Обобщенное целочисленное гамма-распределение - Generalized integer gamma distribution

В вероятность и статистика, то обобщенное целочисленное гамма-распределение (GIG) - распределение суммы независимых гамма-распределенные случайные величины, все с целочисленными параметрами формы и различными параметрами скорости. Это частный случай обобщенное распределение хи-квадрат. Связанная концепция - это обобщенное почти целое гамма-распределение (ГНИГ).

Определение

В случайная переменная имеет гамма-распределение с параметр формы и параметр скорости если это функция плотности вероятности является

и этот факт обозначается

Позволять , куда быть независимый случайные величины, со всеми быть положительными целыми числами и все разные. Другими словами, каждая переменная имеет Распределение Erlang с разными параметрами формы. Уникальность каждого параметра формы достигается без потери общности, потому что любой случай, когда некоторые из равны, будут обрабатываться путем добавления соответствующих переменных: эта сумма будет иметь гамма-распределение с тем же параметром скорости и параметром формы, который равен сумме параметров формы в исходных распределениях.

Тогда случайная величина Y определяется

имеет GIG (обобщенная целочисленная гамма) распределение глубины с параметры формы и параметры ставки . Этот факт обозначается

Это также частный случай обобщенное распределение хи-квадрат.

Характеристики

Функция плотности вероятности и кумулятивная функция распределения из Y соответственно даются[1][2][3]

и

куда

и

с

 

 

 

 

(1)

и

 

 

 

 

(2)

куда

 

 

 

 

(3)

Альтернативные выражения доступны в литературе по обобщенное распределение хи-квадрат - область, в которой компьютерные алгоритмы доступны уже несколько лет.

Обобщение

GNIG (обобщенная почти целочисленная гамма) распределение глубины - распределение случайной величины[4]

куда и - две независимые случайные величины, где является положительным нецелым вещественным числом и где .

Характеристики

Функция плотности вероятности дан кем-то

а кумулятивная функция распределения определяется выражением

куда

с данный (1)-(3) над. В приведенных выше выражениях - вырожденная гипергеометрическая функция Куммера. Эта функция обычно имеет очень хорошие свойства сходимости и в настоящее время легко обрабатывается рядом программных пакетов.

Приложения

Распределения GIG и GNIG являются основой для точных и почти точных распределений большого количества статистических данных теста отношения правдоподобия и связанных статистических данных, используемых в многомерный анализ. [5][6][7][8][9] Точнее, это приложение обычно предназначено для точного и почти точного распределения отрицательного логарифма такой статистики. Если необходимо, то с помощью простого преобразования можно легко получить соответствующие точные или почти точные распределения для самих соответствующих тестовых статистик отношения правдоподобия. [4][10][11]

Распределение GIG также является основой для ряда упакованные дистрибутивы в обернутой гамма-семье.[12]

Как частный случай обобщенное распределение хи-квадрат, есть много других приложений; например, в теории обновления[1] и в беспроводной связи с множеством антенн.[13][14][15][16]

Компьютерные модули

Модули для расчета п.о.ф. и c.d.f. дистрибутивов GIG и GNIG доступны на эта веб-страница о почти точных распределениях.

Рекомендации

  1. ^ а б Амари С.В. и Мисра Р. Б. (1997). Замкнутые выражения для распределения суммы экспоненциальных случайных величин[постоянная мертвая ссылка ]. Транзакции IEEE о надежности, т. 46, нет. 4, 519-522.
  2. ^ Коэльо, К. А. (1998). Обобщенное целочисленное гамма-распределение - основа для распределений в многомерной статистике. Журнал многомерного анализа, 64, 86-102.
  3. ^ Коэльо, К. А. (1999). Приложение к статье «Обобщенное целочисленное гамма-распределение - основа для распределений в MultivariateAnalysis». Журнал многомерного анализа, 69, 281-285.
  4. ^ а б Коэльо, К. А. (2004). «Обобщенное почти целочисленное гамма-распределение - основа для« почти точных »приближений к распределениям статистики, которые являются продуктом нечетного числа конкретных независимых бета-случайных величин». Журнал многомерного анализа, 89 (2), 191-218. МИСТЕР2063631 Zbl  1047.62014 [WOS: 000221483200001]
  5. ^ Билодо, М., Бреннер, Д. (1999) «Теория многомерной статистики». Спрингер, Нью-Йорк [гл. 11, сек. 11.4]
  6. ^ Дас, С., Дей, Д. К. (2010) «О байесовском выводе для обобщенного многомерного гамма-распределения». Статистика и вероятностные письма, 80, 1492-1499.
  7. ^ Карагианнидис К., Сагиас Н. К., Цифтсис Т. А. (2006) «Закрытая статистика для суммы квадратов переменных Накагами-м и ее приложения». Сделки по коммуникациям, 54, 1353-1359.
  8. ^ Паолелла, М. С. (2007) «Промежуточная вероятность - вычислительный подход». J. Wiley & Sons, Нью-Йорк [гл. 2, сек. 2.2]
  9. ^ Тимм, Н. Х. (2002) «Прикладной многомерный анализ». Спрингер, Нью-Йорк [гл. 3, сек. 3.5]
  10. ^ Коэльо, К. А. (2006) «Точное и почти точное распределение произведения независимых бета-случайных величин, второй параметр которых является рациональным». Журнал комбинаторики, информации и системных наук, 31 (1-4), 21-44. МИСТЕР2351709
  11. ^ Коэльо, К. А., Альберто, Р. П. и Грило, Л. М. (2006) «Смесь обобщенных целочисленных гамма-распределений как точное распределение произведения нечетного числа независимых бета-случайных величин. Приложения». Журнал междисциплинарной математики, 9, 2, 229-248. МИСТЕР2245158 Zbl  1117.62017
  12. ^ Коэльо, К. А. (2007) «Обернутое гамма-распределение и свернутые суммы и линейные комбинации независимых гамма-распределений и распределений Лапласа». Журнал статистической теории и практики, 1 (1), 1-29.
  13. ^ Э. Бьёрнсон, Д. Хаммарвалл, Б. Оттерстен (2009) «Использование квантованной обратной связи по норме канала посредством условной статистики в произвольно коррелированных системах MIMO», Транзакции IEEE при обработке сигналов, 57, 4027-4041
  14. ^ Кайзер, Т., Чжэн, Ф. (2010) «Сверхширокополосные системы с MIMO». J. Wiley & Sons, Чичестер, Великобритания [гл. 6, сек. 6.6]
  15. ^ Суравира, Х. А., Смит, П. Дж., Суробхи, Н. А. (2008) «Точная вероятность сбоя совместного разнесения с гибким доступом к спектру». Международная конференция IEEE по коммуникациям, 2008 г., ICC Workshops '08, 79-86 (ISBN  978-1-4244-2052-0 - Дои:10.1109 / ICCW.2008.20).
  16. ^ Суробхи, Н. А. (2010) «Производительность совместных когнитивных ретрансляционных сетей». Магистерская диссертация, Школа инженерии и науки, Университет Виктории, Мельбурн, Австралия [Ch. 3, сек. 3.4].