Вогнутая функция - Concave function

В математика, а вогнутая функция это отрицательный из выпуклая функция. Вогнутая функция также синонимично называется вогнуть вниз, вогнуться, выпуклый вверх, выпуклая крышка или же верхняя выпуклая.

Определение

Ценный функция ${\displaystyle f}$ на интервал (или, в более общем смысле, выпуклый набор в векторное пространство ) называется вогнутый если для любого ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в интервале и для любого ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$,^[1]

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)}$

Функция называется строго вогнутый если

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,}$

для любого ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ и ${\displaystyle x\neq y}$.

Для функции ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, это второе определение просто утверждает, что для каждого ${\displaystyle z}$ строго между ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, смысл ${\displaystyle (z,f(z))}$ на графике ${\displaystyle f}$ находится над прямой, соединяющей точки ${\displaystyle (x,f(x))}$ и ${\displaystyle (y,f(y))}$.

Функция ${\displaystyle f}$ является квазивогнутый если верхний контур задает функцию ${\displaystyle S(a)=\{x:f(x)\geq a\}}$ - выпуклые множества.^[2]

Характеристики

Функции одной переменной

1. А дифференцируемая функция ж является (строго) вогнутым на интервал если и только если это производная функция f ′ (строго) монотонно убывающий на этом интервале, то есть вогнутая функция имеет невозрастающую (убывающую) склон.^[3][4]

2. Точки где вогнутость изменяется (между вогнутой и выпуклый ) находятся точки перегиба.^[5]

3. Если ж дважды-дифференцируемый, тогда ж вогнутая если и только если f ′ ′ является неположительный (или, неофициально, если "ускорение "неположительно). Если его вторая производная равна отрицательный тогда он строго вогнутый, но обратное неверно, как показано ж(Икс) = −Икс⁴.

4. Если ж вогнутая и дифференцируемая, то она ограничена сверху своим первым порядком Приближение Тейлора:^[2]

${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$

5. А Измеримая функция Лебега на интервале C вогнутая если и только если это вогнутая середина, то есть для любого Икс и у в C

${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$

6. Если функция ж вогнутая, и ж(0) ≥ 0, тогда ж является субаддитив на ${\displaystyle [0,\infty )}$. Доказательство:

• С ж вогнутая и 1 ≥ т ≥ 0, позволяя у = 0 у нас есть ${\displaystyle f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).}$
• За ${\displaystyle a,b\in [0,\infty )}$:

${\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}$

Функции п переменные

1. Функция ж вогнута над выпуклым множеством если и только если функция −f это выпуклая функция по набору.

2. Сумма двух вогнутых функций сама по себе вогнута, как и поточечный минимум двух вогнутых функций, т. Е. Набор вогнутых функций в данной области образует полуполе.

3. Рядом с локальный максимум внутри области определения функции функция должна быть вогнутой; наоборот, если производная строго вогнутой функции равна нулю в некоторой точке, то эта точка является локальным максимумом.

4. Любые локальный максимум вогнутой функции также является глобальный максимум. А строго вогнутая функция будет иметь не более одного глобального максимума.

Примеры

• Функции ${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ и ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$ вогнуты на своих доменах, так как их вторые производные ${\displaystyle f''(x)=-2}$ и ${\displaystyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$ всегда отрицательны.
• В логарифм функция ${\displaystyle f(x)=\log {x}}$ вогнутая в своей области ${\displaystyle (0,\infty )}$, как его производная ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ - строго убывающая функция.
• Любой аффинная функция ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ одновременно вогнутая и выпуклая, но не строго вогнутая или строго выпуклая.
• В синус функция вогнута на интервале ${\displaystyle [0,\pi ]}$.
• Функция ${\displaystyle f(B)=\log |B|}$, куда ${\displaystyle |B|}$ это детерминант из неотрицательно-определенная матрица B, вогнутая.^[6]

Приложения

• Лучи изгибаются в расчет ослабления радиоволн в атмосфере включают вогнутые функции.
• В ожидаемая полезность теория для выбор в условиях неопределенности, кардинальная полезность функции не рисковать лица, принимающие решения, вогнуты.
• В микроэкономическая теория, производственные функции обычно считаются вогнутыми на некоторых или всех своих доменах, что приводит к убывающая отдача к входным факторам.^[7]

Смотрите также

• Вогнутый многоугольник
• Неравенство Дженсена
• Логарифмически вогнутая функция
• Квазивогнутая функция
• Вогнутость

Рекомендации

1. Lenhart, S .; Уоркман, Дж. Т. (2007). Оптимальный контроль, применяемый к биологическим моделям. Серия математической и вычислительной биологии. Чепмен и Холл / CRC. ISBN  978-1-58488-640-2.
2. Вариан, Хэл Р. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Нортон. п. 489. ISBN  0-393-95735-7. OCLC  24847759.
3. Рудин, Вальтер (1976). Анализ. п. 101.
4. Градштейн, И. С .; Рыжик, И. М .; Хейс, Д. Ф. (1976-07-01). «Таблица интегралов, серий и продуктов». Журнал смазочных технологий. 98 (3): 479. Дои:10.1115/1.3452897. ISSN  0022-2305.
5. Хасс, Джоэл (13 марта 2017 г.). Исчисление Томаса. Хайль, Кристофер, 1960-, Вейр, Морис Д., Томас, Джордж Б., младший (Джордж Бринтон), 1914-2006. (Четырнадцатое изд.). [Соединенные Штаты]. п. 203. ISBN  978-0-13-443898-6. OCLC  965446428.
6. Обложка, Томас М.; Томас, Дж. А. (1988). «Детерминантные неравенства через теорию информации». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям. 9 (3): 384–392. Дои:10.1137/0609033. S2CID  5491763.
7. Пембертон, Малькольм; Рау, Николай (2015). Математика для экономистов: Вводный учебник. Издательство Оксфордского университета. С. 363–364. ISBN  978-1-78499-148-7.

Дальнейшие ссылки

• Крузе, Ж.-П. (2008). «Квазивогнутость». В Durlauf, Steven N .; Блюм, Лоуренс Э (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (Второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 815–816. Дои:10.1057/9780230226203.1375. ISBN  978-0-333-78676-5.
• Рао, Сингиресу С. (2009). Инженерная оптимизация: теория и практика. Джон Уайли и сыновья. п. 779. ISBN  978-0-470-18352-6.