Лямбда-распределение Тьюки - Tukey lambda distribution - Wikipedia

Лямбда-распределение Тьюки

Функция плотности вероятности
Обозначение	Тьюки (λ)
Параметры	λ ∈ р — параметр формы
Поддержка	Икс ∈ [−1/λ, 1/λ] для λ > 0, Икс ∈ р для λ ≤ 0
PDF	${\displaystyle (Q(p;\lambda ),q(p;\lambda )^{-1}),\,0\leq \,p\,\leq \,1}$
CDF	${\displaystyle (e^{-x}+1)^{-1},\,\,\lambda \,=\,0\,}$(особый случай) ${\displaystyle (Q(p;\lambda ),p),\,0\leq \,p\,\leq \,1\,}$(общий случай)
Значить	${\displaystyle 0,\,\,\lambda >-1}$
Медиана	0
Режим	0
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {2}{\lambda ^{2}}}{\bigg (}{\frac {1}{1+2\lambda }}-{\frac {\Gamma (\lambda +1)^{2}}{\Gamma (2\lambda +2)}}{\bigg )},\,\,\lambda >-1/2}$ ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}},\,\,\lambda \,=\,0}$
Асимметрия	${\displaystyle 0,\,\,\lambda >-1/3}$
Ex. эксцесс	${\displaystyle {\frac {(2\lambda +1)^{2}}{2(4\lambda +1)}}\,{\frac {g_{2}^{2}{\big (}3g_{2}^{2}-4g_{1}g_{3}+g_{4}{\big )}}{g_{4}{\big (}g_{1}^{2}-g_{2}{\big )}^{2}}}\,-\,3,}$ ${\displaystyle 1.2,\,\,\lambda \,=\,0,}$ ${\displaystyle {\text{where}}\,g_{k}\,=\,\Gamma (k\lambda +1)\,{\text{and}}\,\lambda \,>\,-1/4.}$
Энтропия	${\displaystyle h(\lambda )=\int _{0}^{1}\log(q(p;\lambda ))\,dp}$[1]
CF	${\displaystyle \phi (t;\lambda )=\int _{0}^{1}\exp(\,it\,Q(p;\lambda ))\,dp}$[2]

Формализовано Джон Тьюки, то Лямбда-распределение Тьюки является непрерывным симметричным распределением вероятностей, определенным в терминах его квантильная функция. Обычно он используется для определения подходящего дистрибутива (см. Комментарии ниже) и не используется в статистические модели прямо.

Лямбда-распределение Тьюки имеет один параметр формы, λ, и, как и другие распределения вероятностей, его можно преобразовать с помощью параметр местоположения, μ и a параметр масштаба, σ. Поскольку общий вид распределения вероятностей может быть выражен в терминах стандартного распределения, следующие формулы даются для стандартного вида функции.

Квантильная функция

Для стандартной формы лямбда-распределения Тьюки функция квантиля, ${\displaystyle Q(p)}$, (т.е. обратное кумулятивная функция распределения ) и квантильной функции плотности (${\displaystyle q=dQ/dp}$) находятся

${\displaystyle Q\left(p;\lambda \right)={\begin{cases}{\frac {1}{\lambda }}\left[p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\right],&{\mbox{if }}\lambda \neq 0\\\log({\frac {p}{1-p}}),&{\mbox{if }}\lambda =0,\end{cases}}}$

${\displaystyle q\left(p;\lambda \right)=p^{(\lambda -1)}+\left(1-p\right)^{(\lambda -1)}.}$

Для большинства значений параметра формы λ, то функция плотности вероятности (PDF) и кумулятивная функция распределения (CDF) необходимо вычислять численно. Лямбда-распределение Тьюки имеет простую закрытую форму для CDF и / или PDF только для нескольких исключительных значений параметра формы, например: λ = 2, 1, ½, 0 (см. равномерное распределение и логистическая дистрибуция ).

Однако при любом значении λ как CDF, так и PDF могут быть сведены в таблицу для любого количества кумулятивных вероятностей, п, используя функцию квантиля Q рассчитать стоимость Икс, для каждой кумулятивной вероятности п, с плотностью вероятности, заданной¹⁄_q, обратная квантильной функции плотности. Как это обычно бывает со статистическими распределениями, лямбда-распределение Тьюки можно легко использовать, просматривая значения в подготовленной таблице.

Моменты

Лямбда-распределение Тьюки симметрично относительно нуля, поэтому ожидаемое значение этого распределения равно нулю. Разница существует для λ > −½ и задается формулой (кроме случаев, когда λ = 0)

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}{\bigg (}{\frac {1}{1+2\lambda }}-{\frac {\Gamma (\lambda +1)^{2}}{\Gamma (2\lambda +2)}}{\bigg )}.}$

В более общем плане пмомент порядка конечен, когда λ > −1/п и выражается через бета-функция Β(Икс,у) (кроме случаев, когда λ = 0) :

${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]={\frac {1}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\,\mathrm {B} (\lambda k+1,\,\lambda (n-k)+1).}$

Отметим, что из-за симметрии функции плотности все моменты нечетных порядков равны нулю.

L-моменты

В отличие от центральных моментов, L-моменты можно выразить в закрытой форме. L-момент порядка г> 1 дан кем-то^[3]

${\displaystyle L_{r}={\frac {\left[1+(-1)^{r}\right]}{\lambda }}\sum _{k=0}^{r-1}(-1)^{r-1-k}{\binom {r-1}{k}}{\binom {r+k-1}{k}}\left({\frac {1}{k+1+\lambda }}\right).}$

Первые шесть L-моментов можно представить следующим образом:^[3]

${\displaystyle L_{1}=0}$

${\displaystyle L_{2}={\frac {2}{\lambda }}\left[-{\frac {1}{1+\lambda }}+{\frac {2}{2+\lambda }}\right]}$

${\displaystyle L_{3}=0}$

${\displaystyle L_{4}={\frac {2}{\lambda }}\left[-{\frac {1}{1+\lambda }}+{\frac {12}{2+\lambda }}-{\frac {30}{3+\lambda }}+{\frac {30}{4+\lambda }}\right]}$

${\displaystyle L_{5}=0}$

${\displaystyle L_{6}={\frac {2}{\lambda }}\left[-{\frac {1}{1+\lambda }}+{\frac {30}{2+\lambda }}-{\frac {210}{3+\lambda }}+{\frac {560}{4+\lambda }}-{\frac {630}{5+\lambda }}+{\frac {252}{6+\lambda }}\right]\,.}$

Комментарии

Лямбда-распределение Тьюки на самом деле представляет собой семейство распределений, которые могут приближаться к ряду общих распределений. Например,

λ = −1	ок. Коши C(0,π)
λ = 0	именно так логистика
λ = 0.14	ок. нормальный N(0, 2.142)
λ = 0.5	строго вогнутый (${\displaystyle \cap }$-образный)
λ = 1	именно так униформа U(−1, 1)
λ = 2	именно так униформа U(−½, ½)

Чаще всего этот дистрибутив используется для генерации лямбда-выражения Тьюки. Участок PPCC из набор данных. На основе графика PPCC соответствующий модель для данных предлагается. Например, если максимальное корреляция происходит для значения λ при или около 0,14, то данные можно смоделировать с нормальным распределением. Ценности λ меньше, чем это подразумевает распределение с тяжелым хвостом (с −1 аппроксимирует Коши). То есть, когда оптимальное значение лямбда изменяется от 0,14 до -1, подразумеваются все более тяжелые хвосты. Аналогично, как оптимальное значение λ становится больше 0,14, подразумеваются более короткие хвосты.

Поскольку лямбда-распределение Тьюки является симметричный распределения, использование лямбда-графика PPCC Тьюки для определения разумного распределения для моделирования данных применяется только к симметричным распределениям. А гистограмма данных должны предоставить доказательства того, можно ли разумно моделировать данные с симметричным распределением.^[4]

использованная литература

1. Васичек, Олдрих (1976), "Тест на нормальность, основанный на выборочной энтропии", Журнал Королевского статистического общества, Серия B, 38 (1): 54–59.
2. Shaw, W. T .; МакКейб, Дж. (2009), "Выборка методом Монте-Карло с учетом характеристической функции: квантильная механика в пространстве импульсов", arXiv:0903.1592
3. Карванен, Юха; Нуутинен, Арто (2008). «Характеризация обобщенного лямбда-распределения L-моментами». Вычислительная статистика и анализ данных. 52: 1971–1983. arXiv:математика / 0701405. Дои:10.1016 / j.csda.2007.06.021.
4. Столяр, Брайан Л .; Розенблатт, Джоан Р. (1971), "Некоторые свойства диапазона в выборках из симметричных лямбда-распределений Тьюки", Журнал Американской статистической ассоциации, 66 (334): 394–399, Дои:10.2307/2283943, JSTOR  2283943

внешние ссылки

• Лямбда-распределение Тьюки

Эта статья включаетматериалы общественного достояния от Национальный институт стандартов и технологий интернет сайт https://www.nist.gov.