Обобщенное обратное гауссово распределение - Generalized inverse Gaussian distribution

Обобщенный обратный гауссовский

Функция плотности вероятности
Параметры	а > 0, б > 0, п настоящий
Поддерживать	Икс > 0
PDF	${\displaystyle f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}{2K_{p}({\sqrt {ab}})}}x^{(p-1)}e^{-(ax+b/x)/2}}$
Иметь в виду	${\displaystyle \operatorname {E} [x]={\frac {{\sqrt {b}}\ K_{p+1}({\sqrt {ab}})}{{\sqrt {a}}\ K_{p}({\sqrt {ab}})}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [x^{-1}]={\frac {{\sqrt {a}}\ K_{p+1}({\sqrt {ab}})}{{\sqrt {b}}\ K_{p}({\sqrt {ab}})}}-{\frac {2p}{b}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\ln x]=\ln {\frac {\sqrt {b}}{\sqrt {a}}}+{\frac {\partial }{\partial p}}\ln K_{p}({\sqrt {ab}})}$
Режим	${\displaystyle {\frac {(p-1)+{\sqrt {(p-1)^{2}+ab}}}{a}}}$
Дисперсия	${\displaystyle \left({\frac {b}{a}}\right)\left[{\frac {K_{p+2}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}-\left({\frac {K_{p+1}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}\right)^{2}\right]}$
MGF	${\displaystyle \left({\frac {a}{a-2t}}\right)^{\frac {p}{2}}{\frac {K_{p}({\sqrt {b(a-2t)}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}}$
CF	${\displaystyle \left({\frac {a}{a-2it}}\right)^{\frac {p}{2}}{\frac {K_{p}({\sqrt {b(a-2it)}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}}$

В теория вероятности и статистика, то обобщенное обратное гауссово распределение (GIG) - трехпараметрическое семейство непрерывных распределения вероятностей с функция плотности вероятности

${\displaystyle f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}{2K_{p}({\sqrt {ab}})}}x^{(p-1)}e^{-(ax+b/x)/2},\qquad x>0,}$

куда K_п это модифицированная функция Бесселя второго рода, а > 0, б > 0 и п реальный параметр. Он широко используется в геостатистика, статистическая лингвистика, финансы и т. д. Это распределение было впервые предложено Этьен Хальфен.^[1][2][3] Он был заново открыт и популяризирован Оле Барндорф-Нильсен, который назвал его обобщенным обратным распределением Гаусса. Он также известен как Распределение Зихеля, после Герберт Зихель.^[4] Его статистические свойства обсуждаются в лекциях Бента Йоргенсена.^[5]

Характеристики

Альтернативная параметризация

Установив ${\displaystyle \theta ={\sqrt {ab}}}$ и ${\displaystyle \eta ={\sqrt {b/a}}}$, мы можем альтернативно выразить распределение GIG как

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\eta K_{p}(\theta )}}\left({\frac {x}{\eta }}\right)^{p-1}e^{-\theta (x/\eta +\eta /x)/2},}$

куда ${\displaystyle \theta }$ - параметр концентрации, а ${\displaystyle \eta }$ - параметр масштабирования.

Суммирование

Барндорф-Нильсен и Халгрин доказали, что распределение GIG бесконечно делимый.^[6]

Энтропия

Энтропия обобщенного обратного гауссова распределения задается как^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}H={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {b}{a}}\right)&{}+\log \left(2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)-(p-1){\frac {\left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left({\sqrt {ab}}\right)\right]_{\nu =p}}{K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\\&{}+{\frac {\sqrt {ab}}{2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\left(K_{p+1}\left({\sqrt {ab}}\right)+K_{p-1}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left({\sqrt {ab}}\right)\right]_{\nu =p}}$ является производной модифицированной функции Бесселя второго рода по порядку ${\displaystyle \nu }$ оценивается в ${\displaystyle \nu =p}$

Связанные дистрибутивы

Особые случаи

В обратный гауссовский и гамма распределения являются частными случаями обобщенного обратного гауссова распределения для п = −1/2 и б = 0 соответственно.^[7] В частности, обратное гауссово распределение вида

${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )=\left[{\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right]^{1/2}\exp {\left({\frac {-\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right)}}$

GIG с ${\displaystyle a=\lambda /\mu ^{2}}$, ${\displaystyle b=\lambda }$, и ${\displaystyle p=-1/2}$. Гамма-распределение вида

${\displaystyle g(x;\alpha ,\beta )=\beta ^{\alpha }{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$

GIG с ${\displaystyle a=2\beta }$, ${\displaystyle b=0}$, и ${\displaystyle p=\alpha }$.

Другие особые случаи включают обратное гамма-распределение, за а = 0, а гиперболическое распределение, за п = 0.^[7]

Сопряженный априор для гауссовского

Распределение GIG сопрягать к нормальное распределение при использовании в качестве смешивающего распределения в нормальная смесь средних дисперсий.^[8][9] Пусть априорное распределение для некоторой скрытой переменной, скажем, ${\displaystyle z}$, будь ГИГОМ:

${\displaystyle P(z\mid a,b,p)=\operatorname {GIG} (z\mid a,b,p)}$

и пусть будет ${\displaystyle T}$ наблюдаемые точки данных, ${\displaystyle X=x_{1},\ldots ,x_{T}}$, с нормальной функцией правдоподобия, обусловленной ${\displaystyle z:}$

${\displaystyle P(X\mid z,\alpha ,\beta )=\prod _{i=1}^{T}N(x_{i}\mid \alpha +\beta z,z)}$

куда ${\displaystyle N(x\mid \mu ,v)}$ - нормальное распределение со средним ${\displaystyle \mu }$ и дисперсия ${\displaystyle v}$. Тогда апостериорная для ${\displaystyle z}$, учитывая, что данные также являются GIG:

${\displaystyle P(z\mid X,a,b,p,\alpha ,\beta )={\text{GIG}}\left(z\mid a+T\beta ^{2},b+S,p-{\frac {T}{2}}\right)}$

куда ${\displaystyle \textstyle S=\sum _{i=1}^{T}(x_{i}-\alpha )^{2}}$.^{[примечание 1]}

Примечания

1. Благодаря сопряженности эти детали можно получить без решения интегралов, отметив, что

   ${\displaystyle P(z\mid X,a,b,p,\alpha ,\beta )\propto P(z\mid a,b,p)P(X\mid z,\alpha ,\beta )}$.

   Исключая все факторы, не зависящие от ${\displaystyle z}$, правую часть можно упростить, чтобы получить ненормализованный Распределение GIG, по которому можно определить апостериорные параметры.

Рекомендации

1. Сешадри, В. (1997). «Законы Гальфена». In Kotz, S .; Читать, C. B .; Бэнкс, Д. Л. (ред.). Энциклопедия статистических наук, обновленный том 1. Нью-Йорк: Вили. С. 302–306.
2. Perreault, L .; Bobée, B .; Расмуссен, П. Ф. (1999). "Система распределения Хальфена. I: Математические и статистические свойства". Журнал гидрологической инженерии. 4 (3): 189. Дои:10.1061 / (ASCE) 1084-0699 (1999) 4: 3 (189).
3. Этьен Хальфен был внуком математика Жорж Анри Хальфен.
4. Сичел, Х.С., Статистическая оценка алмазоносных месторождений, Журнал Южноафриканского института горного дела и металлургии 1973 г.
5. Йоргенсен, Бент (1982). Статистические свойства обобщенного обратного гауссовского распределения.. Конспект лекций по статистике. 9. Нью-Йорк – Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90665-7. МИСТЕР  0648107.
6. О. Барндорф-Нильсен и Кристиан Халгрин, Бесконечная делимость гиперболического и обобщенного обратного гауссовского распределений, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 1977
7. Джонсон, Норман Л .; Коц, Самуэль; Балакришнан, Н. (1994), Непрерывные одномерные распределения. Vol. 1, Серия Уайли по вероятности и математической статистике: прикладная вероятность и статистика (2-е изд.), Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, стр. 284–285, ISBN  978-0-471-58495-7, МИСТЕР  1299979
8. Димитрис Карлис, "Алгоритм типа EM для оценки максимального правдоподобия нормально-обратного гауссовского распределения", Statistics & Probability Letters 57 (2002) 43–52.
9. Барндорф-Нильсен, О.Е., 1997. Нормальное обратное гауссовское распределение и моделирование стохастической волатильности. Сканд. J. Statist. 24, 1–13.

Смотрите также

• Обратное гауссово распределение
• Гамма-распределение