д. (2002). Современная прикладная статистика с S (Четвертое изд.). Springer.
• Гельман, Андрей; Джон Б. Карлин; Хэл С. Стерн; Дональд Б. Рубин (2003). Байесовский анализ данных (второе издание). CRC / Chapman & Hall. ISBN  1-58488-388-X.

внешняя ссылка

• «Студенческое распределение», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Самые ранние известные варианты использования некоторых слов математики (S) (Замечания по истории возникновения термина «Студенческое распределение»)
• Руо, М. (2013), Вероятность, статистика и оценка (PDF) (короткое изд.) Первые студенты на странице 112.