Обернутое распределение Коши - Wrapped Cauchy distribution

Завернутый Коши

Функция плотности вероятности Опора выбрана [-π, π)
Кумулятивная функция распределения Опора выбрана [-π, π)
Параметры	${\displaystyle \mu }$ Настоящий ${\displaystyle \gamma >0}$
Поддерживать	${\displaystyle -\pi \leq \theta <\pi }$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\,{\frac {\sinh(\gamma )}{\cosh(\gamma )-\cos(\theta -\mu )}}}$
CDF	${\displaystyle \,}$
Иметь в виду	${\displaystyle \mu }$ (круговой)
Дисперсия	${\displaystyle 1-e^{-\gamma }}$ (круговой)
Энтропия	${\displaystyle \ln(2\pi (1-e^{-2\gamma }))}$ (дифференциал)
CF	${\displaystyle e^{in\mu -|n|\gamma }}$

В теория вероятности и направленная статистика, а обернутое распределение Коши это упакованное распределение вероятностей что является результатом "упаковки" Распределение Коши вокруг единичный круг. Распределение Коши иногда называют лоренцевым распределением, а обернутое распределение Коши иногда называют обернутым лоренцевым распределением.

Обернутое распределение Коши часто встречается в области спектроскопии, где оно используется для анализа дифракционных картин (например, см. Интерферометр Фабри – Перо ).

Описание

В функция плотности вероятности завернутых Распределение Коши является:^[1]

${\displaystyle f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta -\mu +2\pi n)^{2})}}}$

куда ${\displaystyle \gamma }$ - коэффициент масштабирования и ${\displaystyle \mu }$ - это положение пика «развернутого» распределения. Выражая вышеупомянутый pdf с точки зрения характеристическая функция распределения Коши дает:

${\displaystyle f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in(\theta -\mu )-|n|\gamma }={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\mu )}}}$

PDF также может быть выражен с помощью круговой переменной г = е ^{я θ} и комплексный параметр ζ = e ^{я (μ + i γ)}

${\displaystyle f_{WC}(z;\zeta )={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {1-|\zeta |^{2}}{|z-\zeta |^{2}}}}$

где, как показано ниже, ζ = .

В терминах круговой переменной ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$ Круговые моменты свернутого распределения Коши являются характеристической функцией распределения Коши, вычисляемой с целыми аргументами:

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )\,d\theta =e^{in\mu -|n|\gamma }.}$

куда ${\displaystyle \Gamma \,}$ это некоторый интервал длины ${\displaystyle 2\pi }$. Тогда первый момент - это среднее значение z, также известный как средний результирующий или средний результирующий вектор:

${\displaystyle \langle z\rangle =e^{i\mu -\gamma }}$

Средний угол

${\displaystyle \langle \theta \rangle =\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu }$

а длина среднего результата равна

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |=e^{-\gamma }}$

давая круговую дисперсию 1-R.

Оценка параметров

Серия N измерения ${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$ полученное из обернутого распределения Коши, можно использовать для оценки определенных параметров распределения. Среднее значение серии ${\displaystyle {\overline {z}}}$ определяется как

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

и его математическое ожидание будет только первым моментом:

${\displaystyle \langle {\overline {z}}\rangle =e^{i\mu -\gamma }}$

Другими словами, ${\displaystyle {\overline {z}}}$ объективная оценка первого момента. Если предположить, что положение пика ${\displaystyle \mu }$ лежит в интервале ${\displaystyle [-\pi ,\pi )}$, затем Arg${\displaystyle ({\overline {z}})}$ будет (смещенной) оценкой положения пика ${\displaystyle \mu }$.

Просмотр журнала ${\displaystyle z_{n}}$ как набор векторов в комплексной плоскости, ${\displaystyle {\overline {R}}^{2}}$ статистика - это длина усредненного вектора:

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}}$

и его математическое ожидание

${\displaystyle \langle {\overline {R}}^{2}\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}e^{-2\gamma }.}$

Другими словами, статистика

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\overline {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

будет объективной оценкой ${\displaystyle e^{-2\gamma }}$, и ${\displaystyle \ln(1/R_{e}^{2})/2}$ будет (смещенной) оценкой ${\displaystyle \gamma }$.

Энтропия

В информационная энтропия обернутого распределения Коши определяется как:^[1]

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )\,\ln(f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma ))\,d\theta }$

куда ${\displaystyle \Gamma }$ любой интервал длины ${\displaystyle 2\pi }$. Логарифм плотности обернутого распределения Коши может быть записан как Ряд Фурье в ${\displaystyle \theta \,}$:

${\displaystyle \ln(f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )}$

куда

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln \left({\frac {\sinh \gamma }{2\pi (\cosh \gamma -\cos \theta )}}\right)\cos(m\theta )\,d\theta }$

что дает:

${\displaystyle c_{0}=\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)}$

(ср. Градштейн и Рыжик^[2] 4.224.15) и

${\displaystyle c_{m}={\frac {e^{-m\gamma }}{m}}\qquad \mathrm {for} \,m>0}$

(ср. Градштейн и Рыжик^[2] 4.397.6). Представление характеристической функции для свернутого распределения Коши в левой части интеграла:

${\displaystyle f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\cos(n\theta )\right)}$

куда ${\displaystyle \phi _{n}=e^{-|n|\gamma }}$. Подставляя эти выражения в интеграл энтропии, меняя порядок интегрирования и суммирования и используя ортогональность косинусов, энтропию можно записать:

${\displaystyle H=-c_{0}-2\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}c_{m}=-\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)-2\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{-2n\gamma }}{n}}}$

Сериал - это просто Расширение Тейлора для логарифма ${\displaystyle (1-e^{-2\gamma })}$ так что энтропия может быть записана в закрытая форма в качестве:

${\displaystyle H=\ln(2\pi (1-e^{-2\gamma }))\,}$

Круговое распределение Коши

Если Икс является распределенным Коши с медианной μ и параметром масштаба γ, то комплексная переменная

${\displaystyle Z={\frac {X-i}{X+i}}}$

имеет единичный модуль и распределяется по единичной окружности с плотностью:^[3]

${\displaystyle f_{CC}(\theta ,\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-|\zeta |^{2}}{|e^{i\theta }-\zeta |^{2}}}}$

куда

${\displaystyle \zeta ={\frac {\psi -i}{\psi +i}}}$

и ψ выражает два параметра ассоциированного линейного распределения Коши для Икс как комплексное число:

${\displaystyle \psi =\mu +i\gamma \,}$

Можно видеть, что круговое распределение Коши имеет ту же функциональную форму, что и свернутое распределение Коши в z и ζ (т. е. f_Туалет(z, ζ)). Круговое распределение Коши - это перепараметризованное обернутое распределение Коши:

${\displaystyle f_{CC}(\theta ,m,\gamma )=f_{WC}\left(e^{i\theta },\,{\frac {m+i\gamma -i}{m+i\gamma +i}}\right)}$

Распространение ${\displaystyle f_{CC}(\theta ;\mu ,\gamma )}$ называется круговым распределением Коши^[3][4] (также комплексное распределение Коши^[3]) с параметрами μ и γ. (Смотрите также Параметризация распределений Коши Маккаллахом и Ядро Пуассона для связанных понятий.)

Круговое распределение Коши, выраженное в комплексной форме, имеет конечные моменты всех порядков

${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{n}]=\zeta ^{n},\quad \operatorname {E} [{\bar {Z}}^{n}]={\bar {\zeta }}^{n}}$

для целого числа п ≥ 1. При | φ | <1 преобразование

${\displaystyle U(z,\phi )={\frac {z-\phi }{1-{\bar {\phi }}z}}}$

является голоморфный на единичном диске, а преобразованная переменная U(Z, φ) распределена как комплексное Коши с параметром U(ζ, φ).

Учитывая образец z₁, ..., z_п размера п > 2 уравнение максимального правдоподобия

${\displaystyle n^{-1}U\left(z,{\hat {\zeta }}\right)=n^{-1}\sum U\left(z_{j},{\hat {\zeta }}\right)=0}$

можно решить простой итерацией с фиксированной точкой:

${\displaystyle \zeta ^{(r+1)}=U\left(n^{-1}U(z,\zeta ^{(r)}),\,-\zeta ^{(r)}\right)\,}$

начиная с ζ⁽⁰⁾ = 0. Последовательность значений правдоподобия неубывающая, и решение уникально для выборок, содержащих не менее трех различных значений.^[5]

Оценка максимального правдоподобия для медианы (${\displaystyle {\hat {\mu }}}$) и параметр масштаба (${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$) реальной выборки Коши получается обратным преобразованием:

${\displaystyle {\hat {\mu }}\pm i{\hat {\gamma }}=i{\frac {1+{\hat {\zeta }}}{1-{\hat {\zeta }}}}.}$

За п ≤ 4 известны выражения в замкнутой форме для ${\displaystyle {\hat {\zeta }}}$.^[6] Плотность оценки максимального правдоподобия при т в единичном диске обязательно имеет вид:

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}{\frac {p_{n}(\chi (t,\zeta ))}{(1-|t|^{2})^{2}}},}$

куда

${\displaystyle \chi (t,\zeta )={\frac {|t-\zeta |^{2}}{4(1-|t|^{2})(1-|\zeta |^{2})}}}$.

Формулы для п₃ и п₄ доступны.^[7]

Смотрите также

• Распространение в оболочке
• Гребень Дирака
• Обернутое нормальное распределение
• Круговое равномерное распределение
• Параметризация распределений Коши Маккаллахом

Рекомендации

1. Мардиа, Кантилал; Джапп, Питер Э. (1999). Направленная статистика. Вайли. ISBN  978-0-471-95333-3.
2. Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич (Февраль 2007 г.). Джеффри, Алан; Цвиллинджер, Даниэль (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (7-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN  0-12-373637-4. LCCN  2010481177.
3. Маккаллах, Питер (июнь 1992 г.). «Условный вывод и модели Коши» (PDF). Биометрика. 79 (2): 247–259. Дои:10.1093 / biomet / 79.2.247. Получено 26 января 2016.
4. К.В. Мардия (1972). Статистика направленных данных. Академическая пресса.^{[страница нужна ]}
5. Дж. Копас (1975). «Об унимодальности функции правдоподобия для распределения Коши». Биометрика. 62 (3): 701–704. Дои:10.1093 / biomet / 62.3.701.
6. Фергюсон, Томас С. (1978). «Оценки максимального правдоподобия параметров распределения Коши для выборок размера 3 и 4». Журнал Американской статистической ассоциации. 73 (361): 211–213. Дои:10.1080/01621459.1978.10480031. JSTOR  2286549.
7. П. МакКаллаг (1996). «Преобразование Мёбиуса и оценка параметра Коши». Анналы статистики. 24 (2): 786–808. JSTOR  2242674.

• Боррадейл, Грэм (2003). Статистика данных наук о Земле. Springer. ISBN  978-3-540-43603-4. Получено 31 декабря 2009.
• Фишер, Н. И. (1996). Статистический анализ циркулярных данных. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-56890-6. Получено 2010-02-09.