Логистическая дистрибуция - Log-logistic distribution

Логистика

Функция плотности вероятности ${\displaystyle \alpha =1,}$ ценности ${\displaystyle \beta }$ как показано в легенде
Кумулятивная функция распределения ${\displaystyle \alpha =1,}$ ценности ${\displaystyle \beta }$ как показано в легенде
Параметры	${\displaystyle \alpha >0}$ шкала ${\displaystyle \beta >0}$ форма
Поддерживать	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}}$
CDF	${\displaystyle {1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\alpha \,\pi /\beta \over \sin(\pi /\beta )}}$ если ${\displaystyle \beta >1}$, иначе undefined
Медиана	${\displaystyle \alpha \,}$
Режим	${\displaystyle \alpha \left({\frac {\beta -1}{\beta +1}}\right)^{1/\beta }}$ если ${\displaystyle \beta >1}$, 0 иначе
Дисперсия	См. Основной текст
MGF	${\displaystyle \beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{tx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx}$[1]${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})}$ куда ${\displaystyle \mathrm {B} }$ это Бета-функция.[2]
CF	${\displaystyle \beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{itx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx}$[1]${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})}$ куда ${\displaystyle \mathrm {B} }$ это Бета-функция.[2]

В вероятность и статистика, то логистическая дистрибуция (известный как Распределение Fisk в экономика ) это непрерывное распределение вероятностей для неотрицательного случайная переменная. Он используется в анализ выживаемости как параметрическая модель для событий, скорость которых сначала увеличивается, а затем уменьшается, например, смертность от рака после диагностики или лечения. Он также использовался в гидрология для моделирования потока и осадки, в экономика как простая модель распределение богатства или же доход, И в сеть для моделирования времени передачи данных с учетом сети и программного обеспечения.

Логистическое распределение - это распределение вероятностей случайная переменная чей логарифм имеет логистическая дистрибуция По форме он похож на логнормальное распределение но имеет более тяжелые хвосты. В отличие от нормального журнала, его кумулятивная функция распределения можно записать в закрытая форма.

Характеристика

Существует несколько различных параметризаций используемого распределения. Показанный здесь дает разумно интерпретируемые параметры и простую форму для кумулятивная функция распределения.^[3][4]Параметр ${\displaystyle \alpha >0}$ это параметр масштаба а также медиана распределения. Параметр ${\displaystyle \beta >0}$ это параметр формы. Распределение одномодальный когда ${\displaystyle \beta >1}$ и это разброс уменьшается как ${\displaystyle \beta }$ увеличивается.

В кумулятивная функция распределения является

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}\\[5pt]&={(x/\alpha )^{\beta } \over 1+(x/\alpha )^{\beta }}\\[5pt]&={x^{\beta } \over \alpha ^{\beta }+x^{\beta }}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle \alpha >0}$, ${\displaystyle \beta >0.}$

В функция плотности вероятности является

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}}$

Альтернативная параметризация

Альтернативная параметризация дается парой ${\displaystyle \mu ,s}$ по аналогии с логистической дистрибуцией:

${\displaystyle \mu =\ln(\alpha )}$

${\displaystyle s=1/\beta }$

Характеристики

Моменты

В ${\displaystyle k}$й сырой момент существует только когда ${\displaystyle k<\beta ,}$ когда это дается^[5][6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}}$

где B - бета-функция Выражения для иметь в виду, отклонение, перекос и эксцесс можно вывести из этого. Письмо ${\displaystyle b=\pi /\beta }$ для удобства среднее значение

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1,}$

и дисперсия

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2.}$

Явные выражения для асимметрии и эксцесса длинны.^[7]В качестве ${\displaystyle \beta }$ стремится к бесконечности, среднее значение стремится к ${\displaystyle \alpha }$, дисперсия и асимметрия стремятся к нулю, а избыточный эксцесс стремится к 6/5 (см. также связанные дистрибутивы ниже).

Квантили

В квантильная функция (обратная кумулятивная функция распределения):

${\displaystyle F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.}$

Отсюда следует, что медиана является ${\displaystyle \alpha }$,Нижний квартиль является ${\displaystyle 3^{-1/\beta }\alpha }$а верхний квартиль ${\displaystyle 3^{1/\beta }\alpha }$.

Приложения

Функция опасности. ${\displaystyle \alpha =1,}$ ценности ${\displaystyle \beta }$ как показано в легенде

Анализ выживаемости

Логистическая дистрибуция обеспечивает один параметрическая модель за анализ выживаемости. В отличие от более часто используемых Распределение Вейбулла, он может иметь не-монотонный функция опасности: когда ${\displaystyle \beta >1,}$ функция опасности одномодальный (когда ${\displaystyle \beta }$ ≤ 1 опасность монотонно убывает). Тот факт, что кумулятивная функция распределения может быть записана в замкнутой форме, особенно полезен для анализа данных о выживаемости с цензура.^[8]Логистическое распределение может быть использовано как основа модель ускоренного времени отказа позволяя ${\displaystyle \alpha }$ различать между группами или, в более общем плане, вводить ковариаты, которые влияют на ${\displaystyle \alpha }$ но нет ${\displaystyle \beta }$ путем моделирования ${\displaystyle \log(\alpha )}$ как линейная функция от ковариат.^[9]

В функция выживания является

${\displaystyle S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }]^{-1},\,}$

и так функция опасности является

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {(\beta /\alpha )(t/\alpha )^{\beta -1}}{1+(t/\alpha )^{\beta }}}.}$

Логико-логистическое распределение с параметром формы ${\displaystyle \beta =1}$ предельное распределение промежутков времени в геометрически распределенном процесс подсчета.^[10]

Гидрология

Подогнанное кумулятивное логистическое распределение к максимальным однодневным осадкам в октябре с использованием CumFreq, смотрите также Распределительная арматура

Логико-логистическое распределение использовалось в гидрологии для моделирования расходов воды и осадков.^[3][4]

Экстремальные значения, такие как максимальное количество осадков за один день и расход реки в месяц или год, часто следуют за логнормальное распределение.^[11] Однако логнормальное распределение требует численного приближения. Поскольку логарифмическое распределение, которое может быть решено аналитически, похоже на логнормальное распределение, его можно использовать вместо него.

На синем рисунке показан пример подгонки лог-логистического распределения к ранжированным максимальным однодневным осадкам в октябре, и он показывает 90% пояс уверенности на основе биномиальное распределение. Данные об осадках представлены положение на графике р/(п+1) в составе совокупный частотный анализ.

Экономика

Лог-логистика была использована как простая модель распределение богатства или же доход в экономика, где он известен как распределение Фиска.^[12]Его Коэффициент Джини является ${\displaystyle 1/\beta }$.^[13]

Вывод коэффициента Джини

Коэффициент Джини для непрерывного распределения вероятностей имеет вид: ${\displaystyle G={1 \over {\mu }}\int _{0}^{\infty }F(1-F)dx}$ куда ${\displaystyle F}$ - CDF распределения и ${\displaystyle \mu }$ ожидаемое значение. Для лог-логистического распределения формула коэффициента Джини принимает следующий вид: ${\displaystyle G={\sin(\pi /\beta ) \over {\alpha \pi /\beta }}\int _{0}^{\infty }{dx \over {[1+(x/\alpha )^{-\beta }][1+(x/\alpha )^{\beta }]}}}$ Определение замены ${\displaystyle z=x/\alpha }$ приводит к более простому уравнению: ${\displaystyle G={\sin(\pi /\beta ) \over {\pi /\beta }}\int _{0}^{\infty }{dz \over {(1+z^{-\beta })(1+z^{\beta })}}}$ И делая замену ${\displaystyle u=1/(1+z^{\beta })}$ еще больше упрощает формулу коэффициента Джини: ${\displaystyle G={\sin(\pi /\beta ) \over {\pi }}\int _{0}^{1}u^{-1/\beta }(1-u)^{1/\beta }du}$ Интегральный компонент эквивалентен стандартному бета-функция ${\displaystyle {\text{B}}(1-1/\beta ,1+1/\beta )}$. Бета-функцию также можно записать как: ${\displaystyle {\text{B}}(x,y)={\Gamma (x)\Gamma (y) \over {\Gamma (x+y)}}}$ куда ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ это гамма-функция. Используя свойства гамма-функции, можно показать, что: ${\displaystyle {\text{B}}(1-1/\beta ,1+1/\beta )={1 \over {\beta }}\Gamma (1-1/\beta )\Gamma (1/\beta )}$ Из Формула отражения Эйлера, выражение можно еще более упростить: ${\displaystyle {\text{B}}(1-1/\beta ,1+1/\beta )={1 \over {\beta }}{\pi \over {\sin(\pi /\beta )}}}$ Наконец, мы можем заключить, что коэффициент Джини для лог-логистического распределения ${\displaystyle G=1/\beta }$.

Сети

Лог-логистика использовалась в качестве модели для периода времени, начинающегося, когда некоторые данные покидают приложение пользователя программного обеспечения на компьютере, и ответ принимается тем же приложением после прохождения и обработки другими компьютерами, приложениями и сетью. сегменты, большинство или все без жесткого в реальном времени гарантии (например, когда приложение отображает данные, поступающие с удаленного датчик подключен к Интернету). Было показано, что это более точная вероятностная модель для этого, чем логнормальное распределение или другие, при условии, что резкие смены режима в последовательности тех времен правильно обнаруживаются.^[14]

Связанные дистрибутивы

• Если ${\displaystyle X\sim LL(\alpha ,\beta )}$ тогда ${\displaystyle kX\sim LL(k\alpha ,\beta ).}$
• ${\displaystyle LL(\alpha ,\beta )\sim {\textrm {Dagum}}(1,\alpha ,\beta )}$ (Распределение Dagum ).
• ${\displaystyle LL(\alpha ,\beta )\sim {\textrm {SinghMaddala}}(1,\alpha ,\beta )}$ (Распределение Сингха-Маддалы ).
• ${\displaystyle {\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )\sim \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )}$ (Бета-простое распределение ).
• Если Икс имеет логистическое распределение с параметром масштаба ${\displaystyle \alpha }$ и параметр формы ${\displaystyle \beta }$ тогда Y = журнал (Икс) имеет логистическая дистрибуция с параметром местоположения ${\displaystyle \log(\alpha )}$ и масштабный параметр ${\displaystyle 1/\beta .}$
• В качестве параметра формы ${\displaystyle \beta }$ логистического распределения увеличивается, его форма все больше напоминает форму (очень узкая) логистическая дистрибуция. Неформально:

${\displaystyle LL(\alpha ,\beta )\to L(\alpha ,\alpha /\beta )\quad {\text{as}}\quad \beta \to \infty .}$

• Логико-логистическое распределение с параметром формы ${\displaystyle \beta =1}$ и масштабный параметр ${\displaystyle \alpha }$ такой же, как обобщенное распределение Парето с параметром местоположения ${\displaystyle \mu =0}$, параметр формы ${\displaystyle \xi =1}$ и масштабный параметр ${\displaystyle \alpha :}$

${\displaystyle LL(\alpha ,1)=GPD(1,\alpha ,1).}$

• Добавление еще одного параметра (параметра сдвига) формально приводит к смещенное логистическое распределение, но это обычно рассматривается в другой параметризации, так что распределение может быть ограничено сверху или ограничено снизу.

Обобщения

Несколько разных дистрибутивов иногда называют обобщенная логистическая дистрибуция, поскольку они содержат логистику как частный случай.^[13] К ним относятся Распределение заусенцев XII типа (также известный как Распределение Сингха-Маддалы) и Распределение Dagum, оба из которых включают второй параметр формы. Оба, в свою очередь, являются частными случаями даже более общего обобщенное бета-распределение второго рода. Еще одно более простое обобщение лог-логистики - это смещенное логистическое распределение.

Смотрите также

• Распределения вероятностей: список важных распределений, поддерживаемых на полубесконечных интервалах

Рекомендации

1. http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/Loglogistic.pdf
2. Экавати, Д .; Warsono; Курниасари, Д. (2014). «О моментах, кумулянтах и ​​характеристической функции лог-логистического распределения». IPTEK, журнал технологий и науки. 25 (3): 78–82.
3. Shoukri, M.M .; Mian, I.U.M .; Трейси, Д.С. (1988), "Выборочные свойства оценщиков лог-логистического распределения с применением к канадским данным об осадках", Канадский статистический журнал, 16 (3): 223–236, Дои:10.2307/3314729, JSTOR  3314729
4. Ашкар, Фахим; Махди, Смаил (2006), «Подгонка логистического распределения обобщенными моментами», Журнал гидрологии, 328 (3–4): 694–703, Bibcode:2006JHyd..328..694A, Дои:10.1016 / j.jhydrol.2006.01.014
5. Tadikamalla, Pandu R .; Джонсон, Норман Л. (1982), "Системы частотных кривых, созданные преобразованиями логистических переменных", Биометрика, 69 (2): 461–465, CiteSeerX  10.1.1.153.9487, Дои:10.1093 / biomet / 69.2.461, JSTOR  2335422
6. Тадикамалла, Панду Р. (1980), «Взгляд на заусенцы и родственные распределения», Международный статистический обзор, 48 (3): 337–344, Дои:10.2307/1402945, JSTOR  1402945
7. Маклафлин, Майкл П. (2001), Сборник общих распределений вероятностей (PDF), п. A – 37, получено 2008-02-15
8. Беннетт, Стив (1983), "Модели лог-логистической регрессии для данных о выживании", Журнал Королевского статистического общества, серия C, 32 (2): 165–171, Дои:10.2307/2347295, JSTOR  2347295
9. Коллетт, Дэйв (2003), Моделирование данных о выживаемости в медицинских исследованиях (2-е изд.), CRC Press, ISBN  978-1-58488-325-8
10. Ди Крещенцо, Антонио; Пеллерей, Франко (2019), "Некоторые результаты и приложения геометрических процессов счета", Методология и вычисления в прикладной теории вероятностей, 21 (1): 203–233, Дои:10.1007 / s11009-018-9649-9
11. Ритзема (ред.), Х. (1994), Частотный и регрессионный анализ, Глава 6 в: Принципы и применение дренажа, Публикация 16, Международный институт мелиорации и улучшения земель (ILRI), Вагенинген, Нидерланды, стр.175–224, ISBN  978-90-70754-33-4
12. Фиск, П.Р. (1961), "Градация распределения доходов", Econometrica, 29 (2): 171–185, Дои:10.2307/1909287, JSTOR  1909287
13. Kleiber, C .; Коц, S (2003), Статистические распределения размеров в экономике и актуарных науках, Wiley, ISBN  978-0-471-15064-0
14. Gago-Benítez, A .; Фернандес-Мадригал Х.-А., Крус-Мартин А. (2013), «Лог-логистическое моделирование задержки сенсорного потока в сетевых телероботах», Журнал датчиков IEEE, Датчики IEEE 13 (8), 13 (8): 2944–2953, Bibcode:2013ISenJ..13.2944G, Дои:10.1109 / JSEN.2013.2263381