Обобщенное гамма-распределение - Generalized gamma distribution - Wikipedia

Обобщенная гамма

Функция плотности вероятности
Параметры	${\displaystyle a>0}$ (шкала), ${\displaystyle d>0,p>0}$
Поддерживать	${\displaystyle x\;\in \;(0,\,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {p/a^{d}}{\Gamma (d/p)}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle a{\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}}$
Режим	${\displaystyle a\left({\frac {d-1}{p}}\right)^{\frac {1}{p}}\mathrm {for} \;d>1,\mathrm {otherwise} \;0}$
Дисперсия	${\displaystyle a^{2}\left({\frac {\Gamma ((d+2)/p)}{\Gamma (d/p)}}-\left({\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}\right)^{2}\right)}$
Энтропия	${\displaystyle \ln {\frac {a\Gamma (d/p)}{p}}+{\frac {d}{p}}+\left({\frac {1}{p}}-{\frac {d}{p}}\right)\psi \left({\frac {d}{p}}\right)}$

В обобщенное гамма-распределение это непрерывный распределение вероятностей с тремя параметрами. Это обобщение двухпараметрического гамма-распределение. Поскольку многие распределения, обычно используемые для параметрических моделей в анализ выживаемости (такой как Экспоненциальное распределение, то Распределение Вейбулла и Гамма-распределение ) являются частными случаями обобщенной гаммы, иногда ее используют для определения того, какая параметрическая модель подходит для данного набора данных.^[1] Другой пример - полунормальное распределение.

Характеристики

Обобщенная гамма имеет три параметра: ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle d>0}$, и ${\displaystyle p>0}$. Для неотрицательных Икс, то функция плотности вероятности обобщенной гаммы^[2]

${\displaystyle f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}},}$

куда ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ обозначает гамма-функция.

В кумулятивная функция распределения является

${\displaystyle F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}},}$

куда ${\displaystyle \gamma (\cdot )}$ обозначает нижняя неполная гамма-функция.

В квантильная функция можно найти, отметив, что ${\displaystyle F(x;a,d,p)=G((x/a)^{p})}$ куда ${\displaystyle G}$ - кумулятивная функция распределения Гамма-распределение с параметрами ${\displaystyle \alpha =d/p}$ и ${\displaystyle \beta =1}$. Затем квантильная функция определяется путем инвертирования ${\displaystyle F}$ используя известные отношения о инверсия составных функций, что дает:

${\displaystyle F^{-1}(q;a,d,p)=a\cdot {\big [}G^{-1}(q){\big ]}^{1/p},}$

с ${\displaystyle G^{-1}(q)}$ функция квантиля для гамма-распределения с ${\displaystyle \alpha =d/p,\,\beta =1}$.

Если ${\displaystyle d=p}$ тогда обобщенное гамма-распределение становится Распределение Вейбулла. В качестве альтернативы, если ${\displaystyle p=1}$ обобщенная гамма становится гамма-распределение.

Иногда используются альтернативные параметризации этого распределения; например с заменой α = d / p.^[3] Кроме того, можно добавить параметр сдвига, так что домен Икс начинается с некоторого значения, отличного от нуля.^[3] Если ограничения по признакам а, d и п также поднимаются (но α = d/п остается положительным), это дает распределение, называемое Распределение Аморозо, в честь итальянского математика и экономиста Луиджи Аморосо который описал это в 1925 году.^[4]

Моменты

Если Икс имеет обобщенное гамма-распределение, как указано выше, тогда^[3]

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}.}$

Расхождение Кульбака-Лейблера

Если ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ являются функциями плотности вероятности двух обобщенных гамма-распределений, то их Расхождение Кульбака-Лейблера дан кем-то

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \psi (\cdot )}$ это функция дигаммы.^[5]

Программная реализация

в р На языке программирования существует несколько пакетов, которые включают функции для подгонки и генерации обобщенных гамма-распределений. В азарт пакет в R позволяет устанавливать и генерировать множество различных семейств дистрибутивов, включая обобщенная гамма (семья = GG). Другие опции в R, реализованные в пакете flexsurv, включите функцию dgengamma, с параметризацией: ${\displaystyle \mu =\ln a+{\frac {\ln d-\ln p}{p}}}$, ${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {pd}}}}$, ${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {p}{d}}}}$, а в пакете гамма с параметризацией ${\displaystyle a=a}$, ${\displaystyle b=p}$, ${\displaystyle k=d/p}$.

Смотрите также

• Обобщенное целочисленное гамма-распределение

Рекомендации

1. Box-Steffensmeier, Janet M .; Джонс, Брэдфорд С. (2004) Моделирование истории событий: руководство для социологов. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-54673-7 (стр. 41-43)
2. Стейси, E.W. (1962). «Обобщение гамма-распределения». Анналы математической статистики 33(3): 1187-1192. JSTOR  2237889
3. Johnson, N.L .; Коц, S; Балакришнан, Н. (1994) Непрерывные одномерные распределения, Том 1, 2-е издание. Вайли. ISBN  0-471-58495-9 (Раздел 17.8.7)
4. Гэвин Э. Крукс (2010), Распределение Аморозо, Техническая записка, Национальная лаборатория Лоуренса Беркли.
5. К. Баукхэдж (2014), Вычисление расхождения Кульбака-Лейблера между двумя обобщенными гамма-распределениями, arXiv:1401.6853.