Экспоненциально-логарифмическое распределение - Exponential-logarithmic distribution

Экспоненциально-логарифмическое распределение (EL)

Функция плотности вероятности
Параметры	${\displaystyle p\in (0,1)}$ ${\displaystyle \beta >0}$
Поддерживать	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{-\ln p}}\times {\frac {\beta (1-p)e^{-\beta x}}{1-(1-p)e^{-\beta x}}}}$
CDF	${\displaystyle 1-{\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle -{\frac {{\text{polylog}}(2,1-p)}{\beta \ln p}}}$
Медиана	${\displaystyle {\frac {\ln(1+{\sqrt {p}})}{\beta }}}$
Режим	0
Дисперсия	${\displaystyle -{\frac {2{\text{polylog}}(3,1-p)}{\beta ^{2}\ln p}}}$ ${\displaystyle -{\frac {{\text{polylog}}^{2}(2,1-p)}{\beta ^{2}\ln ^{2}p}}}$
MGF	${\displaystyle -{\frac {\beta (1-p)}{\ln p(\beta -t)}}{\text{hypergeom}}_{2,1}}$ ${\displaystyle ([1,{\frac {\beta -t}{\beta }}],[{\frac {2\beta -t}{\beta }}],1-p)}$

В теория вероятности и статистика, то Экспоненциально-логарифмический (EL) распределение - это семья всей жизни распределения с уменьшением интенсивность отказов, определенный на отрезке [0, ∞). Это распределение параметризованный по двум параметрам ${\displaystyle p\in (0,1)}$ и ${\displaystyle \beta >0}$.

Вступление

Изучение продолжительности жизни организмов, устройств, материалов и т. Д. Имеет большое значение в биологический и инженерное дело науки. В общем, ожидается, что срок службы устройства будет демонстрировать снижение интенсивности отказов (DFR), когда его поведение с течением времени характеризуется «наклепом» (с инженерной точки зрения) или «невосприимчивостью» (с биологической точки зрения).

Экспоненциально-логарифмическая модель вместе с ее различными свойствами изучается Тахмасби и Резаи (2008).^[1]Эта модель получена в рамках концепции неоднородности населения (через процесс компаундирования).

Свойства распределения

Распределение

В функция плотности вероятности (pdf) распределения EL даны Tahmasbi и Rezaei (2008)^[1]

${\displaystyle f(x;p,\beta ):=\left({\frac {1}{-\ln p}}\right){\frac {\beta (1-p)e^{-\beta x}}{1-(1-p)e^{-\beta x}}}}$

куда ${\displaystyle p\in (0,1)}$ и ${\displaystyle \beta >0}$. Эта функция строго убывает в ${\displaystyle x}$ и стремится к нулю при ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$. В дистрибутиве EL есть модальное значение плотности при x = 0, задаваемой формулой

${\displaystyle {\frac {\beta (1-p)}{-p\ln p}}}$

EL сводится к экспоненциальное распределение с параметром скорости ${\displaystyle \beta }$, так как ${\displaystyle p\rightarrow 1}$.

В кумулятивная функция распределения дан кем-то

${\displaystyle F(x;p,\beta )=1-{\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}},}$

и, следовательно, медиана дан кем-то

${\displaystyle x_{\text{median}}={\frac {\ln(1+{\sqrt {p}})}{\beta }}}$.

Моменты

В функция, производящая момент из ${\displaystyle X}$ может быть определен из PDF прямым интегрированием и дается как

${\displaystyle M_{X}(t)=E(e^{tX})=-{\frac {\beta (1-p)}{\ln p(\beta -t)}}F_{2,1}\left(\left[1,{\frac {\beta -t}{\beta }}\right],\left[{\frac {2\beta -t}{\beta }}\right],1-p\right),}$

куда ${\displaystyle F_{2,1}}$ это гипергеометрическая функция. Эта функция также известна как Расширенная гипергеометрическая функция Барнса. Определение ${\displaystyle F_{N,D}({n,d},z)}$ является

${\displaystyle F_{N,D}(n,d,z):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}\prod _{i=1}^{p}\Gamma (n_{i}+k)\Gamma ^{-1}(n_{i})}{\Gamma (k+1)\prod _{i=1}^{q}\Gamma (d_{i}+k)\Gamma ^{-1}(d_{i})}}}$

куда ${\displaystyle n=[n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}]}$ и ${\displaystyle {d}=[d_{1},d_{2},\dots ,d_{D}]}$.

Моменты ${\displaystyle X}$ может быть получено из ${\displaystyle M_{X}(t)}$. За${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$, необработанные моменты даются

${\displaystyle E(X^{r};p,\beta )=-r!{\frac {\operatorname {Li} _{r+1}(1-p)}{\beta ^{r}\ln p}},}$

куда ${\displaystyle \operatorname {Li} _{a}(z)}$ это полилогарифм функция, которая определяется следующим образом:^[2]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{a}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{a}}}.}$

Следовательно иметь в виду и отклонение распределения EL даются соответственно

${\displaystyle E(X)=-{\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-p)}{\beta \ln p}},}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=-{\frac {2\operatorname {Li} _{3}(1-p)}{\beta ^{2}\ln p}}-\left({\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-p)}{\beta \ln p}}\right)^{2}.}$

Функции выживания, опасности и средней остаточной продолжительности жизни

Функция опасности

В функция выживания (также известная как функция надежности) и функция опасности (также известная как функция интенсивности отказов) распределения EL, соответственно

${\displaystyle s(x)={\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}},}$

${\displaystyle h(x)={\frac {-\beta (1-p)e^{-\beta x}}{(1-(1-p)e^{-\beta x})\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}}.}$

Среднее остаточное время жизни распределения EL определяется выражением

${\displaystyle m(x_{0};p,\beta )=E(X-x_{0}|X\geq x_{0};\beta ,p)=-{\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-(1-p)e^{-\beta x_{0}})}{\beta \ln(1-(1-p)e^{-\beta x_{0}})}}}$

куда ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}$ это дилогарифм функция

Генерация случайных чисел

Позволять U быть случайное изменение из стандарта равномерное распределение.Тогда следующее преобразование U имеет EL-распределение с параметрами п иβ:

${\displaystyle X={\frac {1}{\beta }}\ln \left({\frac {1-p}{1-p^{U}}}\right).}$

Оценка параметров

Для оценки параметров EM алгоритм используется. Этот метод обсуждается Тахмасби и Резаи (2008).^[1] Итерация EM определяется как

${\displaystyle \beta ^{(h+1)}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1-(1-p^{(h)})e^{-\beta ^{(h)}x_{i}}}}\right)^{-1},}$

${\displaystyle p^{(h+1)}={\frac {-n(1-p^{(h+1)})}{\ln(p^{(h+1)})\sum _{i=1}^{n}\{1-(1-p^{(h)})e^{-\beta ^{(h)}x_{i}}\}^{-1}}}.}$

Связанные дистрибутивы

Распределение EL было обобщено, чтобы сформировать логарифмическое распределение Вейбулла.^[3]

Если Икс определяется как случайная переменная что является минимумом N независимые реализации от экспоненциальное распределение с параметром скорости β, и если N это реализация из логарифмическое распределение (где параметр п в обычной параметризации заменяется на (1 − п)), тогда Икс имеет экспоненциально-логарифмическое распределение в параметризации, использованной выше.

Рекомендации

1. Тахмасби, Р., Резаи, С., (2008), «Двухпараметрическое распределение срока службы с уменьшающейся интенсивностью отказов», Вычислительная статистика и анализ данных, 52 (8), 3889-3901. Дои:10.1016 / j.csda.2007.12.002
2. Левин, Л. (1981) Полилогарифмы и связанные с ними функции, Северная Голландия, Амстердам.
3. Чумара, Роксана; Преда, Василе (2009) «Логарифмическое распределение Вейбулла в анализе срока службы и его свойства»^{[постоянная мертвая ссылка ]}. В: Л. Сакалаускас, К. Скиадас и Э. К. Завадскас (Ред.) Прикладные стохастические модели и анализ данных В архиве 2011-05-18 на Wayback Machine, XIII Международная конференция, Избранные доклады. Вильнюс, 2009 г. ISBN  978-9955-28-463-5